初中数形结合的教学体会

　　函数是初中数学知识体系中重、难点之一，学生在学习函数的时候往往面临各种困难，如学习方式不对，学的内容繁多，便无法融会贯通，也就达不到教学目的，还会影响到学生对数学学习的信心。根据初中学生的心理和思维特点，采取从感性到理性、从形象到抽象的教学方式，就可培养学生解决问题的能力。
　　 1.借助模型，弄清概念，明白学习的目的与意义
　　教材给出函数的定义是：存在一个自变量与一个因变量，当任给自变量一个值时，因变量都有唯一的值与之对应，那么这个因变量就叫做这个自变量的函数。函数的定义揭示了自变量与函数之间的关系，但是太抽象了，对于将学习建立在感性认识基础上的初中学生而言，无法真正地理解函数的意义。所以可以借助教具，帮助学生直观地理解函数的实际意义。在法国人把函数称为BLACKBOX———黑匣子。“函数=黑匣子”是什么意思呢？我们看完以下的分析后就更易把握住函数的实质。教具：一个黑色盒子，盒子的两侧分别设置两个口，一个出口，一个入口，再制作几个圆形的卡片，卡片的正面写1、2表示一元钱、两元钱等各种不同的币值，在卡片的背面画上相应的物品，如汉堡、可乐等。试验：把一元钱的自制卡片从入口输入后，它会从出口滚出来，可是当它出来时显示的是卡片背面的物品，例如一瓶可乐。教具的演示引起了学生极大的兴趣。再取一张3元卡片输入黑匣子，从里面滚出来另一件物品，学生很好奇，想搞明白黑匣子里究竟藏了什么秘密。提问：如果再投入一个5元的卡片，会出来什么物品？之后老师总结：在没有看到出来是什么物品时谁也不知道会发生怎样的变化，但是可以确定的是：必须投入一张卡片，才会有一个物品出来；如果投入不同的卡片会得到不同的物品。因此物品是随着卡片的变化而不同的。这一实验揭示出出口与入口的“变”性，而且出口会因入口的变而变。
　　再演示另一试验：在另一组硬币卡片的正反面分别写上1，2；2，4；3，6等数组。老师演示两次后学生很快就猜出投入正面是3的硬币时出来的结果一定是6了。这一试验揭示，有些变化我们知道它是怎样发生的，因此，可以控制它。通过两次试验的对比，让学生明白生活中存在许许多多因变而变的例子，就像函数中的自变量与因变量，自变量是输入的数，因变量是输出的数，因变量随自变量而变，而且输入一个自变量只能得到一个因变量，它们之间的这种关系就是函数。因此，函数就是“关系”。学生通过教具的模拟很感性地意识到函数就是关系的本质。在教学过程中学生还举出了许许多多的“黑匣子”的例子。其次，借助教具的演示也让学生明白自变量与因变量的关系有些是明确的，如试验2中的2倍关系，而更多的关系却是不明确的，有待我们去研究发现。理解了函数的定义，对于函数的三种表示形式：解析式、列表、图像，用不同的方式去表现，就不难理解了。
　　 2.数形结合，体会代数与几何的相互统一
　　形成函数概念后，要能形象理解概念并解决函数问题，就要借助笛卡尔的平面直角坐标系。笛卡尔把物质运动的概念作为自己科学的哲学基础后，把运动也带进了数学。在“几何学”里，笛卡尔给出了字母符号的代数和解析几何的原理，那就是通过引进坐标系，使得能用方程表示几何形状和解析的依赖关系。
　　 2.1借助平面直角坐标系，弄清常量与变量的作用。
　　例如，一次函数y=kx+b中，体现的是因变量y与自变量x之间的“关系”，它们之间的“关系”如何变化，由常量k与b来决定。在平面直角坐标系中，y=kx+b的图像就是一条直线，这条直线可以看成由无数个点组成，也可以看成由一个点沿着直线的方向慢慢爬动而成，而点的坐标表示成（x，y），因此，解析式中的x、y是变量，它会随着点的位置的变动而不同。在平面直角坐标系中，可以作出许多不同位置的直线，是因为k与b的不同，k决定直线的走势，b体现直线与y轴的交点位置。又如，二次函数y=ax2+bx+c中决定y与x变化关系的常量有a、b、c三个，a决定函数的开口方向与大小，b、c分别在横向与纵向上决定了图像的位置。当对每个常量的作用都清晰时，才会在应用中关注常量的变化，帮助问题的解决。
　　 2.2从不同角度看待函数，体会几何与代数的统一。
　　函数与方程可以看成同一个式子从不同的视角去看待。例如，y=3x+2，从函数的角度看它，它是一次函数，一条穿越一、二、四象限的直线，从方程的角度看它，它是一个二元一次方程，解是满足方程的任意一对x，y的值，这样的值有无数对。直线是无限延伸的，由无数的点组成，这就与二元一次方程的无数对解统一在一起了。又有一式：y=-x+2，那么两直线的交点（0，2）就是方程组y=3x+2y=-x+!2的解x=0y=!2所表示的点的坐标，体现了代数与几何的统一。又如，y=ax2+bx+c与横轴的交点个数可以与方程ax2+bx+c=0的解的个数统一起来，只要判断△=b2-4ac的符号，就可以得出图像与x轴交点个数的情况。一旦这个问题搞清楚，那么y=ax2+bx+c与任意一条平行于x轴的直线y=m的交点个数情况都能用方程ax2+bx+c-m=0的△=b2-4a（c-m）来判断了。由于借助平面直角坐标系，我们能很好地把函数问题（解析式），通过图形的演示加深理解，进而解决；将几何的问题通过代数的方式得以解决，也就将代数与几何问题既相互转化又相互统一了。
　　 3.数形结合，将抽象的问题形象化，解决实际问题
　　例如一道综合应用题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化。（1）当l是多少时，场地的面积S最大？（2）l取何值时，S>100？这是一道常规的二次函数最值问题，矩形的长是固定的60m，形状会发生改变，形状的改变直接影响长与宽的改变。而面积随着长、宽的变化而变化。因此选定长或宽中之一作为自变量，面积是因变量，要知道因变量是如何随自变量而变化的就必须建立两者之间的函数关系。所以：第一步建立函数关系：s=l（30-l）=-l2+30l（0＜l＜30）。可以看出S与l是二次函数关系。第二步作出函数图像，通过观察得到面积在函数图像的顶点取到最大值，即当l=15时，S=225。（3）如果直接令S>100，则-l2+30l＞100，这是一个二次不等式，学生不会解，但可以借助图像，先找到S=100的点，再找出S>100的图像范围，就能得出答案了。