科研丨科研人员在计算几何研究领域取得系列进展

近日，中国科学技术大学国家数学与交叉科学中心（合肥）在3D重建、3D打印、计算几何等领域取得了一系列研究进展。相关研究成果分别以三篇论文发表在2014年第6期的ACM Transactions on Graphics上，并在国际学术会议Siggraph Asia上宣读。

在第一篇论文中，研究人员提出了一种基于全变差模型的重心坐标构建方法，来解决计算机几何领域中的一个经典问题——给定边界控制点的函数值。如何插值出控制点所围成的区域内任意点的相应函数值？传统方法是求出该区域内每个点相对于这些边界点的重心坐标，存在着“牵一发而动全身”的局限性。而该方法通过最小化全变差模型，约束了控制点影响区域面积的上界，所构建的重心坐标光滑且局部，避免了“一着不慎，满盘皆输”的尴尬局面。中国科大数学学院特任副教授张举勇是论文的第一作者位。

在第二篇论文中，研究人员提出了一种基于字典学习的点云重建方法，其目标函数衡量了重建曲面与采集点云之间的距离度量、噪声及异常值的去除、特征的保持等因素，并提出了一种巧妙的迭代优化的求解方案。相比现有的3D重建方法，该方法在重建精度、噪声和异常值的鲁棒性、几何特征及细节保持等方面都有显著的提高。该研究成果在逆向工程、3D建模、3D打印等领域具有广泛的应用前景。中国科大张举勇的硕士研究生熊诗尧是论文第一作者。

在第三篇论文中，研究人员首次考虑了拓扑可控的矢量图案自动合成。传统矢量合成技术将着眼点锁定在样本合成的老问题上，却忽略了“拓扑”这一重要维度，导致合成出的矢量图案容易破碎且带有单调重复。研究人员通过引入拓扑描述子，在“拓扑+样本”的扩展空间中计算最优解，松弛了由于仅考虑连续性和相似性导致的结构残缺趋势，并提供了大量拓扑可控的优秀合成结果。该方法还可生成无破损的三维矢量纹饰，它们可直接利用普通三维打印机制造成型。中国科大数学学院特任副教授周世哲是论文第一作者。

上述研究得到了国家自然科学基金和中科院百人计划的支持。

图1 通过移动3D模型外面的控制网格，达到了对3D模型的局部变形。

图2 通过扫描仪对实物采样得到点云，然后通过所提出的3D重建方法得到3D模型，最后通过3D打印的方式将物体打印出来。

图3 全自动矢量图合成软件让普通用户随时按自己的意图迅速获得高品质的矢量图案。

图4 矢量图案自动合成方法还可生成无破损的三维矢量纹饰，它们可直接利用普通三维打印机制造成型。

来源：中国科学技术大学