妙用平方差公式巧解题

甘肃省镇原县王寨初中　慕志明

用平方差公式能迅速准确地算出复杂难算题的答案，现用下列例题揭示利用平方差公式解答计算题的方法和技巧，希望对大家能有所启发和帮助。

例1　已知：a+3b=-2,求a

+2a-6b-9b

的值。

解：a

+2a-6b-9b

＝a

-9b

+2a-6b＝（a

-9b

）+（2a-6b）＝（a+3b)(a-3b)+2(a-3b)=(a-3b)(a+3b+2)=(a-3b)(-2+2)=0。

如果在解题前不认真分析，不对算式进行科学组合，就很难找到用平方差公式和提取公因式解题的突破口，可见：解题前的观察分析对解题非常重要。

例2　计算

。

解：分子＝2001

－2

2001

－1999＝2001

－2

2001

－2001+2＝2001

（2001－2）－（2001－2）＝（2001－2）（2001

－1），

分母＝2001

+2001

－2002＝2001

+2001

－2001－1＝2001

（2001+1）－（2001+1）＝（2001+1）（2001

－1）。

所以就有：

＝

＝

＝

。

如果在解题前不对算式进行认真仔细地观察，就很难发现“1999＝2001－2，2002＝2001+1”，就更难发现分子中的公因式是“2001－2”，分母中的公因式是“2001+1”，“2001

”是分子和分母中共同的公因式，由于找到了分子和分母中的公因式，才利用提取公因式法和平方差公式顺利的得出了此题的准确答案。

例3　计算（2+1）（2

+1）（2

+1）（2

+1）。

解法1：（2+1）（2

+1）（2

+1）（2

+1）＝（2－1）（2+1）（2

+1）（2

+1）（2

+1）

（2－1）＝（2

－1）（2

+1）（2

+1）（2

+1）

（2－1）＝（2

－1）（2

+1）（2

+1）

（2－1）＝（2

－1）（2

+1）

（2－1）＝（2

－1）

（2－1）＝2

－1＝65535，

因为：2

＝2

2

＝256

256＝65536，2

－1＝65536－1＝65535，

解法2：2

＝2

2＝4，2

＝2

2

＝4

4＝16，2

＝2

2

＝16

16＝256，

所以（2+1）（2

+1）（2

+1）（2

+1）＝3

5

17

257＝65535。

解法1的解题者，由于在解题前认真观察分析清楚了算式中的数据规律，先给算式乘以（2－1），后给算式除以（2－1），虽然没有改变算式的值，但乘在算式前面的（2—1）和（2+1）却构成了平方差公式，这样由前向后逐个处理，就可顺利得到命题者所要的准确结果“2

－1”，在算式最后除以“2－1”，实质是除以1，足见解法1中的解题者是多么的聪明。

解法2虽然一气呵成，直接算出了本题的准确答案。但却没有达到编者的意图，如果在计算过程中稍有不慎，就会得出错误的结果。其实本题命题者的本意是考查学生运用平方差公式解题的本领，只要解题者解出“2

－1”就行，而并不是要求解题者能算出“65535”。因为该题面向的是八年级学生。

例4　计算100

－99

+98

－97

+96

－95

+…+6

－5

+4

－3

+2

－1

。

解：100

－99

＝（100+99）

（100－99）＝199，

98

－97

＝（98+97）

（98－97）＝195，

96

－95

＝（96+95）

（96－95）＝191，

94

－93

＝（94+93）

（94－93）＝187，

92

－91

＝（92+91）

（92－91）＝183，

10

－9

＝（10+9）

（10－9）＝19，

8

－7

＝（8+7）

（8－7）＝15，

6

－5

＝（6+5）

（6－5）＝11，

4

－3

＝（4+3）

（4－3）＝7，

2

－1

＝（2+1）

（2－1）＝3。

观察上述用平方差公式算得的结果可得，199－4＝195，195－4＝191，191－4＝187，15－4＝11，11－4＝7，7－4＝3.。这样就有：

100

－99

+98

－97

+96

－95

+…+6

－5

+4

－3

+2

－1

＝199+195+191+187+183+…+19+15+11+7+3。

观察“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”可发现：“199+3＝202，195+7＝202，191+11＝202，187+15＝202，183+19＝202”。只要能探究明白“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”中能加成多少个202，问题就会很快解决。只好用下述列表的方法探究“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”中究竟能加成多少个202：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
199	195	191	187	183	197	175	171	167	163	159	155	151	147	143	139	135	131	127	123	119	115	111	107	103
3	7	11	15	19	23	27	31	35	39	43	47	51	55	59	63	67	71	75	79	83	87	91	95	99
202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202	202

由上表可以看出“199+195+194+187+183+…+19+15+11+7+3”中的数据，共能加出25个202，202

25＝5050。

所以就有：

100

－99

+98

－97

+96

－95

+…+6

－5

+4

－3

+2

－1

＝199+195+191+187+183+…+19+15+11+7+3

＝202

25

＝5050。

您还有比上述算法更快捷准确的算法吗？请试试看！

 

一道难住初中物理教师的数学计算题

 

女儿向爸爸请教如下一道数学计算题，难住了给她教物理的爸爸，她的爸爸只好向数学专家请教，最终解决了问题，现共享于后，以求共同提高。

已知6x

－9x

+mx+n能被6x

-x+4整除，求m和n的值。

解：这是一道初中学生还没有学的多项式相除问题，具体解法如下：

                        

由上述计算结果可得：

（m－4)x－

x=0，

m－4－

＝0，

m－

＝0，

m=

=

，

n－（－

）＝0，

n+

＝0，

n=－

=－

，

您还有比这更妙的解法吗？请赐教！

2011-04-26  人教网