网上只能搜索到蒂莫西所著的这本书的最后一章，但也是很好看的一章，讲的是数学的常见问题，包括为什么少有女性数学家，只有天才才能当数学家吗，为什么大部分人讨厌数学等等。很有意思。
1. 数学家在30岁以后就不比当年了，这是真的吗？
这种传说影响颇为广泛，正由于人们误解了数学能力的本质，才使得它很有吸引力。人们总喜欢把数学家看作极具天资的人，并认为天资这种东西有些人生来就有，其他人则绝难获得。
其实，年龄与数学成果间的关系对不同人来说差别很大。的确有一部分数学家在20来岁的时候做出了他们最杰出的工作，但绝大多数人都认为，他们的知识水平和专业素质终其一生都在稳健地提高，在许多年里，这种专业水平的增长都能够弥补“原生”脑力的任何衰退（如果确实有“原生”脑力这回事的话）。确实数学家在年逾40岁之后就少有重要的突破性进展了，但这也很有可能是社会学方面的原因。到了40岁时，如果有人还有能力做出突破性的工作，那么他极有可能早已因之前的工作闻名遐迩，因而有可能也不像未成名的年轻数学家那样具有奋斗精神。不过还是有很多反例的，有很多数学家在退休之后热情不减，还继续在数学领域工作。
一般来讲，人们通常所想象的数学家的形象——可能很聪明，但有点古怪，穿着邋遢，毫无性欲，比较孤僻——的确不是一种讨喜的形象。有一部分数学家在一定程度上的确符合这种形象，但如果你认为不这样就做不好数学，这种想法可就太蠢了。实际上，如果所有其他条件都相同的话，可能你还要比这些怪数学家更胜一筹。一开始学习数学的所有学生中，最后成为专职研究人员的比例极小，更多的人在早期阶段便离开了数学，比如失去兴趣、没有申请到读博机会，或者得到了博士学位但没有获得教职。在我看来（实际上不仅只有我这么想），对最终通过了这层层考验的人来说，那些“怪人”所占的比例比占一开始学习数学的学生的比例要小。
对数学家这样的负面刻画可能杀伤力很大，吓走许多本来可能喜欢并且擅长这一领域的人，但是“天才”这个词则更加恶毒，杀伤力更大。这里有一个现成的对“天才”的大致定义：对于别人必须经过多年实践都未必能够掌握的事情，天才就是那些在少年时期就能够轻易做好这些事的人。天才的成就有着魔法般的特质，就好像他们的大脑并不只是比我们更有效率，而是运转方式完全不同。剑桥大学每年都会有一两个数学系本科生，他们经常在数分钟之内就能解决的问题，大多数人——包括应该能够教他们的人——往往需要花上几个小时以上。遇到这种人的时候，我们只能退避三舍、顶礼膜拜。
然而，这些超乎寻常的人并不总是最成功的数学研究者。如果你想要解决某个问题，而之前尝试过的数学家都以失败告终，那么你需要具备种种素质，在这其中天赋（如我所定义的那样）既不是必要的也不是充分的。我们可以通过一个极端一点的例子来说明这一点。安德鲁·怀尔斯（在刚到40岁的时候）证明了费马大定理（即对任意正整数x,y,z及大于2的正整数n，xn+yn不可能等于zn），解决了世界上最著名的数学难题。毫无疑问他很聪明，但他并不是我所说的天才。
你可能会问，如果没有某种神秘的超常脑力，他还可能完成这一切吗？回答是，尽管他的成就非常卓著，但也没有卓越到无法解释的程度。我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇气、坚定和耐心，对他人完成的艰难工作的广泛了解，在正确时间专攻正确领域的运气，以及杰出的战略性眼光。
上面所说的最后一条素质，从根本上要比惊人的大脑运转速度更加重要。数学中绝大多数影响深远的贡献是由“乌龟”们而不是“兔子”们做出的。随着数学家的成长，他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏，部分来自于其他数学家的工作，部分来自于自己对这个问题长时间的思考。是否能将他们的专长用于解决极其困难的问题，则在很大程度上决定于细致的规划：选取一些可能会结出丰硕成果的问题，知道什么时候应该放弃一条思路（相当困难的判断），能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里面填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握，这绝不与天赋相矛盾，但也并不总是会伴随着天赋。
2. 为什么女性数学家很少见？
真想回避这个问题，因为回答这个问题很容易冒犯别人。但是，在全世界各地的数学系所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；这是一个值得注意的现象，也是数学生活中的一个重要事实，我被迫感到不得不说点什么，尽管我所要说的也无非是对此感到不解和遗憾。
值得强调的一点是，数学家中女性较少只不过是一种统计现象：确实有十分优秀的女性数学家，与男性同行一样，她们表现优秀的方式也多种多样，有时也包括拥有天赋。没有任何迹象表明，女性在数学中所能达到的成就会有上限。我们有时会读到，在特定的智力测试中——比如说视觉空间能力，男性表现得更优秀，有人认为这解释了他们主导着数学领域的原因。然而，这样的论据不足以令人信服，因为视觉空间能力能够通过练习来增强，而且尽管它有时对数学家有帮助，却并非不可或缺。
