非线性动力学浑沌（I）
刘华杰

此为1993年稿，北大方正注解小样

[KMB][AM]
〖SM(〗非线性动力学浑沌〖SM)〗


〖HT3,2H〗〖STHZ〗非线性动力学浑沌〖STBZ〗〖HT〗[ML]

〖HK22〗
〖HT4LB〗以卡姆定理为代表的浑沌理论揭示了决定论和随机论之间、牛顿力学和统计力学之间没有不可逾越的界线。浑沌理论宣告了玻尔兹曼在这方面比爱因斯坦高明些。〖HT〗
〖JY，1〗——朱照宣
〖HK〗

[LM]

〖DS(2。2W〗〖HT2SS〗宏〖DS)〗[HT]观上粗略地看，非线性动力学浑沌好象是突然涌现于当代科学界的，一切好象从零做起。但是只要稍接触浑沌研究史，就会发现不是这样。如果拿“放大镜”去考察科学史，会找到一种奇妙的、几乎连续的思想发展过程。这又会使人走向另一个极端：以为所谓的浑沌新科学不过是诸多旧知识的整理或再发现。这两种认识目前在学界都大有支持者，否定它们的唯一办法是研究科学史中被忽视的部分，清楚地展示哪些思想“古已有之”，哪些思想“平地崛起”。

[HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.0〓世纪之交的非线性动力学浑沌思想〖STBZ〗[HTSS]〖ML〗



浑沌语义问题的讨论包括从科学史角度对浑沌概念作历史性的考察，这部分工作不是一般语言学家能做的。浑沌概念科学的、历史的语义学考察对于浑沌研究，特别是浑沌理论向其它学科的渗透，以及对浑沌理论作哲学概括，有着关键性的意义。这里首先开列一张人物清单，作者考虑，清单上的人物至少应包括：阿达马(J.S.Hadamard,1865-1963)、迪昂(P.M.M.Duhem,1861-1916)、麦克斯韦(J.C.Maxwell,1831-1879)、庞加莱、李亚普诺夫(А．М．Ляпунов,1857-1918)、克雷洛夫(Nikolaǐ Sergeevich Krylov,1917-1947)、伯克霍夫、范德坡(B.von der Pol)和范德马克(J.von der Mark)、杜芬(G.Duffing)、莫尔斯(H.M.Morse,1892-1977)、卡特赖特(M.L.Cartwright,1900-?)、李特尔伍德(J.E.Littlewood,1885-1977)、莱温松(N.Levinson)、玻恩、布里渊(L.N.Brillouin,1889-1969)、麦堡(P.
J.Myrberg)、KAM三人、萨可夫斯基(A.N.Sarkovskii)、埃农(M.Henon)和海尔斯(C.Heils)、上田〖HT5,7SS〗目[KG-*4][HT5,7SS]完[HT]亮(Y.Ueda,1936-)、洛仑兹(E.N.Lorenz,1921-)、福特、梅、芒德勃罗(B.B.Mandelbrot,1924-)、李天岩和约克、费根鲍姆(M.Feigenbaum) …… 。

这张表还可以接下去写很长，不过列到费根鲍姆就足够了，后面的故事人们一般较熟悉些。我们在其它地方讨论过的，〖ZW(B〗参见苗东升、刘华杰，《浑沌学纵横论》第二章，中国人民大学出版社1993年。〖ZW)〗这里不再涉及；几位尚未找到详实材料的，暂时也不讨论。由于研究难度非常大，我们的考察是相当初步的。

[HS2]〓〓〖STHZ〗〖WTHZ〗〖HTK〗1)麦克斯韦〖WTBZ〗〖STBZ〗〖HTSS〗

世人都熟悉麦克斯韦在电磁理论中的贡献，其实在动力学、统计力学中他也有不少杰出的工作。对传统力学的缺点，他有清醒的认识。早在1873年就说过从浑沌学角度看十分精辟的话，通过朱照宣先生在一本书中偶然找到如下一段论述。为了明晰起见，多处给出英文原文。


〖GK2!〗〖HTK〗
从〖ZZ(Q〗同样的〖ZZ)〗(same)前件得出〖ZZ(Q〗同样的〖ZZ)〗后件，这是一个形而上学教条。没有人能否定这一点。但是，实质上它并无很大用处，在这个世界上，同样的前件从不再次出现，任何事物也不发生两次，…… 物理学公设与此有类似之处：“从[ZZ(Q]类似的[ZZ)](like)的前提得出〖ZZ(Q〗类似的〖ZZ)〗的结果。”然而，在这里我们从〖ZZ(Q〗相同〖ZZ)〗(samness)过渡到了〖ZZ(Q〗相似〖ZZ)〗(likeness)，从绝对的精确性(absolute accuracy)过渡到了多少有些粗糙的近似(rough approximation)。对于某些类现象，数据中小的误差在结果中只引起小的误差。在这些情形中，事件的进程是稳定的(stable)。也存在其它一些类型的现象，它们是很复杂的，在此诸情况下，可以出现不稳定性(instability)，随着变量数目的增加，这些情形的数量以极其快速的方式增长。［１］〖HT〗〖HK〗


〖HS2〗〓〓〖STHZ〗〖WTHZ〗〖HTK〗2)法国传统：阿达马、迪昂和庞加莱〖WTBZ〗〖STBZ
〗〖HTSS〗

在感性认识的层次，甚至几千年前人们就知道，小的原因可以产生大的后果，系统的长期行为不可预测，但那与实证科学无关。事情的关键在于对于具体系统给出严格的证明，清楚地显示初始条件的微小偏差使得随后的演化极其不同，预测变得无用。

法国著名数学家阿达马于1898年发表划时代的论文“负曲率曲面上的测地流”(Les surface
s à courbures opposées et leurs lignes géodésiques)，［２］当时他30岁。阿达马考虑，在无摩擦情况下，质点在扭曲的负曲率曲面上如何运动。质点的轨迹形成所谓的“测地流”。从数学角度看，测地流还是比较好研究的，阿达马证明负曲率曲面上的测地流存在“对初始条件的敏感依赖性”(具体含义见后文)。形象点说，阿达马研究的具有定常负曲率的曲面的样子为，剪一片罗巴切夫斯基平面，把它折起来，然后将边缘用胶水粘上。70年代苏联学者西奈(Ya.G.Sinai)就凸障碍物的“台球”系统给出类似定理的证明。相对比，阿达马的证明难度要小得多。

法国科学史家、科学哲学家迪昂是较早领悟阿达马上述结果的哲学含义的人物之一。在1906年出版的写给普通读者的书中，迪昂把其中一节的标题设为：“一个数学推演永远失效的实例”，［３］他指的数学推演是，计算阿达马曲面上台球的一条轨线。“永远失效”的意思是在初始条件中出现的微小不确定性，将导致很大的不确定性，使得对于足够长时间的轨道预测来说，预测失去了根本意义。他说，考虑阿达马曲面上的一质点，给定它运动的速度，〖ZZ(Q〗从数学角度〖ZZ)〗思考，我们能够确定这一点的轨迹，但是〖ZZ(Q〗物理上〖ZZ)〗则做不到，所以这种数学推断没用。“对于物理学家来说，这样的推断法永远是无用的。因为，当已知数不再从几何学的角度来考虑，而是由人们所需要的那样精确的物理学的手段来确定，那么所提出的问题，现在和将来永远没有答案。”［４］所谓“几何学的角度”指“点”是无大小的，点的位置是无限精确的，刻画该点一般至少需要一个无理数(因为随便抓一点几乎都是无理数!)。

庞加莱对浑沌研究的贡献无论怎样夸讲都不算过分。杰克逊(E.Atlee Jackson)撰写的两卷本名著《非线性动力学展望》第一章标题为“〖ZZ(Q〗起初……〖ZZ)〗”，次级标题是“〖ZZ(Q〗……有个庞加莱〖ZZ)〗”，第一句为“现代非线性动力学倘若有位圣父，那就是庞加莱。”［５］作者杰克逊分明仿照《圣经·创世纪》的语句，将庞加莱置于“上帝”的位置。定语“现代非线性”很重要，是绝对不能省略的。

庞加莱的遗产是多方面的，魏特曼(A.S.Wightman)认为至少包括四个方面：(1)定性动力学，整体上流的通有行为，相图的分类；(2)遍历理论，概率思想，回复性定理；(3)周期轨道的存在性，近周期轨处流的结构的详细分析；(4)分岔理论。［６］1887年布伦斯(Heinrich Bruns,1848-1919)证明，三体问题的9个二阶微分方程只有10个代数积分，即3个动量积分、3个角动量积分、3个关于质心运动的积分和1个能量积分。庞加莱1890年将上述定理推广到有摄动参数的情形，证明了下述定理：

若系统的哈密顿量H用作用角度变量(J，θ)表示成如下形式

〓〓H(J，θ，λ)=H0(J)+λH1(J，θ)，〖JY〗(3.1.1)

