第03讲 基本不等式 (基础版精讲精练）-10

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：利用基本不等式求最值

角度一：凑配法

角度二：“1”的代入法

角度三：二次与二次（一次）商式（换元法）

角度四：条件等式求最值

高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围

高频考点三：利用基本不等式解决实际问题

高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数

第四部分：高考真题感悟

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

①如果

，

，

，当且仅当

时，等号成立．

②其中

叫做正数

，

的几何平均数；

叫做正数

，

的算数平均数．

2、两个重要的不等式

①

（

）当且仅当

时，等号成立．

②

（

）当且仅当

时，等号成立．

3、利用基本不等式求最值

①已知

，

是正数，如果积

等于定值

，那么当且仅当

时，和

有最小值

；

②已知

，

是正数，如果和

等于定值

，那么当且仅当

时，积

有最大值

；

4、常用技巧

利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.

①凑：凑项，例：

；

凑系数，例：

；

②拆：例：

；

③除：例：

；

④1的代入：例：已知

，求

的最小值.

解析：

.

⑤整体解：例：已知

，

是正数，且

，求

的最小值.

解析：

，即

，解得

.

1．已知正数

满足

，则

的最大值（    ）

A．

                          B．

                          C．

                          D．

【答案】B

【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为正数

满足

，

所以有

，当且仅当

时取等号，

故选：B

2．已知

，

，则

的最小值为（    ）

A．

                        B．

                           C．

                          D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式进行求解.

【详解】因为

，

，

所以

（当且仅当

，即

时取等号），

即

的最小值为4.

故选：D.

3．已知

，则

的最小值是（    ）

A．3                           B．8                           C．12                          D．20

【答案】A

【分析】利用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为

，

所以

，当且仅当

时取等号，即当

时取等号，

故选：A

4．已知

，则

的最大值为（    ）

A．

                        B．

                         C．0                           D．2

【答案】C

【分析】把所求代数式

变形，转化成

，再对其中

部分以基本不等式求最值即可解决.

【详解】

时，

（当且仅当

时等号成立）

则

，即

的最大值为0.

故选：C

5．用一段长为

的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（   ）

A．

                     B．

                    C．

                     D．

【答案】A

【分析】设矩形的长为

m，表示出宽，写出面积的表达式，再利用基本不等式求积的最值即可.

【详解】设矩形的长为

m，由题意，宽为

，所以该菜园的面积为

，则由基本不等式得

，当且仅当

时取等号，所以该菜园面积的最大值为

.

故选：A

高频考点一：利用基本不等式求最值

角度一：凑配法

6．若

，则

的最小值为（    ）

A．

                          B．

                      C．

                          D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】解：

，

，

则

，

当且仅当

时，等号成立，

故

的最小值为

，

故选：

．

7．函数

取最小值时

的值为（    ）

A．6                           B．2                           C．

                        D．

【答案】B

【分析】变形为

，再根据基本不等式可得结果.

【详解】因为

，所以

，

所以

，

当且仅当

且

，即

时等号成立.

故选：B

【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值时，取等号的条件，属于基础题.

8．函数

，

的最小值是（    ）

A．

                          B．

                        C．

                      D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求得

的最小值.

【详解】

，

当且仅当

时，即当

时，等号成立，

故函数

的最小值为

.

故选：D.

题型归类练

9．已知

，则

的最小值是(    )

A．5                           B．4                           C．8                           D．6

【答案】A

【分析】利用基本不等式即可求解．

【详解】∵

，∴

，

∴

，

当且仅当

，即

时等号成立，

∴

的最小值是5．

故选：A．

10．函数

的最小值为（   ）

A．3                           B．2                           C．1                           D．0

【答案】C

【分析】根据基本的不等式，构造定值，即可求解.

【详解】解：

（当且仅当

时，即

时取“=”），所以最小值为1，

故选：C.

11．已知

，则函数

的最小值为（    ）．

A．4                           B．6                           C．8                           D．10

【答案】B

【分析】由题意得

，则

，然后利用基本不等式可求得结果

【详解】由于

，则

，

故

当且仅当

，即

时取到等号，

因此

的最小值为6．

故选：B

角度二：“1”的代入法

12．已知

，

，

，则

的最小值为（    ）

A．

                 B．12                         C．

                 D．6

【答案】A

【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.

【详解】因为

，

，

，

所以

，

当且仅当

，即

时，等号成立.

故选：A.

13．已知正数

，

满足

，则

的最小值为（    ）

A．6                           B．8                           C．16                          D．20

【答案】C

【分析】运用的“

的妙用”和基本不等式即可求解.

