研究系统的方法有两种，一种是根据系统的内在关系，建立系统的数学模型，并根据系统的参数，分析输入和输出的关系。这种分析系统的方法是常规的数学模型的方法。例如前面举得例子，已知RLC电路的连接以及其参数，通过建立微分方程，可以根据系统的激励（输入），得到精确的输出（响应）。
还有一种研究系统的方法，就是并不知道系统内部的具体结构和参数，当然也无法建立精确的数学模型，但是可以利用测量的方法对系统进行拟合，对系统参数进行估计。比如任何一个线性系统，我们都可以把其频域内的模型当做一个有理多项式分式的形式。可以通过测量系统的输入和输出，确定系统的参数。这种方法在工程应用中非常普遍。 首先，我们知道，连续线性系统的传递函数（冲击响应的拉普拉斯变换）是关于s的有理多项式分式的形式。离散线性系统的传递函数（单位脉冲响应的z变换）是关于z的有理多项式分式。这是为什么呢？
这是因为线性系统的冲击响应总是由指数形式的信号叠加而成的：或是时间t的指数形式衰减或发散，或是振荡且指数衰减或发散，或是若干振荡且衰减（或发散）的信号的叠加：
当然如果是发散的，也就是e的实指数ak和bk大于零，那么系统是不稳定的。
如果用欧拉公式来表示上面的式子，就可以表示为：
注意，上式中Bk和B-k互为共轭。因此，其拉氏变换为：
将其通分后，就会发现线性系统的传递函数是有理多项式分式：
离散系统的单位脉冲响应的z变换（传递函数）亦如此。冲击响应采样后就变为单位脉冲响应：
将其进行z变换：
将其通分，可以看出，离散线性系统的传递函数是关于z的有理多项式分式。
其实，从另外一个角度看，更简单，因为任何一个线性系统都可以表达为N阶微分方程（连续系统），或N阶差分方程（离散系统）：
（上式中，x是输入，y是输出）根据拉氏变换的特点，一阶微分就是一个因子s，上述微分方程就转化为：
同样，任意离散线性系统可以用差分方程描述：
z变换后：
但是前面的推论虽然复杂，但不难发现拉氏变换和z变换的极点其实就是系统冲击响应（单位脉冲响应）的特征。系统的冲击响应是极点的指数形式线性组合而成：
如果极点是复数，那么必然是成共轭对出现，其系数Ak也是互相共轭的，这样，共轭的负指数和共轭的系数就构成了衰减的振荡分量：
同样道理，对于离散系统：
很多同学看不出上式是怎么出来的。注意到：
这实际是谁的z变换？话都说到这儿了，就请同学们自己思考吧。
知道线性系统是由有理多项式分式组成的，那么如果已知频域内各个频率下的响应，如何拟合该系统呢？如果已知线性系统时域内的响应，如何拟合该系统呢？前者叫系统的拟合，后者叫Prony算法。所有这些系统的分析方法，实际上就是一个参数估计的过程（或者叫参数辨识）。当然，其实参数估计和状态估计没有本质的差别，其主要差别在于估计的变量，一个是状态，一个是参数而已。实际上，参数估计、回归分析、状态估计等是解冗余方程的问题。而最优化是解决方程少于未知数个数的问题。实际上，参数估计、状态估计的本质也是一个最优化的问题。他们都是另类的求解方程。
请看下一节：方程组、最优化问题和参数估计、状态估计以及回归问题。
联系客服