其中H1(J，θ)是θi(i=1,…，N)的周期函数，并且海赛行列式不恒等于0，即

〓〓[JB(｜][SX(]ο2H0[]οJiοJk[SX)][JB)｜]0,〖JY〗(3.1.2)

则除了哈密顿量H(J，θ，λ)以外，不存在作为θ之周期函数的形如

〓〓I(J，θ，λ)=∑〖DD(X〗n〖DD)〗λnIn(J，θ)[JY](3.1.3)

的解析、单值运动积分。1892年，在三卷本《天体力学的新方法》(Méthodes nouvelles d

e la mécanique céleste)的第一卷第四章里，他把这一定理作了一般表述：


在通常的保守问题中，经典力学正则方程除了满足能量积分外，不满足其它任何解析、一致

的积分。［７］
此定理的重要性在于，它从一般原理的层次明确指出，可积系统是很少的；并且，许多行为

很规则的系统当受到扰动后，也可能出现不连续性，即参数或初始条件只要有微小的变化，

就可能引起复杂的、定性上的变化。庞加莱对浑沌其它有关研究的具体阐述见《浑沌学纵横

论》一书，这里只引述庞加莱关于“对初始条件的敏感依赖性”的一段精彩论断：
〖HTK〗
〖GK2!〗我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的显著结果，于是我们说这

个结果是由于偶然性。如果我们可以正确地了解自然定律以及宇宙在初始时刻的状态，那么

我们就能够正确地预言这个宇宙在后继时刻的状态。不过，即使自然定律对我们已无秘密可

言，我们也只能〖ZZ(Q〗近似地〖ZZ)〗知道初始状态。如果情况容许我们〖ZZ(Q〗以同样

近似度〖ZZ)〗预见后继的状态，这就是我们所要求的一切，那我们便说该现象被预言到了

，它受规律支配。但是，情况并非总是如此；可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在

最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的巨大误差。预言变得不可能

了，我们有的是偶然发生的现象。［８］〖HK〗〖HTSS〗


〖DM(〗3.1〓玻恩和布里渊对动力学不稳定性的认识〖DM)〗
[HS3]〓〓〖STHZ〗〖WTHZ〗〖HTH〗3.1〓玻恩和布里渊对动力学不稳定性的认识〖WTBZ

〗〖STBZ〗〖HTSS〗〖ML〗

玻恩对量子力学的研究作出了巨大贡献，他最有说服力地证明，在量子力学里概率统计

的观点具有根本意义。他将态函数ψ的模平方｜ψ｜2解释为系统处于某态的概率(几率)

，这一诠释廓清了迷雾重重的量子力学，已成为正统解释。这些情况人们一般是熟悉的，但

许多人并不晓得它们与“决定论”之间的关系。

玻恩有句名言：“粒子运动遵循几率定律，而几率本身按照因果律传播。”［９］这

里的“因果律”相当于科学中的“决定论”(具体含义见第5章)。玻恩进一步思考经典力学

中是否真的总是决定论的。“经典力学真的在所有情况下都使得预测可以进行吗?当我将天

文学时间尺度与原子物理学的时间尺度相对比时，我的怀疑增加了。”［１０］这是

玻恩在“经典力学果真是决定论的吗?”一文中说的话。我们将以此文为根据，阐述玻恩对

动力学系统“对初始条件的敏感依赖性”的认识。


文中也使用了“chaos”这个词，不过是在一般意义上：“古人和中世纪的人看到的只是天

界的秩序和预定性，而在地上则发现充斥了任性和浑沌。” 玻恩坚信经典力学有若干局限

性，表现出来的似乎无疑问的完全决定性是个假象，实际上它容许了非决定性，理由有三个

：
(1)牛顿力学并不足以解释所有观测事实，特别是原子物理学的事实。
(2)牛顿力学来自宏观领域，如果对比天文学与原子物理学的时间尺度，会看到星体世界是

“短命的”，原子世界是“长命的”。由前者得到的经验定律，试图使之对于后者永远有效

，这可能是危险的。
(3)动力学不稳定性使得小偏差可以产生意想不到的大偏差，只要对系统的初始条件测量稍

有误差，系统演化就可能违反决定论。

人们通常宣称，在气体动理论的讨论中，系统原则上都是决定论的，之所以要引入统计学，

只是因为人们不知道大量数目分子的确切初始位置。玻恩认为，这一断言极其可疑。考虑一

运动的球形分子与其它数目众多的固定的分子发生弹性碰撞。不难想象，初始速度的方向只

要有小小的变化就会导致方向的巨大改变，产生完全不同的曲曲折折的运动路径。角度有小

小的偏差就将使得本该与某分子碰撞而错过了机会。对于这类系统，若要维持决定论，就必

须要求对初始条件的测量误差完全避免。这显然不大可能，因而过程实际上是非决定论的。



为了进一步证明这一点，玻恩又讨论了三个问题：(1)动力学稳定和不稳定的区别；(2)决定

论(determinism)的含义；(3)数学连续统(continnum)的意义。进入80年代，玻恩的讨论已

被福特和则比黑里大大改进了，但回顾一下玻恩当年的分析还是值得的。

设x和v分别代表位置向量和速度向量。玻恩定义道，在初始状态中小的偏差Δx0、Δv

0在终态中若仅仅引起小的变化Δx、Δv，则运动是稳定的；否则运动是不稳定的。上面

提到的分子碰撞系统就是不稳定的，这类系统显然很多。那么行星运动是否稳定呢?玻恩提

到了三体理论和多体问题。他说：“我不晓得现代研究的进展怎样。” “关键之处在于

，存在一些系统(它们可以用作物理过程的模型)，首先它们是空间有界的，其次所有的运动

都是不稳定的。容器中具有弹性壁的弹性球形气体分子模型就是这类系统，但它太复杂了，

难以严格研究。”我们知道后来西奈对此严格证明了一个定理，证明过程极为复杂。

在阐述动力学不稳定性的意义时他说，如果我们希望保留决定论，即初始状态决定了所有

其它状态，那么我们不得不需要x0、v0的绝对确切值，禁止有任何偏差Δx0、Δv0

。我们可以讲“弱”决定性和“强”决定性。后者对应于动力学稳定运动，对其预测是实际

可行的，不幸的是这仅仅是例外情形。考察一个简单的例子，一个质点在两端有弹性壁的区

间［0，1］上来回运动，假设不受任何外来作用。实际情况是，到达某一临界时间tc=1/

Δv0，不确定性Δx＞1。 于是几乎可以在区间［0，1］的任何位置找见质点，即质点的

最终位置不确定。的确，当Δv0减小时，临界时间tc增大，但只要Δv0不是无穷小，

tc就仅仅是被推迟而已。只有Δv0=0时，tc才变得无穷大。这里已涉及到了连续统的

测量问题。玻恩正确地指出，类似于“量x有一完全确定的值(用一实数表示，或用数学连

续统的一点表示)”的陈述，“对我来说没有物理意义”。他赞同布里奇曼(P.W.Bridgman)

的操作主义的方法论。顺便一提，郝柏林提出的“自然科学的有限性原则”很类似于这种方

法论。玻恩并无意从物理学中清除实数概念，“实数概念对于分析的运用是必不可少的”。

他的意思是，在用实数描述物理过程时，必须考虑所有观测中存在的天生的不确定性。玻恩

特别指出，在量子力学中，除了海森伯不确定性外，仍然存在刚才提到的动力学不确定性或

非决定性，否则量子统计力学不会诞生。玻恩的论断为当今量子浑沌研究打下了伏笔。

布里渊熟悉庞加莱的动力学研究，也看过玻恩的众多论述，1964年专门写过一本书《科学的

不确定性与信息》。他从信息论的角度出发，天才地厘定了数学与物理科学之间必要的区别

，“物理科学”在这里泛指所有经验科学。这种区分并不困难和费解，但在现在看来的确高

明。数学驰骋天界，物理则驻足人世。天界并不实存，只是人的构想，数学就处于这样的地

位。但正因为它是尘世中人的构造，它必根植于现实，并抽象地、理想化地反映现实。

布里渊追随庞加莱和玻恩关于经典力学的看法，关于测量的极限，他举过一个很有说服力的

例子。他断言，我们绝对没有办法精确测量比10-15厘米更短的距离，仅仅因为没有

合适的衡量标准(“尺子”)。如果人们硬要测量10-50厘米左右的距离，唯一可用的

“尺子”是波长与这个距离相当的某种光波或德·布罗意波(λ≈10-50厘米)。

可以估算一下单个量子的能量大约为
〓〓E〖ZK(〗=hυ=hc/λ
=6.63×10-34×3×108／10-52
=2×1027(焦尔)。〖JY〗(3.1.4)[ZK)]

