仿射变换以及仿射变换矩阵

什么是仿射变换以及仿射变换矩阵？

仿射变换可以理解为

  对坐标进行放缩，旋转，平移后取得新坐标的值。

  经过对坐标轴的放缩，旋转，平移后原坐标在在新坐标领域中的值。

 

     假设XY坐标系坐标轴旋转θ，坐标原点移动（x0，y0）。

     XY坐标系中的坐标（X，Y），则求新坐标系xy中的坐标值的方程组为:

           X = X?cosθ - Y?sinθ + x0

           Y = X?sinθ + Y?cosθ + y0

 

    写成矩阵形式为

 

| x|             | cosθ   sinθ|   | x0|

|   | = |X Y | *|              | + |   |

| y|             | -sinθ cosθ|   | y0 |

 

      为将原点移动的值放入矩阵，则可以加入一个不影响原方程组的解的冗余方程。于是可以写成：

       X = X?cosθ - Y?sinθ + x0

       Y = X?sinθ + Y?cosθ + y0

       1 =X?0    +Y?0    + 1

 

      写成矩阵形式为

| x|                | cosθ  sinθ   0|

| y | = |X Y 1 | * |-sinθ cosθ  0|

| 1|                |x0     y0     1|

 

这个矩阵实际上就是Helmert变换矩阵。

       考虑到新坐标系对于原坐标系在x，y两个坐标轴上的放缩率，可分别表示为λx和λy，则Helmert变换方程组可以修改为：

 

X = (λx)X?cosθ -(λy)Y?sinθ + x0

Y = (λx)X?sinθ +(λy)Y?cosθ + y0

 

同样按照前述方法写成三阶矩阵为

 

| x|                | (λx)cosθ  (λx)sinθ  0|

| y | = |X Y 1 | * |(λy)-sinθ (λy)cosθ  0|

| 1|                | x0          y0         1|

 

这个矩阵就是affine变换矩阵，仿射矩阵。

几何上，两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射（来自拉丁语，affinis，“和...相关”）由一个线性变换接上一个平移组成:

在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1：

而列向量的底下要加上一个1：

(齐次坐标)。