以本人为例,从初中到高中数学从来没有及格过,但是物理却一直非常好。这是为什么呢?后来我个人猜测是思维习惯的问题,我习惯或者擅长物理的那种思维方式,而对数学却完全摸不着头脑,常常纠结于公式定理的来历,比如通分,我一直想知道谁定义了通分非要那么做,为什么要那么通分,在我看来数学的那套逻辑我完全无法理解,我甚至觉得有些“荒谬”…希望各位大神一起探讨一下。
【张英锋】
你的直觉是对的,数学不好的确是思维习惯不好造成的,唯一不足的是误用了智商这个词,其实用“思考能力的高低”可能更好些。
在智商这个词上,经常有人会把因果颠倒
常常看到有人评价别人能力差是因为他的智商低,这完全拧巴了。
瞎子摸象的寓言我们都学过,其实智商就是摸象的瞎子之一,不过摸得是“人类思考能力”这只大象。要知道人类思考的原理远比大象的外形复杂的多!
智商只是一个局部测量量,测智商就像测体温,在不同的位置测,结果是不同的。它只能反应局部的、表面的状态,尽管可以作为系统整体性能的参考,却不能说系统整体都是这样的,更不能说这就是系统内部的机理。
还是用体温类比,疾病和体温是因与果的关系,人体受到病菌入侵使免疫系统激活,促使体温上升,才使测体温时的温度偏高,所以体温高不是患病的原因,是症状!
同样,不同人的思维习惯有好有坏,好的思维习惯会提高正确率和反应速度,在测智商时分数会偏高,所以思维习惯好才是根本原因,智商高只是表面的结果。
总之,智商是结果、是症状,而不是思考能力高低的原因,不要颠倒因果。
为什么物理很好,但数学却不理想?
因为你还不具备好的数学思维习惯,数学比物理要抽象一些,需要进行更多的数学思维训练才能掌握。
物理比数学好学一点,是因为物理是具体的,所有的物理定律都有现实中的物理现象来对应,只要你注意观察和实验,就可以理解物理规律。很多人在思考物理问题时,借助于头脑想象和推演就可以得出结果,不需要用笔来算。
但是数学要难一些,因为对大多数人来说数学是极为抽象的,在他们眼里,数学是数、是公式、是一大堆难记的定理。在思考数学问题时,必须依赖于纸笔去演算和推理结果,数学规律也是要靠反复做题的题海战术来熟悉,无法做到凭大脑的想象就能直观的“看到”结果。
题海法的优点是简单易行,教学上人人可做,但缺点是思维效率极低,高昂的学习成本和思维成本,毁掉了无数人对数学的兴趣和自信!以至于很多人怀疑起了自己的智商。
要想提高数学的思维效率,最关键的是用正确的数学思维习惯来降低思考的成本,最终做到不借助纸笔演算就能思考数学问题!
真的能做到不用纸笔来思考数学问题吗?
其实数学家都是这样的,接下来我通过数学史上的三个案例来分析是他们是如何做到的。
############# 邪恶的分割线 ###############
好吧,我想做个实验,调查一下有多少人会对这个问题感兴趣,就不厚道的卖个关子吧^_^
只要点赞超过1000,我就揭开这个数学史上的最大秘密。
各位学霸、学渣,感不感兴趣?
稍微剧透一下,第一个案例是江湖人送绰号“数学王子”的高斯大神,另外两个是彭XX和陶XX,数学爱好者应该知道我说的是哪两位大神!
说好了,要点赞,点感谢不算!
要是我写的狗屁不通,再点反对就行了!
如果坐等时无聊,建议先看我的另一篇数学方面的回答,也是目前知乎“数学”话题下最高票的答案,《数学里的 e 为什么叫做自然底数?是不是自然界里什么东西恰好是 e?》
看完后,应该能提高你提前点赞的信心!
############# 2015年大家新年好! ###############
咳咳!谢谢大家两年来的支持(其实就是跨个年而已),顺利达到1000赞!
因为很多人等的不耐烦了,所以就不废话了,先揭晓另外两个大神,他们分别是:
“最后的通才”——彭加勒(庞加莱)
他们都有正确的数学早期教育
他们都有最持久的动力系统
他们都有遍历整个领域的习惯
请牢记这三条,这些因素让他们的计算量远远超越常人,在很小的年龄就具备了内在的视觉洞察力,成为普通人难以企及的数学“天才”。
什么是内在的视觉洞察力?