这个能量E大得惊人，足以把实验室炸得粉碎。再利用爱因斯坦的质能关系，可以估算

出瞬间湮灭掉的质量为
〓〓〓〓M〖ZK(〗=E/c2
=2×1027/(9×1016)
=2×1010(千克)
=2000 (万吨)。〖JY〗(3.1.5)[ZK)]

我们知道，为了进行测量，“尺子”(光波或物质波)与物理系统之间的相互作用至少需要一

个这样的量子，而此量子如此大的能量必然引起一场灾难。因此，测量10-50厘米左

右的距离是不可想象的。既然如此，物理学家就不要侈谈它!数学家并不受此限制，他们并

不在乎实际上能测量到何种水平。数学家可以很好地定义无理数，但物理学家从未遇见过这

种数(在严格意义上)。布里渊切中要害地说：“翻开一本纯数学书，看一个定理，总会见到

这样的叙述：给定某些条件A、B、C，假定它们被确切地满足，则可以严格证明结论Q正确

。物理学家不禁要问，我们怎么知道条件A、B、C已被确切地满足?” “我们所知道的唯一

东西是，A、B、C可以在一定范围内被近似地满足。那么，定理证明了什么呢? 或者A、B、C

的很小的误差可以导致结果Q的很小的偏差；或者不然，可能完全破坏了Q。”因此物理学

家不但要看数学定理“形式上”说了些什么，还要了解“定理的稳定性”状况。

在《科学的不确定性与信息》一书第10章，布里渊讨论了“经典力学中不确定性的实例”，

开篇就引用庞加莱《天体力学的新方法》第1卷中的著名定理(详见上节)，并阐述它的意义

。他认为，对于多数保守的经典力学系统，在用哈密顿雅可比方法表示中，除了能量积分

外不存在其它任何解析的、一致的积分这一结论，对应于实际的不稳定性，将导致不确定

性。

当时已有了KAM定理(1954年首次提出KAM定理，60年代初给出严格证明)，他可能还不知

道。不过，他的讨论在定性上与KAM定理一致。布里渊特别强调数学讨论是一回事，物理学

事实是另一回事。在用哈密顿雅可比方法讨论时，总是假定规律已知，初始条件完全给定

，运动轨迹是单一的无厚度的数学曲线，涉及共振时采用数论区分一下“通约性”，把问题

进一步区分为“一般的”和“退化的”。而在物理学家看来，初始条件没有“给定”，运动

定律也不确切知道。“无理数”和“可通约性”都不是物理概念；物理上不可能研究单个数

学轨道的性质，物理学家只知道“轨道丛”。布里渊在书中还提到波莱尔在1944年作出的类

似见解及其关于不可预测性的估算。

〖DM(〗3.2〓由欧洲大陆到美国：莫尔斯与伯克霍夫的杰出工作〖DM)〗

[HS3]〓〓〖HTH〗〖STHZ〗3.2〖STBZ〗〓由欧洲大陆到美国：莫尔斯与伯克霍夫的杰出工

作〖ML〗
〖HTSS〗
众所周知，现代科学的中心在世纪之交由欧洲旧大陆转移到了美洲新大陆。由阿达马、庞加

莱开创的法国动力系统研究传统也传到了美国，并在美国生根，最终结出丰硕的果实，令整

个世界为之惊叹。
1921年美国哈佛大学数学家莫尔斯(Harold Marston Morse,1892-1977)在《美国数学协会汇

报》上发表重要论文“负曲率曲面上的回复测地流”(论文写于1917年)，［１１］全

面论述了阿达马(1898年)、伯克霍夫(1912年)和他本人(1920年)对“测地流”的研究。在文

章的导言里他特别强调，该文证明存在“〖ZZ(Q〗不连续型的回复性测地流〖ZZ)〗”(recu

rrent geodesics of the discontinuous type，莫尔斯说这个词组是伯克霍夫给出的)。这

种“不连续”流就是当今的浑沌曲线。如果要指出历史上谁最先发现浑沌的话，莫尔斯肯定

要划入考虑的人选之一。遗憾的是现在人们差不多把他忘记了。

我们仔细读了莫尔斯的论文，还发现他很自然地把“有序符号集合”与“流”(运动系统的

运动)对应起来。他已经相当自如地使用了“符号动力学”方法，而符号动力学被认为是研

究浑沌的少有的、最严格的工具之一。在第14小节里，莫尔斯在一个引理中严格构造了一个

“非周期回复性测地流”：〖ZZ(Q〗存在由符号“1”和“2”组成的无穷集合，它构成一个

非周期的回复集合〖ZZ)〗(The exists an unending set of symbols each of which is e

ither 1 or 2, which forms a set that is recurrent without being periodic.)。
令n是正整数，引入下述定义：

〓〓a0=1,〓b0=2, 
〓〓a1=a0b0,〓b1=b0a0， ……[JY](3.2.1)
〓〓an+1=anbn,〓bn+1=bnan.
可以看出，an若展成a0和b0，有2n项。设符号序列d0d1d2d3d4…d

2n-1表示an的展开式(有2n项)。现在考虑无限序列
〓〓… d-2d-1d0d1d2 … .[JY](3.2.2)
上式的右半部分含义已经清楚了，只需把n推广到无限即可。左半部分可定义为：d-m

=dm-1(其中m为正整数)。可以证明(3.2.2)式所定义的集合是回复的且没有周期性

。由d0开始的(3.2.2)式一部分可以确切写作：
〓1221〓2112〓2112〓1221〓2112〓1221…〖JY〗(3.2.3)
周期运动是回复运动，这是毫无疑问的，那么是否存在非周期的回复运动呢?如果存在，则

它必是一种非常奇特的运动，长期以来人们并未注意到这种可能性。莫尔斯所举的实例有力

地回答了这个问题。莫尔斯进一步证明，与非闭合(非周期)测地流相对应的有序符号集合的

“势”(power)，是无穷大的，等于实数“连续统”的“势”。

伯克霍夫是20世纪初少数几个认识到庞加莱动力系统研究工作的重要性的人物之一。他仔细

研究过庞加莱的著作，正如数学家莫尔斯所说，“庞加莱是伯克霍夫的真正老师”，尽管他

并未师从于庞氏(庞氏去世时，伯氏28岁)。伯克霍夫的确不凡，真正继承并发展了庞加莱开

创的事业。美国普林斯顿大学教授魏特曼评论道：“在庞加莱去世后的20几年里，伯克霍夫

对于庞加莱开辟的动力学研究纲领，做出了最重要的贡献，这样讲一点不过分。”［１

２］

伯克霍夫对动力系统研究的具体贡献是多方面的，还需要做许多深入的考察才能作出好的总

结。首先，他于1913年证明了“庞加莱几何定理”，名声大震。不过，对他来说这只是一个

开端。此几何定理不难理解，但它是其后续工作的起点。定理说：对于圆环的一个保面积映

射F，假设F在外环上角度增加，在内环上角度减小，则此圆环内至少存在两个不动点。

这种映射习惯上称“扭曲映射”(twist mapping)。伯克霍夫研究动力系统是有明确动机的

，即用以解决经典力学中的困难问题。他把庞加莱截面法(由庞加莱和他本人共同发展的)用

于探索哈密顿系统的一般行为。他发现微分方程解的性质取决于正则级数的收敛性。如果收

敛，解位于N维不变环面(torus,复数tori)上。但是情况却是，级数的收敛、发散与否

取决于振幅的大小。当考虑非线性作用时，椭圆不动点周围的不变环面有些遭到破坏，有些

继续存在但有点变形。

伯克霍夫花大精力分析不变环面的“生存”问题，特别是对于两自由度的哈密顿系统。1932

年他证明，对应于不变环面的消失，存在不稳定区域。这样的一个不稳定区可以被一条扭曲

映射下的不变曲线所包拢，但区域内并无环绕原点的不变曲线。事实上他已证明，任意接近

外边界的点在映射作用下可以任意接近内边界，反之亦然。

在研究不稳定区结构时他找到了我们今天称之为“奇怪吸引子”的实例，当时他叫它“奇特

曲线”(remarkable curve)。他让一个收缩性的扭曲映射作用于两条不变曲线之间的不稳定

区域，结果不稳定区域被映射到了更小的一个子区域中去了。此映射的迭代，最终把原区域

变成了一个面积为零，结构极其复杂的极限集合。位于原区域中的点的轨迹都收敛到这个集

合中去，结果展示出我们今天所说的“浑沌行为”，更为不平凡的是，他已意识到这种浑沌

行为是动力系统的通有行为。1922年伯克霍夫在《数学行传》([WTHX]Acta Mathmatica[WTB

Z])上发表长达119页的论文“面变换及其动力学应用”，较详细地阐述了自己采用映射法对

两自由度动力系统运动类型的研究。文中指出，他的研究已深深触及可积性、稳定性、各种

运动的分类以及相互关系等艰难问题。论文的第5章是“回复点群”，与浑沌有密切关系。

他使用了带有“recurrent”字样的一系列术语，如：

连续性回复点群(continous recurrent point groups)；
不连续性回复点群；
不稳定的回复点群(unstable recurrent point groups)；
回复性的非周期点群(recurrent nonperiodic point groups)；
不连续型回复运动(recurrent motions of discontinous type)。
其中所说的“不连续”情形正好对应于今日广泛研究的“浑沌”。这里的“连续”是从集合

