小野妹子学吐槽:十一区小学4年级数学题:如下图,直线连结四个顶点,即成一个1平方厘米的正方形。那么请做一个2平方厘米的正方形,和一个5平方厘米的正方形……现在岛国网上一片哀号纷纷表示做不出
这个用小学数学的思路要怎么做呢?
狂欢的孤单 回答:
Ent 回答:
啊,这是一道好题呀。
解法并不难,只要想明白可以斜着画就行了。面积为2的正方形,边长是根号2,所以在图中寻找能连接成根号2线段的两点就行。面积为5,同理。
那么现在附加题来了:请问在这个点阵格子上,都能画出面积为多少的正方形?
在一个这样的点阵上,任意两点之间连线的长度d,一定满足 d ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2,其中x和y为整数。
而任意一条连线,一定对应两个等面积正方形;任意一个正方形,一定对应四条等长线段。所以,任意一个正方形的面积一定是d ^ 2的形式。
所以问题化归为:怎样的数可以表达为两个完全平方数之和?
很可惜,这个答案并不是很优美……
一个数可以表达为两个完全平方数之和,当且仅当这个数质因数分解后所有形为4m+3的因数的指数为偶数。
换句话说,如果质因数分解后3、7、11、……等等因数,要么没有,要么有偶数个,那么它就能这么表达;否则只要有一个例外,就不能。
这么说不好理解,举几个例子:
5 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2,而5的质因数分解就是 5,5形如4m+1,所以所有4m+3因数的指数当然都是0。
180 = 6 ^ 2 + 12 ^ 2,而180的质因数分解是 2^2 * 3^2 * 5, 其中3的指数是2,偶数。
2001不可以被表达为两个完全平方数之和。为什么呢?2+0+0+1=3,所以2001当然能被3整除;但正因为加起来为3而不是9,所以2001不能被9整除。所以2001一定有一个孤零零的因数3,所以不满足要求。
这个结论是从费马平方和定理延伸来的——费马证明了,一个质数可以表达为两个完全平方数之和,当且仅当这个质数的形式是4m+1 (换句话说,不是4m+3——质数嘛,除了2这个特例外是不可能表示为4m+2 和4m+4的)
完整的证明比较复杂,见这里:
http://modular.math.washington.edu/edu/124/lectures/lecture21/lecture21/node2.html
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