以汉语为例,注意下面这三个字
静夜思
你脑中的第一反应是什么:
中国成年人,第一反应可能浮现出李白这首诗所描绘的可视化场景。
中国儿童,第一反应可能会马上背诵唐诗,但要问他这首诗是什么意思,他会说不知道。
学过汉字的外国人,会把这三个字念出来,但不知道诗的内容。
没学过汉字的外国人,会认为这是神秘的东方符号,反正完全看不懂。
中国人因为熟悉汉语,所以可以把一首诗压缩成一个短语,当听到这个短语时就能唤起这首诗所对应的意境,也就是视觉化的直观思考。就好象欧美人听到"the die is cast",就会浮现出凯撒渡过卢比孔河的情景。
数学家达布(Darboux)宣称他是un intuitif(直觉的),论证说这可以从他经常用视觉表示来工作显示出来。他不关心严格性,且不喜欢逻辑。他相信逻辑不是发明之道,而是一个结构化想法的方法,而且逻辑限制思想。
这是直观化思维的特点,思维经常大幅度的跳跃,不被逻辑所约束。这也是他总是能融会贯通各个领域、成为通才的原因。
另一个数学家的例子是拉马努金。
印度历史上最著名的数学家之一。没受过正规的高等数学教育,沉迷数论,尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式,以及整数分拆。惯以直觉(或者是跳步)导出公式,不喜作证明(事后往往证明他是对的)。他留下的那些没有证明的公式,引发了后来的大量研究。
软件行业的人都知道,程序写时间长了,眼里的代码都是系统中跳动的模块,而整个软件系统则是一个复杂的生态系统。其实各行各业的专业人士都有这样的“内在的视觉洞察力”。
总之,这些内在的视觉洞察力是后天反复运用,自然形成的,只要具备正常的人类基因都可以做到。
有人可能会说:这些我明白了,是不是只要下苦功夫都可以成为那些天才?
不是滴!首先他们普遍都“拼爹”,其次他们下了功夫,但不是苦功夫。
正确的数学早期教育
如果看过很多天才的传记,你会发现他们都“拼爹、拼娘”。
也就是父母的职业背景和教育方式,对他们有极为重要的影响。父母的影响之大被很多人误以为是基因的遗传,其实不是,这是教育在起作用,是属于习惯的“遗传”。
只是绝大多数的人不知道如何正确的教育,使上一代的好习惯无法复制到下一代身上,出现了“富不过三代”的现象。
而高斯、庞加莱和陶哲轩的父母则有意、无意的进行了正确的早期数学教育。这为他们在数学界的顶尖地位奠定了坚实的习惯基础。
这个早期教育有多早呢?是不是胎教的时候就开始?
也没有那么早,最合适的时间大约在1岁到3岁之间,是在幼儿形成语言的时期同时进行。
高斯的幼年
高斯的父亲因为具有初等算术的能力,曾做过会计。高斯也曾说过“我的母亲是个非常善良的女性,我非常敬重她。”
3岁那年,他父亲正在给工人们发工资,小高斯突然指出“爸爸,你算错了!”,经过检查小高斯是对的,这让周围的大人目瞪口呆。
成年后的高斯说,在他学会说话之前就会计算了。这说明在高斯的幼年经常接触到各种数字,无意间让他很小的年龄就掌握了初等算术。
庞加莱的幼年
庞加莱的父亲莱昂是第一流的生理学家兼医生、南锡医科大学教授,庞加莱的母亲非常善良、聪明、慈爱,把所有的爱心和精力都用在他身上。因为耐心的教导,庞加莱的智力发展的很快,很早就学会说话。
作为英语国家的学前教育典范,来自美国的《芝麻街》儿童系列节目在当时大受欢迎。陶象国夫妻把《芝麻街》作为陶哲轩的启蒙教材。
就这样,陶哲轩一面看电视节目,一面自己学习,不到2岁就学会了英文字母。他很快学会拼写,能用积木拼出单词“狗”或“猫”。2 岁多时,陶哲轩对父亲办公室里的一台打字机发生兴趣,不辞辛苦地用一个手指头敲出了儿童书上一整页的内容。
陶象国夫妇认为,在很大程度上,陶哲轩是看《芝麻街》起步的。后来,陶象国在一次采访中,曾推荐大陆引进这个有益于早期儿童智力开发的趣味节目。
回顾一下这三位“天才”在早期教育的优势:
基本算术能力:高斯和陶哲轩在掌握说话之前就具备。
语言表达能力:庞加莱和陶哲轩很早学会。
识字阅读能力:彭加勒和陶哲轩很早学会,高斯则缺少资料。但也不会差,因为他在大学时还想从事人文方向。
如果你想让孩子在数学方面的能力有优势,就可以尽早培养他算术、语言和阅读的能力。
有人可能说:这没什么大不了啊!我(或我的孩子)小时候也这样,怎么没有成为天才?