的“连通性”来定义的，与直观的理解不同，这是需要特别注意的。设Σ表示任意完备

点群集合的闭包，连续性的含义如下：对于Σ中的一点P，若Σ中所有充分接近P的点通过

Σ连通于P，则P是连续型的，反之P是不连续型的。最后，伯克霍夫把动力系统运动的类

型按由简单到复杂顺序划分出7个大的类型，在现在看来也是相当高明的，值得转述出来。

这7个类型是：［１３］
(1)通常的周期运动；双周期运动(可通过两个自变量的收敛三角级数解析表示)；三周

期运动(可通过三个自变量的收敛三角级数解析表示)；
(2)渐近于双曲型周期运动的运动；渐近于椭圆型周期运动的运动；渐近于(1)和(2)中

提到的运动的运动；
(3)双周期或三周期型回复运动(不可能用收敛三角级数表示)；
(4)不连续型回复运动；
(5)渐近于上述这些回复运动的运动(或渐近于同胚回复运动集合的运动)；
(6)特殊的运动(即当时间趋于正、负无穷大时，不接近所有相的运动)；
(7)一般的运动(general motions)。
这7类实际上还可以进一步约化成3类或4类。他把最复杂的一类运动称为“一般的运动”，

我们想他是有特别考虑的。由(1)到(7)，除个别特殊的之外(如(6))，运动越来越复杂，“

测度”越来越大，物理上的“真实性程度”越来越大，数学上研究的难度也越来越大。数学

上人们总是先研究周期运动，进而到回复运动、浑沌运动，最后是各种具体的、

与任何一种理想化的运动都不同但利用它们又都可以部分得到解释的复杂运动。伯克霍夫并

不由此而认为已大功告成，他说，“许多最致命的问题仍然未有答案”，工作的进展很大程

度上取决于能否找到新的解析工具。

伯克霍夫第二个与浑沌有关的贡献在于遍历理论。1931年他和史密斯(P.Smith)共同引进

“度规传递性”(metric transitivity)概念，从而使遍历理论有了坚实的数学基础，遍历

问题有了统一的提法，即遍历性指相平均等于时间平均，等价于度规传递性。与度规传递性

相对应还发展出拓扑传递性(topological transitivity)概念。如今，人们正在采用拓扑传

递性来精确定义浑沌，比如迪万尼(R.L.Devaney,1948-)1986年的定义(见3.10节)。

〖DM(〗3.3〓受迫范德坡方程：从物理现象到KLL的数学定理〖DM)〗

[HS3]〓〓〖HTH〗〖WTBZ〗〖STHZ〗3.3〓受迫范德坡方程：从物理现象到CLL的数学定理

〖HTSS〗〖STBZ〗〖WTBZ〗〖ML〗

早在本世纪20年代，德国物理学家范德坡(Balth.von der Pol)就已开始研究非线性电路的

弛豫振荡(relaxation oscillations)问题，得出以他的名字命名的范德坡方程及受迫范德

坡方程。1927年范德坡与范德马克发现了著名的“分频”现象，论文刊登在英国的《自然》

杂志上，题目是“频分”(Frequency Demultiplication)，［１４］全文包括两个插

图，一共只占了不到两页的篇幅(其实合起来正好是一页!)。然而他们在这里却报告了科学

史上的一个重大发现，半个世纪后的70年代中、后期，数学家们在研究一维的逻辑斯蒂映射

时以无比激动的心情再次发现类似现象。所不同的除了时间相差50年外，还有两个方面：(1

) 20年代时的顺序是由物理到数学，70年代时是由数学到物理，尽管在两个时代那些科学“

团伙”对于物理和数学都有兴趣；(2)20年代时的研究只是个别“先知”人物进行的，论文

发表后也未引起强烈反响，70年代后期则不然，结果一经报导，不用振臂高呼，应者已云集

矣。


“频分”一文对后来的浑沌学研究有两个贡献。第一，在物理系统中发现了倍周期分岔。论

文明确指出，对于由电阻(在实验中可用一只二级管代替)、可变电容、激励源组成的非线电

路，当策动项为E0sinω[KG*6]t时，系统产生倍频2ω、3ω等并不奇怪，这已是

人们熟知的事实。但是，他们发现，适当设计的此类电路还能产生分频现象，比如系统可以

出现ω/2、ω/3、ω/4以及ω/40分频，这是人们以前不知道的。分频过程进行的结果是出

现“不规则噪声”，即浑沌。第二，首次绘出“魔鬼阶梯”图象。范德坡和范德马克测试了

响应频率与电容值的关系，以测试到的时间周期T为纵轴，以可变电容值C为横轴，绘出

了宽度参差不齐的阶梯状图象。70年代末、80年初以来，人们在许多不同领域发现了同样类

型的魔鬼阶梯，可以统一用分形(fractal)等理论研究阶梯的结构。

英国数学家卡特莱特(女)和李特尔伍德(简称CL)1945年在《伦敦数学协会杂志》上发表论文

，［１５］报告了他们对受迫范德坡方程研究的一些重要结果。论文在脚注中提到了

1927年范德坡和范德马克在《自然》杂志上的文章。CL研究这些方程的动机在于，他们看到

了1938年科学与工业研究学部(DSIR)的无线电处(RS)所提交的一份备忘录。［１６］

备忘录呼吁纯数学家伸出援助之手，帮助解决某些电路中出现的困难问题，如确定可能的定

态(或稳定振荡)与频率，并搞清频率如何随参数而变化。CL的兴趣被唤起，于是花了大量时

间研究受迫振动。CL所研究的方程为
〓〓〖SX(〗d2x[]dt2[SX)]+k(x2-1)[SX(]dx[]dt[SX)]+x=bλkc

os(λt),[JY](3.3.1)
其中k，λ和b为参数。当b=0时系统为非耦合的，参数k可以引起弛豫振荡。两位数学家的

高明之处在于没有直接去解这个方程(也解不出来!)，当时也没有实用的计算机，不可能象

今天这样方便地采用数值计算，却得出了非常深刻的结论。当然在现在看来论文中有些部分

写得不够简练，或者不能切中要害。
论文在第一部分的结尾指出，从一般拓扑理论来看，极限集合K除了不动点、周期轨线，确

实还有其它可能性，即存在非常“坏”的曲线，必须仔细研究。注意，原文中“bad”是

加了引号的，伯克霍夫1932年就用过“bad curve”这样的描述语。在第三部分中指出，

当参数b处于某个区间时，存在由无穷多个周期构成的集合Σ，此外还有一种集合X，它由非

周期的极限轨线构成，具有连续统的势。作者已认识到这就是伯克霍夫所说的“不连续型回

复运动”。

CL证明了当b属于不同区间时，方程(3.3.1)的解具有不同的性质。当b＞2/3时，所有解都

趋于稳定的极限环；较有趣的是当0＜b＜2/3时，解的性态很复杂，可以把(0，2/3)开区间

分出两类小的开区间来讨论。两类小区间是Ai和Bi(i=1,2,… )，它们分别被一些小的

间隙Gi所分隔。
(1)当b∈Ai时，存在一对周期解，一个稳定一个不稳定，它们的周期是(2ni±1)T，T

是策动力的周期。
(2)当b∈Bi时，存在三类轨线：1)存在一对稳定的周期解，周期为(2ni±1)T；2)存在

周期为T的不稳定极限环；3)存在解的一个“浑沌族”F (杰克逊的用语)，F的性质见下文。


CL是熟悉伯克霍夫等人所做的先驱工作的，上述论文提到伯氏1922年、1927年和1932年的文

章和专著。另外还提到莱温松(简称L)1945年的论文。

莱温松在CL工作的基础上研究了受迫范德坡方程，1949年他在《数学年刊》上发表论文“具

有奇异解的二阶微分方程”。［１７］开篇就说，CL得出惊人的结果，但只给出了所

用方法的框架。他将讨论如下方程
〓〓[SX(]d2y[]dt2[SX)]+p(y)[SX(]dy[]dt[SX)]+y=csint [JY

](3.3.2)

其中p(y)是y的多项式，c为常数。为了研究方便，他分析的是(3.3.1)的等价形式


〓〓ε[SX(]d2x[]dt2[SX)]+φ(x)[SX(]dx[]dt[SX)]+εx=bsin

t [JY](3.3.3)
其中ε＞0，是小的常数，φ(x)的取值情况为
〓〓φ(x)=1, 当｜x｜＞1时；[JY](3.3.4)
〓〓φ(x)=-1, 当｜x｜＜1时。[JY](3.3.5)
其中b也是常数，取值范围是(0，1)。莱温松认为(3.3.2)式或(3.3.3)式比CL研究的(

