造桥选址问题的拓展

湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。下面就课本中一道习题，加以拓展探究，我们可发现其一般规律。

 

一、原题再现

 

如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。（人教课标七年级下册2007年第二版37页第7题）

 

分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。

 

我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A₁，那么为了使AMNB最短，只需A₁B最短。根据两点之间距离最短，连接A₁B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。如图2。

 

证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M₁N₁。由于M₁N₁=MN=AA₁；又根据“两点之间，线段最短”。可知，AN₁+N₁B＞A₁N+NB。

 

所以，路径AMNB要短于AM₁N₁B。

 

二、拓展应用

 

拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？

 

方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A₁、A₂，路径中两座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要A₂B最短。连接A₂B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A₁M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。所得路径AQPMNB最短。

 

方法2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。

 

如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A₁，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B₁，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短。

 

拓展2：如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？

　　　　　

 

方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移S三个河宽分别到到A₁、A₂、A₃，路径中三座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要A₃B最短。

 

连接A3B，交河流3于N，在此处造桥MN；连接A2N，交河流2于P，在此处造桥PQ；连接A1Q，交河流1于R，在此处造桥RS。所得路径ASRQPMNB最短。

 

方法2：此处还可以先将A沿与河流1河岸垂直的方向平移两个单位到A₁、A₂，再将B沿与河流3河岸垂直的方向平移一个河宽到B₁；或先将A沿与河岸垂直的方向平移1个单位到A₁，再将B沿与河岸平移2一个河宽到B₁、B₂，来选择修桥位置。（请同学们自己画出图形。）

 

拓展3：如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？

 

方法1：如图10，先将点A沿与河流1河岸垂直的方向平移一个河宽到A₁，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A₂，连接A₂B，交河流2河岸于N，此处建桥MN；连接A₁M，交河流1于P，在此处建桥PQ。所得路径AQPMNB最短。

 

方法2：也可以将A沿与河流1垂直的方向平移1个河宽，得到A₁，再将B沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河宽得到B₁，连接A₁B₁与河流1、河流2分别相交于N、P，分别作桥MN、PQ。所得路径AQPNMB最短。

 

由以上拓展，我们不难体会到，造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通过平移变换，使除桥长不变外所得到的其他路径经平移后在一条直线上。