因为很多人的教育方法没有随着孩子成长而调整,虽然可以在早期教育做对,但是在童年期教育却做错,最终功亏一篑。还有更多人培养方法不合理,大部分人不是在培养孩子,而是在催逼孩子,这样只能适得其反,还不如不培养,放任其自由发展。
童年期的数学习惯培养
幼儿期只是打基础,很多父母都可以做到,但是数学能力的训练只有到童年期才是最关键的,做好了就会进入能力爆炸时期,做错了就会“泯然众人矣”。
为了说明如何在不同阶段用不同的教育方法,我们以自行车的学习为例:
辅导阶段:需要父母手把手的训练,直到能稳定车身不跌倒为止,做错了要警告。
跟随阶段:孩子跟随父母骑行,学会交通规则、处理各种路况和意外,危险情况要警告。
探索阶段:让孩子自己去尝试,孩子会享受探索的乐趣,乐此不疲的到处骑行,多鼓励和认可。
提升阶段:骑行能力已经具备,多数人到此为止,如果孩子想挑战高难度,放手让他去试错。
你看,孩子通过自行车可以探索更广阔的领域,这种体验是无以伦比的。
而大部分家长往往用一种方法走到黑,把最初的警告和保守手段一直用到底。孩子很快就对骑车失去兴趣,也不愿意挑战更高难度。正是因为这样,我们大部分人的骑车能力仅能达到够用的水平。同样,我们大部分人的数学也是够用的水平,本质的原因是相同的。
不同的教育方法效果有天地之别
我们以基础数学的加法运算为例,来看看3种掌握数学的方法,请思考不同方法的持久性。
老师主导的教学法:
老师讲解10以内的加法规则。
老师要求学生背诵加法表。
老师提问考察学生理解情况。
老师布置大量练习,指出学生的错误和责令修改。
老师布置家庭作业让学生课下练习。
老师安排阶段性考试,进行成绩排名。
老师讲解10以上的加法规则。
师生互动的探索法:
老师引导学生通过观察演绎出加法规则。
老师引导学生提出各种问题。
学生尝试各种组合,自己寻找加法的规律,并解释原因。
学生有问题和老师一起分析讨论。
老师帮助学生设定更高的挑战目标,鼓励学生课下去研究。
学生提出自己的理论,运用加法规则去验证自己的想法。
学生遇到问题自己寻找解决方法。
老师让学生研究10以上、100以上甚至更高位数的规则。
老师让学生展示自己的研究成果。
“天才”的野蛮成长:
经常把数字进行任意的排列、组合,以此作为天马行空的娱乐方式。
每天满脑子转来转去的都是数字和比例关系的直观图像。
今天母亲教了加法规则,真的很有趣,拿我的那些数字试一遍。为了验证规律,把自己已知的所有数字都尝试用加法演算一遍。
每次用的数字都比上次更难,先从10以内尝试,一直尝试到100以内,发现加法规律仍然成立。
尝试将数字从1加到10进行累加,偶然发现如果将数列的首尾对称相加,计算效率会极高!
尝试将已知的所有数字都用新方法累加,例如1加到100,或任意截取一串数列,发现依然成立,效率很高。
好棒!自己的演算工具箱又多了一个新工具!
这两天没事就用新工具演算各种等差数列,调整数列之间的公差,发现工具依然适用,更兴奋了!
再尝试变换加法的运算顺序,偶然发现其逆运算——减法规律。哎哟!不错,这个diao,超级兴奋!
继续演算已知的所有数字来验证减法规律,并兴奋的跑去告诉妈妈,我修改了加法顺序,发现了新运算规律!
妈妈很惊讶,我还没教你减法呢?
以上情节皆属虚构,若有雷同,纯属巧合!
但我相信你能感觉到:
第3种方法最能激发出的蓬勃和持久的动力。
第2种的持久性虽然很好,但不如第3种,因为没有老师的参与,学生仍有可能打回原形。
第1种的持久性则是最差的,也是最普遍的数学教育,把大部分人的数学自信心给毁了。
现在你能明白为什么我们奥赛总拿奖,却一直没有出优秀数学家了吧!
奥赛是技能训练,并不是独立自主的探索发现过程。赛前拼命刷题,各种辅导,但当奥赛结束了,学生依旧打回原形。
而天才是永不停歇、狂飙猛进的,哪会有停下来的时候呢?!
后面我还会再分析天才的野蛮成长过程,这里稍微从数学里出来一下,看看神经科学。
早期的数学教育为什么重要?
