matlab矩阵求逆：inv pinv \ / 斜线运算符的选择 | 学步园

之前一直觉得使用pinv进行矩阵求逆是有效方便的，但是一直不明白pinv和inv函数的区别，此外matlab有时会显示警告信息，指出计算不需要求逆，使用符号“/”或“\”会避免求逆，加速运算效率。

         在做Sacchi课程geoph431的assignment 1的时候，碰到求逆问题，发现矩阵使用inv求逆得到的结果很差，而使用pinv得到的结果很好。因此开始想到底两者有什么区别。

         经查证，inv是matlab的built-in函数，使用whichinv可以查询到inv.m的位置，但其实里面什么都没有。built-in函数好像是查询不到源码的。而pinv则可以看到其源码，不长，其实就是调用另外一个built-in函数SVD进行奇异值分解，再截断奇异值进行求解而已。所以pinv实际上就是截断奇异值求逆。

         另外，在浏览网页的时候看到一个帖子很有典型性，网址是：

http://blog.csdn.net/lsg32/article/details/7194298

帖子题目是：《Matlab中的\和/和pinv的关系以及运算》。文中提到：使用各类优化算法求逆都得不到好的结果，结果一个“\”运算居然很快就得到了很精确的解。这是个很奇妙的事情。因此，追求“\”的运算原理是很必要的。

         matlab的help中写道：（根据上述博客）

inv：Y=inv(X)返回方阵X的逆矩阵，如果X病态或者高度奇异，则会显示警告信息。实际上，很少需要真的把矩阵的逆求出来，常见的使用失误主要出现在求解线性方程组AX=b。一种求解方法为x=inv(A)*b，但如要达到更快，更稳定，就得用X=A\b。这个算法使用高斯消去法，因此不产生逆矩阵。

“\”：反斜线符号，矩阵左除。如果A是方阵，A\B近似等于inv(A)*B，只是他们的算法不一样。如果A是n*n的方阵，B是n*1的列向量，或n*?的矩阵，那么X=A\B是AX=B的解。如果A很病态或者很奇异，很会显示警告信息。A\EYE(SIZE(A))计算A的逆，参见mldivide可得到更多信息。如果A是m*n的矩阵，m!=n，B是m*1或m*?的列向量，那么X=A\B就是线性方程组AX=B（超定或者欠定）的最小二乘解。A的有效秩（effective
rank）k有选主元的QR分解决定。Asolution X is computed that has at most k nonzero componentspercolumn。如果K<N，结果通常和pinv(A)*B不一样，后者是最小范数解。A\EYE(SIZE(A))用来求解A的广义逆。

mldivide(A,B)：等价于A\B，A和B必须有一样多的行，除非A是个标量（这时就等于.\）。如果A是个方阵，A\B近似等于inv(A)*B，只是两者算法不一样。如果A是m*n的矩阵，那么X=A\B求解AX=B（超定或欠定）的最小二乘解，即（AX-B）的范数极小。

         此外，博文还叙述了matlab对矩阵的一些其他优化措施。

 

疑问：

为什么采用高斯消去能达到比inv更好的效果？