3.3.1)式要简单，但能出现同样的奇异行为：方程(3.3.2)或(3.3.3)存在一个具有奇

异性的解族F。 他的研究方法是考察解曲线穿过x=±1截面的情况，即对t进行分类，分出“

偶截点”和“奇截点”。设x(t)为解族F中一个解，x(t)从其最大值(约为3，每次是不同的)

递减并首次穿过x=1截面的截点记为“偶截点”，从其最小值(约为-3，每次是不同的)递增

并首次穿过x=-1截面的截点记为“奇截点”。随着t增加，解曲线一次又一次从不同方向交

替地穿越x=1截面和x=-1截面。这样，由所有偶截点形成一些小的区间，设其中的一个用M表

示，M=τ (mod2π)，τ＜τ1＜0.1，称之为偶基区间(even base interval)；

所有奇截点也形成一些小的区间，其中的一个可用N表示，N=π+τ (mod2π)，τ＜τ

1＜0.1，称之为奇基区间(odd ～)。

L经过复杂的论证，得出结论：对于适当选择的参数b，由一个奇基区间(比如说N)出发的

一族解曲线，在方程(3.3.2)的作用下，先增加然后减小，最后被映射到偶基区间上。要点

是，对于不同的初始值，映射后所落入的偶基区间可能有两个，一个离N较近，一个离N较远

，更准确地说一个区间始于(2n-1)π，另一个区间始于(2n+1)π，这里n是某个正整数，只

由b和ε决定。 N中的一个点究竟被映射到哪一个偶基区间虽然是确定的，但非常不好判

断。对于由偶基区间出发的解族，有类似的结论。上述论证显然可以适用于未来所有时间的

解曲线演化。由奇基区间出发的轨道在演化中被移位到了(2n-1)π或(2n+1)π(可以分

别简记为0和1)，这样，任一轨道都对应于一条由“0”和“1”构成的序列。反过来看，任

取一条由0和1组成的序列，也都能找到一条轨道与之对应。轨道的演化相当于伯努利移位。

由此可得出结论：存在解的一个浑沌族F，F具有连续统的势，F之中还有一些是不稳定的

周期轨道。由伯努利序列的周期性还不能立即得到轨道的周期性。还需要证明一种“连续性

”，即当初始条件连续改变时，映射后的点也连续跨过相应的区间。L证明了这种连续

性，因而证明存在周期轨道。这些周期轨因为镶嵌在浑沌族F中，小的摄动就可以使轨道丧

失周期性，因而它们是不稳定的。

L文章另一个出色工作是，证明方程的多数轨道都“收敛”于解族F，这是一个关键，如

果在相空间中解很快就远离F，那么F在实际物理过程中不起什么作用。L最终找到一个

奇特的集合K0，其中FK0。 若T是庞加莱映射，则K0在T作用下不变。K0是具有0

面积的闭集。K0中包含两个稳定极限环，在庞氏截面上分别对应于(2n-1)和(2n+1)个点。

除了单个不稳定不动点外，K0是一个“吸引”集合。由于它包含了F，K0又是“奇怪”

集合。合起来K0就是后来所说的“奇怪吸引子”! K0中的点也恰好是伯克霍夫定义的

“不连续型回复点群”。

大数学家斯美尔受CLL文章的影响，于1959年抽象出“马蹄”概念。［１８］如今马

蹄已成了出现浑沌的重要判据。


〖DM(〗3.4〓近可积保守系统的一般行为〖DM)〗
[HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.4〓近可积保守系统的一般行为〖STBZ〗〖HTSS〗〖ML〗

保守经典力学中真正可解的可积问题并不多，但许多情况可用摄动理论圆满地处理。在天体

力学中，摄动理论发展得尤为成熟。比如要计算太阳系行星绕太阳运行的轨道，用摄动理论

考察1000年内的行为，不会产生根本性的困难。庞加莱的《天体力学的新方法》讨论了各种

各样的摄动方法，是摄动理论的一个光辉的典范。但是要想确知系统的长期的、定性的行为

特征，摄动理论就不灵了。因为随着时间的增加，扰动量可以累积到很大，足以产生定性性

质的变化。比如说，行星可能落到太阳上，可能逃离太阳系，也可能彼此相撞。而且非常长

的时间后，运动方程的解的行为，也许并不能很好地说明真正的运动过程，因为在几百万年

的间隔里，非保守的效应可能变得更加重要。人们真正感兴趣的是时间比较长，但不是无限

长的情况。采用计算机数值模拟是必然的选择，但也有一定的局限性，它并不是十分严格的

方法。

摄动方法遇到的一个致命问题是级数的敛散性问题。一旦级数发散，整体上就不知道运动的

长期行为如何。级数发散性问题也叫“小分母”问题。当未摄动时的频率可通约时，对应于

精确共振，有些级数的分母为0，对应的项为无穷大。在接近共振处，级数的这些项也很大

。小分母问题是本质性的，因为有理数集合是稠密集，在一个未扰动问题的相空间里，满足

共振条件的初始值，构成一稠密集合，因而使小分母为0的初始值形成稠密集合。于是由摄

动理论的级数给出的函数含有的奇点数构成稠集。而且事情并不仅限于天体力学，凡涉及近

可积的问题都面临着同一个困难。庞加莱自己称研究条件周期运动的摄动是“动力学的基本

问题”。
用作用角度变量表示的哈密顿函数经过某种变换，若能化成只依赖于作用变量，与角度变

量无关，即
〓〓H(I,φ)=K(I)[JY](3.4.1)
则系统是可积的。设初值为I0,φ0∈[WTHX]R[WTBZ]N, 则方程的解可立即求

出为
〓〓Ik(t)=I0k;〓φk(t)=ωkt+φ0k〓(k=1,…，N)[JY](3.4.2)
如果找不到一种变换，使得哈密顿方程只包含作用变量，则系统是不可积的。事实上，对于

多数保守系统，无法找到这样的(正则)变换，因而是不可积的。直观上容易理解这一点，

因为一旦找到这样的正则变换，就意味着系统的行为可以化简，归约为N维环面上的条

件周期(conditionally periodic)运动。条件周期运动包括周期运动和准周期(quasiperi

odic)运动。设N个自由度近可积摄动系统的哈密顿量是
〓〓H=H0+εH1(I,φ),〓ε1,[JY](3.4.3)
I和φ是作用变量和角度变量，H0是未摄动时的哈密顿量，εH1是小的扰动(摄动)，

它为角变量φ1,…，φn的2π周期函数。哈密顿方程为

〓〓〖AKI·〗k=-〖SX(〗οH〖〗οφk〖SX)〗； 〖AKφ·〗k=〖SX(〗ο

H〖〗οIk〖SX)〗〓(k=1,…，N)
[JY](3.4.4)

近可积意味着ε很小，且在一定条件下可以保证有关的级数收敛。著名的KAM定理就是

关于近可积系统的一个重要的、一般性的结论。此定理是自牛顿以来物理学、数学领域最大

的突破之一，有十分重要的意义。KAM指证明此定理的三个人，K是柯尔莫哥洛夫，B是前者

的大弟子阿诺德(В．Я．Арнолд, V.I.Arnold或Arnold，1937- ），C是莫泽(J.

Moser,1928-)。1954年在阿姆斯特丹举行的国际数学会议上，K宣读了论文“在具有小改变

量的哈密顿函数中条件周期运动的保持性”，［１９］正是在这篇简短的论文里，K

提出了最早形式的KAM定理，后来A(1961，1963)和M(1962，1966)严格证明了此定理。根据

阿诺德(1974，1978，1989)，［２０］KAM定理的非形式化叙述为：

〖ZZ(Q〗〖WTHZ〗KAM定理〖WTBZ〗〖ZZ)〗〓如果一个未摄动的系统是非退化的，则对于

充分小的保守哈密顿摄动，多数非共振不变环面不消失，只是有轻微变形，以致于在摄动了

的系统相空间中仍然有不变环面，它们被相曲线稠密地充满着，相曲线条件周期地环绕着环

面。环面的独立频率的个数等于自由度的数目。当摄动很小时，这些环面的测度很大，而它

们的并集的补集的测度很小。

KAM定理的比较形式化的叙述为：［２１］
令Q是〖WTHX〗R〖WTBX〗N〖WTBZ〗的一个开集，令H(I，φ，ε)是(I，φ，ε)的实

解析函数，对于所有I∈Q,0≤φ≤2π,和接近ε=0的ε。再假设H(I，φ，ε)是φ1，…

，φN的2π周期函数，并且H0(I)≡H(I,φ,0)独立于φ。进一步假定对于所有I∈Q

,
〓〓[JB(｜]〖SX(〗ο2H0(I)[]οIkοIl〖SX)〗[JB)｜]≠0[JY](3.4.