因为这是大脑发育的关键期,在大脑发育的早期阶段,人们会损失大量的灰质细胞,只有最常用的灰质细胞会保存下来。从下面的图中,你可以看到随着年龄增加,人脑的灰质比例在逐渐减少。也就是年龄越小人脑的可塑性越强,年龄越大可塑性越弱,到20岁时主要习惯已经逐渐固化下来了。
我入学时,学校安排我加入了一个“数学天才班”,那里集中了哥大所有的数学尖子,一个班只有七个人。我们在那里学习微积分特别理论,但很快,我就发现我的数学突然由“最好的”变成“最差的”了。这时我才意识到,我虽然是“全州冠军”,但是我所在的州是被称为“乡下”的田纳西州,当我与这些来自加州或纽约州的真正的“数学天才”交手时,我不但技不如人,连问问题都胆怯了,生怕我的同学们看出我这个“全州冠军”的真正水平。这么一来,我越来越落后。当我上完这门课后,我深深地体会到那些“数学天才”都是因为“数学之美”而为它痴迷,但我却并非如此。
再看看真正的数学“天才”从童年开始的成长历程。
高斯童年到成年的成长案例
有三个人对高斯童年的能力成长有巨大的影响:
他的舅舅,弗里德里希(Friedrich)
小学老师,比特纳(J.G. Büttner)
老师助理,巴特尔斯(Bartels)
高斯的舅舅弗里德里希是一个成功的纺织商人,他发现了高斯的才华,并经常用很生动的方式来启蒙小高斯。如果不是舅舅经常劝导高斯的爸爸往学术方面发展,高斯很可能会成为园丁或者泥瓦匠。高斯后来曾遗憾的说,舅舅的早逝使"我们失去了一位天才",因为舅舅广博的思想对他的成才有非常重要的影响。
高斯的小学老师比特纳则是一个非常苛刻的老师,以虐待小孩著称,他在高斯9岁(3年级)时开始教数学,有一次他给学生出了一道题,就是那个家喻户晓的1+2+……+99+100的数列求和题。其实根据E·T·贝尔的考证,比特纳出的题目更难,是计算81297+81495+81693+…+100899这样的大数等差数列的和,数列公差为198,项数为100。尼玛,这老师也太坏了!
比特纳没想到,他刚把题目写完,高斯就已经算完,根本没写演算过程,直接就把答案写到了石板上。比特纳很震惊的发现答案是正确的!这说明高斯不仅具有极为熟练的大数心算能力,而且计算技巧已经非常娴熟,这绝不是普通孩子靠按部就班的学习能做到的。比特纳说:"你已经超过了我,我没有什么东西可以教你了。"就从汉堡买了很多更深的数学书籍让他学习。
另一个对高斯有重大影响的是比特纳的助手巴特尔斯(Bartels),不要小看这个助手,巴特尔斯后来到喀山大学教书,是另一个大数学家罗巴切夫斯基的老师,后来罗巴切夫斯基和高斯的得意门生黎曼一起开创了非欧几里得几何,为爱因斯坦建立广义相对论提供了有力的数学工具,当然这是后话。
高斯的成长离不开与导师、朋友的交流和讨论;
高斯惊为天人的计算能力来自于从小到大极高强度的数学计算;
高斯通过计算训练积累了大量的计算技巧,并能发明高效率的计算工具;
高斯通过计算训练形成了强大的直觉思考能力,其成果如能及时发表可以推进高等数学50年;
高斯成为大数学家后仍然进行极高强度的计算,并因此又开创众多的新学科。
看到这,很多人的心已经“哇凉哇凉”滴了。
悲观者:哎妈!连高斯大神都这么拼,这么下苦功,看来我的数学是彻底没戏了!
大神高斯:你丫才下苦功,你全家都下苦功!没听前面说吗?这是成瘾症状,我这是严重的计算成瘾!谁要是能靠毅力能干这样高强度的事情,谁就一SB!
呵呵,夸张一下。
其实高斯与那些连续几个通宵打游戏的宅男们没有太大区别!他们不是在下苦功,他们都是深陷在强烈的好奇心和成就感里无法自拔。
还有一个数学大神欧拉的作死故事:
1735年,28岁的欧拉发现了新的行星轨道计算方法,用了三天时间计算一个彗星的轨道,结果导致了右眼失明。高斯的评价是“如果我用那个方法计算三天,我的两只眼睛都会瞎掉!”