【详解】由已知条件得

，

当且仅当

，

时，即

，

时等号成立.

故选：

.

14．已知

，

，且

，则

的最小值为______.

【答案】4

【分析】利用“1”的妙用，运用基本不等式即可求解.

【详解】∵

，即

，

∴

又∵

，

，∴

，当且仅当

且

，

即

，

时，等号成立，则

的最小值为4.

故答案为：

.

题型归类练

15．已知第一象限的点

在直线

上，则

的最小值是___________.

【答案】

##

【分析】由第一象限的点

在直线

上，可知

，带入原式中，利用基本不等式即可求解.

【详解】解：因为第一象限的点

在直线

上，所以

，

所以

，

当且仅当

时等号成立，

故答案为：

.

16．若

，

，且

，则

的最小值为________．

【答案】4

【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.

【详解】由题设，知：

当且仅当

时等号成立.

故答案为：4.

17．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则

的最小值为________.

【答案】9

【分析】由x＋4y＝1，结合目标式

，将x＋4y替换目标式中的“1”即可得到基本不等式的形式，进而求得它的最小值，注意等号成立的条件

【详解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1

∴

当且仅当

有

时取等号

∴

的最小值为9

故答案为：9

【点睛】本题考查了基本不等式中“1”的代换，注意基本不等式使用条件“一正二定三相等”，属于简单题

角度三：二次与二次（一次）商式

18．函数

的值域为（    ）

A．

                   B．

                   C．

                  D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式即可求出．

【详解】因为

，当且仅当

时取等号，所以函数

的值域为

．

故选：C．

19．若

，则

有（    ）

A．最大值

               B．最小值

               C．最大值2                D．最小值2

【答案】D

【分析】构造基本不等式

即可得结果.

【详解】∵

，∴

，

∴

，

当且仅当

，即

时，等号成立，即

有最小值2.

故选：D.

【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.

20．函数

的最大值为（    ）

A．3                           B．2                           C．1                           D．-1

【答案】D

【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；

【详解】

，

当且仅当

,即

等号成立.

故选：D.

【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.

题型归类练

21．当

时，函数

的最小值为___________．

【答案】

【分析】将函数解析式变形为

，利用基本不等式可求得结果.

【详解】因为

，则

，则

，

当且仅当

时，等号成立，

所以，当

时，函数

的最小值为

.

故答案为：

.

22．若

，则

有（    ）

A．最大值

              B．最小值

              C．最大值

                 D．最小值

【答案】A

【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.

【详解】因

，则

，

于是得

，当且仅当

，即

时取“=”，

所以当

时，

有最大值

.

故选：A

23．已知

，则

的最小值是________．

【答案】

【解析】将函数

的解析式变形为

，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值.

【详解】当

时，

，

，

当且仅当

，即当

时，等号成立，

因此，函数

的最小值为

.

故答案为：

.

【点睛】本题考查利用基本不等式求解函数的最小值，解答的关键就是对函数解析式进行化简变形，考查计算能力，属于基础题.

角度四：条件等式求最值

24．已知

，

，且

，则

的最小值为（    ）

A．

                           B．

                          C．

                          D．

【答案】B

【分析】将

变形为

，再用基本不等式和解不等式即可.

【详解】因为

，

，且

，

所以

，

所以

，

所以

，即

当且仅当

，

即

，

时等号成立，故

的最小值

．

故选：B.

25．已知正实数a，b满足

，则

的最小值是（　　）

A．2                           B．

                 C．

                 D．6

【答案】B

【分析】根据

变形得

，进而转化为

，

用凑配方式得出

，再利用基本不等式即可求解.

【详解】由

，得

，

所以

，

当且仅当

，即

取等号.

故选：B.

题型归类练

26．已知正数a、b满足

，则ab的最大值为____________

【答案】

【分析】由题得

，再利用基本不等式求最值.

【详解】因为正数a、b满足

，

故可得

，

当且仅当

时，即

时取得最大值.

故答案为：

【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

27．已知正数

，

满足

，则

的最小值为______．

【答案】18

【分析】由

可得

，

展开利用基本不等式即可求解.

【详解】由

可得

，

所以

，

当且仅当

即

时等号成立，

所以

的最小值为

，

故答案为：

28．若

，且

，则

的最小值是____________.

【答案】

【分析】应用基本不等式“1”的代换求a+4b的最小值即可.

【详解】由

，有

，

则

，

当且仅当

，且

，即

时等号成立，

∴

最小值为

.

故答案为：