5)

并且对应的频率ω(I)≡οH0/οI满足｜k·ω｜≥C｜k｜-N，对于所有整向

量｜k｜=｜k1｜+…+｜kN｜≥1. 则对于充分小的ε，方程
〓〓 H=H0+εH1(I,φ)[JY](3.4.6)

在不变环面上存在解，不变环面的定义为

〓〓
φ′=φ+F(φ，ε)，[JY](3.4.7)
〓〓I′=I+G(φ，ε)，[JY](3.4.8)

其中F和G是φ和ε的实解析函数，并且是φ1，…，φN的2π周期函数，当ε=0时二

者都为0。 进而，在这些环面上的流满足于

〓〓〖AKφ·〗k=ωk≡〖SX(〗οH0〖〗οIk〖SX)〗〓(k=1,…，N).[JY](

3.4.9)

最后，当ε→0时，位于这些不变环面上的、能量面上的状态的测度，趋于1。换句话说，

对于充分小的ε，不变环面上的状态的测度很大。
总括起来看，KAM定理有三个条件：(1)H解析；(2)系统非退化，并且离开共振一定距离

；(3)扰动ε足够小。正如上面所见，每一条都有明确的数学含义。后来证明，其中第一

条的“解析”要求过强，可以用一定程度的“可微性”来代替，定理仍成立。

自觉运用KAM定理是后来的事，在70年代以前很少有人晓得它。不过时代的发展已到了必须

寻找和使用这样的理论的时候了。1964年法国天文学家埃农和他的学生海尔斯通过计算机数

值计算，作出了重要发现。论文发表在《天体物理学杂志》上，题目为“第三运动积分的适

用性：一些数值实验”。［２２］他们研究问题的出发点是，出于天文学的考虑，对

于某个

哈密顿系统，寻找可能存在的第三个孤立、光滑、整体运动积分。已经知道第一个积分是哈

密顿量本身，相当于能量；第二个积分是角动量。一个系统存在的整体积分越多，运动受到

的约束越多，规则性也就越强。因此能否找到新的运动积分不变量，是天文学中一直有人在

研究的问题，前文已提到庞加莱早已从定性上研究清楚，对于多数不可积系统，除了能量积

分外不存在其它的不变积分。那么，由可积到不可积，系统的行为是不是截然过渡的昵?回

答是二者有本质的不同，但二者又是有密切联系。传统摄动理论正是靠着这种联系才获得诸

多成功的，但也正是由于过分依赖于这种一定范围内的有限的联系而失去威力的。在似是而

非的情况下，KAM定理起到了原则性的廓清作用。在科学史上，理论与实践交叉发展，不断

碰撞，生根、开花以至结果，再在新的水平上交替前进，循环往复以至无穷。

埃农与海尔斯研究的哈密顿系统为

〓〓H=[SX(]1[]2[SX)](p21+p22)+[SX(]1[]2[SX)](q21+q22+2q21q

2-[SX(]2[]3[SX)]q32)[JY](3.4.10)

此系统的势函数具有三角对称性，用极坐标表示，势函数为
〓〓V=[SX(]1[]2[SX)]r2+[SX(]1[]3[SX)]r3 sin3θ，
〓〓q1=r cosθ,q2=r sinθ.〖JY〗(3.4.11)

在(q1,q2)平面上，系统的等势面当V=1/6时，是一正三角形，在此三角形内等势面是

一系列同心的圆环。正三角形的边是“势脊”，当能量小于V=1/6,三角形内的运动是有界的

；当能量大于V=1/6，若运动始于三角形之外，则运动是无界的，将沿“势谷”跑向无穷远

。埃农和海尔斯取q1=0作为庞加莱截面，考察截面上的映射(取p1＞0)。研究的方法是

，取不同的能量水平，分别在(q2,p2)面上观察计算机运算所投下的状态点的分布。当

能量为E=V=1/12时，所有点都位于一条光滑曲线上。能量稍增加一些，曲线变得复杂起来。

当能量E=0.125＜1/6时，奇迹发生了，虽然此时能量还低于逃逸能量E=V=1/6=0.167，

但出

现了新的现象：有些轨线仍然位于光滑曲线(实际上是曲面!)上，而另外一些轨线则似乎是

无规则地运动。而且这些似乎随意分布的点竟是一条轨线生成的。这种现象表明除了H之

外，系统并不存在新的光滑整体运动积分。由计算机作出的图上可看出，一些小的由圆环包

围着的“岛屿”，对应于低能水平时的规则行为，这些“岛屿链”很象海上的环礁，每一组

实际上都是由单条轨线在映射过程中生成的。埃农和海尔斯发现了多组岛数不同的岛屿。当

岛数增加时，岛屿的尺度迅速减小。当能量为0.1667(刚好小于逃逸能量E=1/6=0.167)

，由无规轨线构成的“浑沌海”差不多把所有岛屿和其上的环礁都淹没掉了。

采用KAM定理，可以很好地理解上述计算机实验中出现的一系列现象。所谓的岛屿对应于近

可积哈密顿系统中仍然保持下来、但有稍许变形的KAM环面的二维投影(也可简称KAM环面)。

能量增大，相当于KAM定理中的小扰动ε逐步增加，系统由近可积(当然也是一种不可积

)到更加不可积方向的发展。不过当时埃农他们也许还不知道KAM定理。到了1969年，沃尔克

(G.H.Walker)与福特合著“保守非线性振子系统的振幅不稳定性与遍历行为”一文，［

２３］才成功地利用KAM定理解释这些计算机实验结果。特别值得指出的是，福特熟悉苏

联科学家的研究状况，对KAM定理意义的认识明显早于其他人。在1969年这篇论文里，他们

已把KAM定理与庞加莱定理、统计物理学的基础、简单非线性系统中复杂性的起源、埃农和

海尔斯实验、FPU实验等等联系在一起进行思考，显示了惊人的科学悟性。

在KAM定理首次提出的同时，在美国的洛斯阿拉莫斯，FPU所作的计算机实验也遇到了奇特的

现象(1952年开始，1955年完成第一篇研究报告，提交报告时费米已去世)，［２４］

二者有密切联系，但彼此都不知道对方的工作。这里F指大名鼎鼎的费米(E.Fermi)，P指帕

斯塔(J.Pasta)，U指乌拉姆(S.M.Ulam)。他们的发现后来一般称“FPU现象”。二战后费米

对当时刚刚使用的电子计算机产生浓厚兴趣，他与乌拉姆等经常讨论用计算机可以做哪些物

理学研究工作。因为许多非线性问题不容易求出解析解，或者根本就不存在解析解，采用计

算机可以做些数值模拟。当时的机器是“MANIAC I”机，比起今日的计算机要笨重得多、速

度慢得多。不过在那时它已属于最高级的东西了。

FPU所设计的实验直接与费米长期以来对统计力学基础的研究有关。1923年费米就根据庞加

莱定理证明了费米定理，他认为多数摄动系统应当是遍历的，这也是统计物理学所要求的。

然而他实际上引入了不正确的光滑性假设。他误以为相空间两个不变集之间的分界线是光滑

的运动积分曲线。［２５］所以在做FPU实验之前，他觉得已从理论上证明了非线性

不可积系统的遍历性，做这个计算机实验，不过是验证一下理论而已。然而实验结果是出人

意料的。他们并未观察到所期望的“能均分性”、“混合性”、“遍历性”、“热力学化”

。费米称此为“一个小的发现”。

现在看来，FPU试图观测到系统弛豫到平衡态的不可逆过

程，然而所依据的却是可逆的动力学方程。从逻辑上看这也是不大可能做到的(可是在科学

史上一直有人在做这种似乎劳而无功的尝试。当然，不能简单地认为他们过分固执，愚蠢到

了极点)。如果仅从可逆的动力学定律出发，考虑保守的哈密顿系统，必然遇到KAM定理所刻

划的图象：有序不变环面与随机的浑沌海洋共存于一体，二者的测度可在很大范围内变动。

KAM定理一般地描绘了复杂系统的大致图景，从此经典力学进入了一个新阶段，有了KAM定理

，人们就好象在黑暗中拥有了引路的明灯。


〖DM(〗3.5〓同宿轨道与斯美尔马蹄〖DM)〗
[HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.5〓同宿轨道与斯美尔马蹄[STBZ][HTSS]〖ML〗