幼儿阶段,在语言能力形成期,建立算数的基础设施
儿童阶段,正确的教育和训练,建立起持久的动力系统,导致数学能力大爆炸
成年阶段,依赖海量的计算训练出强大的直观思维,不需要纸笔就可以思考数学问题
专家阶段:直观思维比逻辑思维的成本更低,有助于发现多领域的相似性,开创更新、更高层次的理论
可能你已经发现了,我前面提出的问题——真的能做到不用纸笔来思考数学问题吗?——其实已经得到解决了,还顺便论证了天才的形成既不是靠天赋、也不是靠勤奋,而是靠持久的动力系统。
好了,接下来该说庞加莱了,他的案例对成人学好数学有更强的借鉴价值,因为除了穿越者,没有人能回到童年重新开始。
通才庞加莱的成长历程
前面提到“成人迁移知识和技能的成本很低,更擅长于跨界”,那如何才能实现从自己的专业领域向数学迁徙呢?
庞加莱就是很好的案例,因为他最擅长跨界,被誉为最后的通才(The Last Universalist)。
E.T.贝尔在《数学精英》中指出:
在今天起步的任何人,都不可能全面理解数学的四个主要部分——算数、代数、几何、分析——中的两个以上,更不用说做出高质量的创造性工作了,对天文学和数学物理就更谈不上了。
十九世纪八十年代,在庞加莱的伟大事业开始时,人们就普遍认为高斯是最后一个数学通才。
所以这里的通才并不是指那种涉猎广泛、样样精通的人才,而是特指一类顶尖大数学家:
他们具有极广的视野,不仅在数学内的算数、代数、几何、分析等领域开天辟地,而且在天文学、物理学、经济学等领域,都有影响极深的开创性成果。
例如目前公认的三大数学家阿基米德、牛顿、高斯,都是这样的通才大数学。
列一下他们的称号,看看他们的广博程度。为什么不列成就只列称号?因为实在太多了!
阿基米德:古希腊哲学家、数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家,力学之父。
牛顿:英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士,铸币局局长。
高斯:德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,哥廷根天文台台长。
而庞加莱就是就是继高斯之后,集数学家、物理学家和天文学家于一身的最后一个通才。
先看庞加莱在天文学领域的贡献
1887年,瑞典国王悬赏了高额奖金,求解一个已经困扰了天文学、物理学界200多年的天体物理问题——三体问题。很快庞加莱就简化了三体问题,取得了突破性的进展,并在第二年就获得了奖金。这时的庞加莱只有33岁,1年前他刚刚成为法兰西科学院院士,9年后就成为科学院院长!
庞加莱还发现,即使被简化的三体系统,只要微小的扰动,就会极大的改变天体的循行,使其行为完全无法预测。这一发现导致了一个全新的科学分支——混沌理论——的诞生。
如果我不发现狭义相对论,5年以内肯定会有人发现它。如果我不发现广义相对论,50年内也不会有人发现它。
NND,总算给物理学家出了口恶气!
不管怎样,凭着从三体问题到狭义相对论的诸多开创性成就,庞加莱的物理大师地位是当之无愧的。
可是为什么在19世纪末,大家都已经对高斯之后出现通才不报希望的时候,庞加莱却能以数学全能、跨界天文、物理的通才身份横空出世呢?
他的成长历程和思维方式有什么独到之处?
(未完,待续!)
稍微剧透一下后面的内容:
为什么庞加莱成为通才?
为什么是最后一个通才?
现代的数学教育出了什么问题?
怎么做才能更高效的学习数学?
唉……我又给自己挖了个大坑,这铁定是一篇超长文!
############# 邪恶的分割线 ###############
凭啥抖机灵、爆照都能上万赞,目前这个答案即使到此为止,都对得起上万的赞!
如果不希望我的答案埋没在抖机灵和爆照答案下,请点赞。
点赞的成本不高,而我积累了多年的私货,这个成本却极高,不花钱免费获得不是很划算吗?
如果过不了万,好像说不过去,你说呢?
本来我想把写作周期定为一周,但是很多人只看不赞,还有的只点感谢,让我超级不爽,所以决定任性一把。
那啥,我的动力系统突然有点缺油了,各位看客去动员你所有的资源来点赞吧!相信他们都会感谢你的。
我每天还会更新,当然是点赞越多(不设上限),更新越多了!
看不惯?想骂娘?
无所谓!有钱可以任性,有料也可以任性!
要良币还是要劣币,你们说了算。
参考资料
《走近高斯 》
世界数学名人
《世界因你不同》
老版的《数学精英 》或新版的《数学大师——从芝诺到庞加莱 》
《高斯的内蕴微分几何与非欧几何》
《彭加勒——通才的绝唱 》
天才数学家陶哲轩
“三体”问题新突破 物理学家找到13族特解
赵峥教授:爱因斯坦与相对论
联系客服