如何在间距1厘米点阵里，画出面积5平方厘米的正方形？

小野妹子学吐槽：十一区小学4年级数学题：如下图，直线连结四个顶点，即成一个1平方厘米的正方形。那么请做一个2平方厘米的正方形，和一个5平方厘米的正方形……现在岛国网上一片哀号纷纷表示做不出

这个用小学数学的思路要怎么做呢？

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狂欢的孤单 回答：

以小学4年级的知识来解答，最好的思路是以面积来解答。1X1的面积是1平方厘米，那么一半就是二分之一，2平方厘米就相当于4个二分之一。1X2的面积是2，一半就是1，那么5平方厘米可以分解为1X4+1=5，后面加上的1就是中间包围的一个1X1的方格。

Ent 回答：

啊，这是一道好题呀。

解法并不难，只要想明白可以斜着画就行了。面积为2的正方形，边长是根号2，所以在图中寻找能连接成根号2线段的两点就行。面积为5，同理。

那么现在附加题来了：请问在这个点阵格子上，都能画出面积为多少的正方形？

在一个这样的点阵上，任意两点之间连线的长度d，一定满足 d ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2，其中x和y为整数。

而任意一条连线，一定对应两个等面积正方形；任意一个正方形，一定对应四条等长线段。所以，任意一个正方形的面积一定是d ^ 2的形式。

所以问题化归为：怎样的数可以表达为两个完全平方数之和？

很可惜，这个答案并不是很优美……

一个数可以表达为两个完全平方数之和，当且仅当这个数质因数分解后所有形为4m+3的因数的指数为偶数。

换句话说，如果质因数分解后3、7、11、……等等因数，要么没有，要么有偶数个，那么它就能这么表达；否则只要有一个例外，就不能。

这么说不好理解，举几个例子：

5 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2，而5的质因数分解就是 5，5形如4m+1，所以所有4m+3因数的指数当然都是0。

180 = 6 ^ 2 + 12 ^ 2，而180的质因数分解是 2^2 * 3^2 * 5, 其中3的指数是2，偶数。

2001不可以被表达为两个完全平方数之和。为什么呢？2+0+0+1=3，所以2001当然能被3整除；但正因为加起来为3而不是9，所以2001不能被9整除。所以2001一定有一个孤零零的因数3，所以不满足要求。

这个结论是从费马平方和定理延伸来的——费马证明了，一个质数可以表达为两个完全平方数之和，当且仅当这个质数的形式是4m+1 （换句话说，不是4m+3——质数嘛，除了2这个特例外是不可能表示为4m+2 和4m+4的）

完整的证明比较复杂，见这里：

http://modular.math.washington.edu/edu/124/lectures/lecture21/lecture21/node2.html