同宿运动最早是在保守系统中引入的，但它同样适合于耗散系统。在今日浑沌研究中，寻找

横截同宿点(轨道)已成为发现浑沌运动的一种最严格的方法，甚至在一维逻辑斯蒂映射里

也能找到同宿轨道。“同宿”一词是庞加莱在《天体力学的新方法》中引进的，用

以说明动力学系统相空间的复杂结构。“同宿”，顾名思义，指轨道在演化中有共同的归宿

。双曲不动点的不变流形可以分解出稳定流形Ws和不稳定流形Wu，在不动点附近，当

时间增加时，位于不稳定流形上的点，一般来说不断远离此双曲不动点。但当时间趋于无穷

大时(t→+∞)，此不稳定流形也可以返回来，又成为双曲点的稳定流形。这样此双曲点就

成了流形的共同的归宿，叫作同宿点(homoclinic point)。这是一种特殊的同宿点，较普通

的是，同一或同一类双曲点的稳定流形与不稳定流形相交(又有“相切”和“交叉”(横截)

两种)，交点就是一个同宿点。

有趣的是，〖ZZ(Q〗有一个横截同宿点则必有无穷多个同宿点〖ZZ)〗。因为同宿点在映射

或流的作用下，依然能生成轨道，此轨道叫同宿轨道(不是物理上的真实轨道!)，它由同宿

点组成。显然每一个同宿点都在双曲点的不变流形上，因而同宿轨道在映射或流的作用下是

不变的。应当注意的是，单纯有同宿轨道还不足以证明系统的复杂的动力学行为，同宿轨道

的直接含义是形成一个边界线，把定性上不同的运动分离开。只有当简单的闭合的同宿轨道

受到摄动时，才出现复杂现象：分界线不闭合，不是简单的曲线，使得定性上不同的运动犬

牙交错，这时候出现了横截同宿点和同宿分岔(homoclinic bifurcation)。因此横截性(tra

nsversality)是十分关键的。
当年庞加莱正是通过横截同宿点(轨道)洞悉了动力系统的复杂性。在双曲点附近，同宿轨道

来回穿梭，形成纵横交错的相图，连接两个不同双曲点的分界线(separatrices)在强摄动系

统里不再是简单的光滑曲线，分界线发生分裂(splitting)。在当时的条件下，还没有数值

计算机，还不能象今天这样容易地画出来，当时能在头脑中构想出这幅图象实属不易。庞加

莱1894年说道，分界线的“横截形成了一种具有无穷精细网络的格子、组织或格栅的形状。

两条曲线中任何一支自身都不会相交，但它们又必须以很复杂的方式弯曲回来，无穷多次地

对直穿过格栅中所有的网格。人们必惊诧于这幅图象的复杂性，我甚至不便于把它画出来(O

ne will be struck by the complexity of this figure, which I shall not even attem

pt to draw)。”［２６］

在现代微分动力系统理论以及整体分析(global analysis)中，同宿点(轨道)是其中重要

的研究内容之一，只要翻看斯美尔、古根海姆(J.Guckenheimer)和霍姆斯(P.Holmes)、韦金

斯(Stephen Wiggins)、纽豪斯(Sheldom E.Newhouse)的著作，不难发现“同宿点(轨道)”

在研究浑沌等复杂问题时的关键性作用。在微分动力系统中同宿点可作如下定义：设M是

一流形，Diff(M)表示M的所有微分同胚群。f∈Diff(M)的一个同宿点是横截点x∈W

s(p)∩Ws(q)。 其中p和q是同一类的、同一个周期的双曲点(p可以等于q)。如果p和q是

不同类的双曲点，则x是异宿点(heteroclinic point)。同宿点与下文的移位自同构(shif

t automorphisms)有密切联系，而斯美尔构造的马蹄对应于一个移位映射。因此寻找浑沌的

步骤是：同宿点→横截同宿点→马蹄→数学浑沌+收缩性→奇怪吸引子→耗散系统的物理浑

沌。正如韦金斯所说，“我们感到，彻底领会斯美尔马蹄，对于搞清“浑沌”一词用于特别

的物理系统动力学过程时意味着什么，是绝对必要的。”［２７］

1956年斯美尔在密执安大学完成拓扑学方面的博士论文，那年夏天他首次出席一个国际数学

会议，在会上结识了托姆(Rene Thom)和芝加哥大学的两位研究生希尔茨(Moe Hirsch

)与利马(Elon Lima)。当时托姆来芝加哥大学访问，斯美尔也开始在那执教。斯美尔听了托

姆关于横截理论的讲座，托姆和希尔茨也开始对斯美尔的浸入理论产生兴趣。当时斯美尔主

要兴趣还在于拓扑，对微分方程刚刚开始涉猎。芝加哥大学的帕雷斯(Dick Palais)和斯滕

伯(Shlolmo Sternberg)帮助他了解了动力系统理论。

大约在1958年斯美尔首次遇见皮克索

托(Mauricio Peixoto)。皮氏通过莱弗席兹(Solomon Lefschetz)，正在研究“结构稳定性

”。皮克索托向斯美尔介绍了自己工作。皮克索托见过苏联振动学派主要人物、结构稳定性

(粗状性)概念创始人之一的庞特里亚金(L. Pontryagin)，听说庞特里亚金不相信二维以上

系统有结构稳定性。斯美尔得知这一情况，对微分方程很着迷，经过一番研究，写了一篇关

于莫尔斯不等式的论文。这篇论文导致如今人们熟知的“莫尔斯斯美尔动力系统”(托姆

起的名)。但该文也犯了一个过分乐观的错误。现在看来多亏有那个错误，否则就不会有后

来的斯美尔马蹄!斯美尔回忆说：“我的过分乐观引导我在那篇论文里认为，几乎所有常微

分方程系统都是这样一些(结构稳定的)系统(构成一个开的稠集)!我若是多少熟悉些(庞加莱

、伯克霍夫、卡特赖特李特尔伍德的)文献，我会发现这种思想是多么愚蠢。”［２

８］

1958年夏斯美尔从芝加哥到了普林斯顿高等研究院，皮克索托与利马邀请他去秘鲁的里约完

成第二年的NFS博士后基金项目，1959年12月全家4口到了里约。到里约不久(1960年)，斯美

尔的那篇论文“一个动力系统的莫尔斯不等式”，发表在《美国数学学会会刊》上。［

２９］莱温松写信告诉斯美尔，说斯美尔的猜想是错误的，并告知自己关于受迫范德坡方

程的

研究已提供了一个反例。斯美尔当时半信半疑，他花很长时间研究莱温松的文章，最后确信

莱温松是对的。由此导致斯美尔在动力系统方面的第二个杰出贡献：构造斯美尔马蹄。马蹄

其实是莱温松、卡特赖特李特尔伍德通过分析发现的复杂相空间结构的一种几何化，因而

马蹄可以完全定性地加以分析，斯美尔证明马蹄是结构稳定的。

马蹄映射f是对区域D(不妨假设为正方形)的一种变换，变换的过程如下：先把D沿垂直方

向均匀拉伸α倍(α＞2)，相应地水平方向收缩为原来的β倍(β＜1/2)。将此矩形折成U

型(即马蹄形)，再放回原来的区域D上，所关心的是重合部分D∩f(D)，不相交部分无关紧

要。重复上述操作，可以定义D∩f2(D)，D∩f3(D)，…。类似地还可以定义f的逆f-

，以及D∩f-2，D∩f-3，…。从动力系统角度看，重要的是极限集合的特征，

经f和f-无限次作用、每次都与D重迭一下能得到无极限集合Λ：

〓〓Λ〖WB〗=Λ-∩Λ+
〖DW〗=( ∩[DD(]∞[]n=0[DD)] f-n(D)) ∩ ( ∩[DD(]∞[]n=0[DD)] fn(D))
〖DW〗= ∩[DD(]+∞[]n=-∞[DD)] fn(D)[JY](3.5.1)

其中f0(D)=D. 显然，ΛD； f(Λ)=Λ，Λ中的点在f作用下展示回复性或非游荡行为，

那些不属于Λ但属于D的点，在f的作用下必跑到D的外面去了，一般不去管它们。所有关键

问题都出在不变集合Λ上。
Λ中的所有点都可以用双边无穷符号序列进行非常有效的一一编号。双边无穷序列s的一般

形式是
〓〓s={…a-3a-2a-1a0.a+1a+2a+3a+4…}

[JY](3.5.2)
其中ai∈P={0,1}, i=0,±1，±2，…。上述类型的双边无穷序列唯一确定了Λ中每一点

在D中的位置，ai的值定义为：对于任一点x∈Λ，若fi(x)落在D的上半部，则ai=1,

若落在D的下半部，则为0。这样序列中“.”右端的符号确定了x点所在的“行”；“.”左

端的符号确定了x点所在的“列”。一旦做到动力学过程的符号表示，f的作用就可以通过考

察符号序列的变化很容易地观察到。给定Λ中的一点x，它必有唯一的双边无穷序列与之对

应，f每作用一次仅相当于双边无穷序列的小数点“.”向右移动一位!假如x对应的序列为(x

)=…01011.010011…，则f(x)对应的序列为(f(x))=…010110.10011…，f2(x)对应的序列

为(f2(x))=…0101101.0011…。由此知存在一个移位(shift)映射σ，σ的行为精确

反映了f的行为。设Σ表示所有由两个符号0和1构成的双边无穷序列s的集合，称为符号序列

空间。在Σ中引入距离d如下：

〓〓d(s,[AKs-D5])=〖DD(〗∞〖〗i=-∞〖DD)〗[SX(]δi[]2｜i｜[SX)]，其中

δi=[JB({]0,若ai=[AKa-D5]i;1,若ai≠[AKa-D5]i.[JB)][JY](3.5.3)