更可信的一种理由是社会方面的因素：当男孩子为数学能力感到骄傲时，可以想象某个女孩子可能会为自己擅长这项不那么女性化的事务而感到窘迫。而且，有数学天赋的女孩子所能够效仿的榜样很少，她们只能靠自我保持、自我强化。一项社会因素可能会在之后发挥更大的作用：比起其他学科来，数学需要一个人更加专注，这虽然不是不可能，但也很难与女性的母亲身份相结合。小说家坎迪亚·麦克威廉曾经说，她的每个孩子都使她少写了两本书，不过在几年未动笔之后，她至少还能够重新写小说。但如果你几年没有做数学，你就失去了数学的习惯，很难再重拾了。
有人认为，女性数学家发展起自己事业的时间往往晚于男性同行，而数学家的职业结构倾向于回报早期成就，这就使得女性处于一种不利的地位。最杰出的一些女性数学家的人生故事支持了这种说法。不过她们发展自己职业生涯较晚的原因，基本上都是上面所说的社会原因，而且也有许多这方面的例外。
不过，这些解释看起来都不够充分。我在此不再深入探讨了。我还能做的就是告诉大家，关于这方面已经出了几本书（参见“延伸阅读”）。最后再加上一点评论：这样的情况是在不断进步的。数学家中女性所占的比例近年来在稳步提高，而且随着社会大环境的不断改变，这样的现象一定还会持续下去。
3. 数学与音乐息息相通吗？
尽管有很多数学家完全不了解音乐，也很少有音乐家对数学感兴趣，但一直有一种民间观念认为这两个领域是相关联的。其结果就是，当我们听说某位数学家钢琴弹得很好，或者爱好作曲，或者喜欢听巴赫，没有人会对此感到惊奇。
有很多奇闻轶事在讲，各种艺术形式中，数学家为音乐所吸引的最多。也有一些研究声称已经表明，受过音乐教育的儿童在科学领域中表现得更优秀。我们不难猜出为什么会这样。尽管在所有艺术形式中抽象都很重要，但音乐在其中最具有代表性，可以说是最明显的抽象艺术：听音乐所获得的愉悦感，大部分来自于对不具有内在含义的纯粹形式的直接——即使不是完全自觉的——欣赏。
不幸的是，这些传说中的证据很少得到严格的科学支持。关于这种说法，就连应该提出哪些疑问都不好说。如果我们收集到统计数据显著地说明，在相近的社会背景及教育背景下，数学家与其他人相比，弹钢琴的百分比更高，那我们能够从中了解到什么呢？我自己猜测，的确会得到这样的数据。但如果提出一种可经实验验证的理论来说明这其中的关联，会有趣得多。就统计证据而言，如果能够更加详尽明确，也会更有价值。数学和音乐都是内容很广泛的领域，某些人很有可能只对领域中的某一部分有热情，而对其他部分毫无兴趣。数学和音乐趣味之间是否会有微妙的联系？如果有，那将会比这两个领域间整体的粗略相关性更具信息含量。
4. 为什么有那么多人旗帜鲜明地厌恶数学？
我们不常听到别人说他们从来不喜欢生物学，或者英国文学。毫无疑问，并不是所有人都会对这些学科感到兴奋，但是，那些没有热情的人往往完全理解那些有热情的人。相反，数学，以及其他内容高度数学化的学科，诸如物理，似乎不仅仅使人提不起兴趣，而且能激起反感。究竟是什么原因使他们一旦能够抛弃数学时就立刻抛弃，并且一生都对数学心有余悸？
很可能并不是因为数学很无聊，而是数学课的经历很乏味。这一点更容易理解。因为数学总是持续在自身的基础上构建，所以学习时的步步跟进就显得很重要。比方说，如果你不太擅长两位数的乘法，那你很可能就不会对分配律（第二章中讨论过）有良好的直觉。没有这种直觉，你可能就会在计算打开括号（x+2）（x+3）时感到不适应，于是你接下来就不能很好地理解二次方程，因而也无法理解为什么黄金分割比是（1+√5）/2。
类似这样的环环相扣还有很多，但是，学习数学时的步步跟进不仅仅是保持技术熟练度而已。数学中常常会引入重要的新思想，新思想会比旧思想更加复杂，每一个新思想的引入都有可能把我们甩在后面。一个很明显的例子就是用字母表示数，很多人对此糊里糊涂，但对某个层次以上的数学来讲这是基础性的。还有其他类似的例子，比如负数、三角函数、指数、对数以及初步的微积分。没有作好准备来进行必要的概念飞跃的人，一旦遇到这些新思想时，就会对其后建立在新思想基础上的一切数学感到并不牢靠。久而久之，他们就会习惯于对数学老师所说的东西仅仅一知半解，日后再错过几次飞跃，恐怕连一知半解也做不到了。同时他们又看到班上其他同学能够轻而易举地跟上课程。因此就不难理解，为什么对许多人来讲数学课成为了一种煎熬。
情况一定是这样的吗？有没有人天生注定就会在学校里厌恶数学，还是说，有可能找出一种不同的数学教学方法，使得排斥数学的人能够大大减少？我相信，小孩子如果在早期接受到热情的好老师一对一教学，长大之后就会喜欢上数学。当然，这并不能直接成为一种可行的教育政策，不过至少告诉我们，数学的教育方法可能有改进空间。
从我在本书中所强调的思想出发，我可以给出一条建议。在上面，我间接地将技术的熟练度与对较难概念的理解作了一番比较，但实际情况似乎是，凡是擅长其中一个方面的必然两个方面都擅长。况且，如果说理解数学对象，大体上就是要学习数学对象所遵从的规则，而非把握其本质，那么我们完全可以预期：技术的熟练度与数学理解力之间并不像我们想象得那样泾渭分明。这又会对课堂实践产生什么影响呢？我并不赞成革命性的改进——数学教育已经深受其累，我所赞同的是小幅度的改变，有所侧重的小幅变化将会是有益的。
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