1.不等式
用不等号连接起来的式子叫做不等式.
常见的不等号有五种: “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”.
2.不等式的解与解集
不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
不等式的解集:一个含有未知数的不等式的解的全体,叫做不等式的解集.
不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点,是实心圆点;不包含边界点,则是空心圆圈;再确定方向:大向右,小向左。
说明:不等式的解与一元一次方程的解是有区别的,不等式的解是不确定的,是一个范围,而一元一次方程的解则是一个具体的数值.
3.不等式的基本性质(重点)
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.不等号的方向不变.如果,那么
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.如果,那么(或)
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.如果那么(或)
说明:常见不等式所表示的基本语言与含义还有:
①若a-b>0,则a大于b ;②若a-b<0,则a小于b ;③若a-b≥0,则a不小于b ;④若a-b≤0,则a不大于b ;⑤若ab>0或,则a、b同号;⑥若ab<0或,则a、b异号。
任意两个实数a、b的大小关系:①a-b>Oa>b;②a-b=Oa=b;③a-b<Oa<b.
不等号具有方向性,其左右两边不能随意交换:但a<b可转换为b>a,c≥d可转换为d≤c。
4.一元一次不等式(重点)
只含有一个未知数,且未知数的次数是1.系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式.
注:其标准形式:ax+b<0或ax+b≤0,ax+b>0或ax+b≥0(a≠0).
5.解一元一次不等式的一般步骤(重难点)
(1)去分母;(2)去括号;(3)移项; (4)合并同类项;(5)化系数为1.
说明:解一元一次不等式和解一元一次方程类似.不同的是:一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向必须改变,这是解不等式时最容易出错的地方.
例:
6.一元一次不等式组
含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.
说明:判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件:①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式,且未知数相同;②不等式组中不等式的个数至少是2个,也就是说,可以是2个、3个、4个或更多.
7.一元一次不等式组的解集
一元一次不等式组中,几个不等式解集的公共部分.叫做这个一元一次不等式组的解集.
一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定.
8. 不等式组解集的确定方法,可以归纳为以下四种类型(设a>b)(重难点)
不等式组 | 图示 | 解集 |
| | (同大取 ) |
| | (同小取 ) |
| | (大小交叉取中间) |
| | (大小分离解为空) |
9.解一元一次不等式组的步骤
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
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