于是Σ上有了度量结构，如果考察Λ中任意两条轨道在演化中它们之间距离的变化，就可以

使用上述定义。σ对序列s的作用表现为

〓〓σ(s)[ZK(]=σ{…a-3a-2a-1a0.a+1a+2a+3a

+4…}
={…a-3a-2a-1a0a+1.a+2a+3a+4…

}.[ZK)][JY](3.5.4)

斯美尔马蹄定理可大致叙述为，设f是满足上述拉伸、折叠操作的D→f(D)的一个同胚，则f

以Σ(P)(其中P={0,1})上的移位自同构σ为其子系统，即存在Σ到D的子集Λ上的一个同胚

τ，使得
〓〓fτ=τσ[JY](3.5.5)
其中Λ是f的不变集，是D的闭子集，是一个康托集。
斯美尔马蹄有几条重要性质：(1) 对f而言，Λ中有可数无穷多个周期轨道，并且都是不稳

定的；(2)Λ中存在不可数无穷多个非周期轨道；(3)Λ中至少存在一点y，它的轨道可以任

意接近Λ中的每一点，这说明Λ是不可分解的；(4)马蹄映射的回复行为是结构稳定的，即

对f的小扰动并不影响上述诸性质。［３０］正是这些性质，决定了它非常适合于刻

划被称为“浑沌”的复杂动力学现象。但有一点要注意，斯美马蹄并没有说到任何“吸引”

性质。如果以马蹄为标准判断是否有浑沌运动的话，应当注意：斯美尔马蹄意义上的浑沌在

物理上未必都能看得到。

〖DM(〗3.6〓杜芬方程与上田吸引子〖DM)〗
[HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.6〓杜芬方程与上田吸引子〖HTSS〗〖STBZ〗〖ML〗

古根海默和霍姆斯1983年在名著《非线性振动、动力系统与

向量场的分岔》中，［３１］ 作为浑沌的导引(introduction)分析了四个具有惊人

特征的

经典非线性模型，一个是三维自治微分方程(洛仑兹方程)，两个是单自度周期激励(策动，

受迫)振动的二维非自治微分方程，另一个是二维映射。范德坡方程属于第二类，另一个与

其相似但没有它复杂的经典实例是杜芬方程。1918年德国科学家杜芬在研究具有立方非线性

项的受迫振动时，提出著名的杜芬方程。方程的最初形式为
〓〓〖AKx¨D5〗+2n[AKx·D5]+ω20x+εx3=F cosωt[JY](3.6.1)


其中x表示位移，ω是策动力频率，F是策动力的振幅，t为时间。 n,F和ε都是小量。ε

＜0代表渐软的弹簧特性，ε＞0代表渐硬弹簧特性，杜芬研究的是后一种。杜芬方程在提出

后的半个多世纪里，得到广泛研究，但其奥妙尚未全部揭示出来。标准化后各种杜芬方程可

以分出如下四个类型：［３２］


〓〓(1) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗+x+x3=F　cosωt，渐硬型[JY](3.6.2)
〓〓(2) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗+x-x3=F　cosωt，渐软型[JY](3.6.3)
〓〓(3) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗〓〓+x3=F　cosωt，日本型[JY](3.6.4)
〓〓(4) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗-x+x3=F　cosωt，霍姆斯型[JY](3.6.5)
其中共有三个参量δ，F和ω，δ是阻尼系数，F和ω是强迫力的振幅和频率。以上各种类

型的杜芬方程都可用KBM平均化方法进行研究，但这有一定局限性，因为在强非线性情况下

，用平均化方法得出的结果可能与实际情况相去甚远，即定性上就与实际有差别。不过由平

均化方法已能在转动平面上分析庞加莱意义上的双重渐近的同宿轨道。同宿轨道发生分岔，

就将产生复杂的运动，系统对初始条件具有敏感依赖性。杜芬方程与范德坡方程一样，能产

生次谐波分岔，即在一定时段内输入了多个波形却只输出一个波形。


早在60年代初，以林千博(Chihiro Hayashi)为首的日本非线性振动学派对杜芬方程已有深

入研究。特别是林千博的大弟子上田皖亮(Yoshisuke Ueda,1936- )青出于蓝而胜于蓝。模

拟计算机的计录纸上清楚地记着1961年11月27日这一天，当时上田是京都大学三年级的研究

生，在林千博的指导下研究频率锁定(frequency entraiment)现象。所谓频率锁定就是指电

子线路的自振频率与外部策动源的驱动频率发生同步(synchronization)。那一天，上田利

用模拟计算机绘出了范德坡方程的浑沌图——“一只破碎的蛋”。［３３］

上田在Hiroshi Shibayama(他不是京都大学教授，当时正到京都大学的该实验室访问)的直

接指导下工作，他与林千博不同，对上田做什么具体研究，管得并不严，他与上田关系一直

甚密。上田先把二维非自方程化成三维自治方程，采用KBM平均化法，在转动平面上考察稳

定平衡点和稳定极限环。前者对应于相空间中同步的频率锁定；后者对应于非同步的飘移运

动。实际上有两种非同步振荡，一种是准周期振荡，另一种是浑沌振荡。当时并不知道浑沌

运动。已知的(稳定)定态行为只有(稳定)不动点和极限环。因而非同步状态被统统归入准同

期振荡。上田起初以为是模拟计算机出了问题，但不久就发现不是这样。他花很长时间认识

到，在非同步区，出现“破碎的蛋”的机会比出现规则的光滑曲线的机会更多，他并不能解

释点为什么会在蛋上极其无规则地运动。可是当其导师准备研究报告时，林千博并没有提到

上田发现的“破碎的蛋”，［３４］教授显然做了“技术性处理”，用光滑曲线代替

了乱七八糟的“蛋”。实验室虽产生了一大堆真正的浑沌数据，但当时不是被当作准周期运

动就是暂态运动。上田对这种处理感到非常吃惊，也从此认识到，读这类论文时，应当小心

些。1962年左右，上田的导师林千博正为McGrawHill出版公司撰写英文专著《物理系统的

非线性振动》，让他承担许多具体计算工作，对他要求甚严。上田在模拟计算机上得到很多

浑沌数据，但保存下来的甚少，他怕导师见到后不满意，再让他重做计算。上田回忆说，林

千博有极强的个性，“他是其实验室的皇帝，而在外表上他是态度温和、举止得体的绅士。

我确信，那时候他是世界上任何实验室里最封建的人物，他的权威绝对不可动摇。”［

３５］

在长期用模拟机做研究的过程中，上田的体会是，浑沌完全是自然的，几乎每天都能见到。

“人们称浑沌为一种新现象，但是它总是到处都在，没什么稀奇的，只是人们没有注意它罢

了。”［３６］


从1963年起，上田等三人(另两人一个比他小三年级，一个比他小四年级)每周都花时间读斯

米尔诺夫的《高等数学教程》，据上田讲此举对他帮助很大，没有这个训练他不可能读懂伯

克霍夫的论文。不过林千博对他们读数学书不以为然，甚至觉得花时间读书还不如多做些计

算。多亏这些学生没有全听老师的话。林千博对当时刚起用的晶体管KDCⅠ数值计算机持

怀疑态度，但上田却发现KDCⅠ高效实用，用它对杜芬方程采用龙格库塔吉尔(Runge

KuttaGill)法进行积分，时间从t=0到2π，约需60秒(积分步长为2π/60)。在当时

看来这是相当了不起的。

在研究杜芬方程的过程中，林千博实验室在方法上经历了由调和平衡法(harmonic balance

method)到映射法(mapping method)的转变。约在1966年，上田看到莱温松的论文，茅塞顿

开。上田让Minoru Abe做了一个自动映射装置，它完成的工作是靠模拟计算机每隔一定时

间在记录纸上画点，即做出庞加莱映射图，通过这种方法画出了一系列不变曲线图以及非常

出名的日本吸引子和上田吸引子。在60年代末70年代初，上田等研究小组已能熟练使用动力

系统中的最小集、α集、ω集、回复点等概念分析非线性振动问题了。

上田吸引子的作图方法如下。杜芬方程的解曲线穿过所取的庞加莱截面M(x,y)，在M上取杜

芬方程的解所经过的任一点P0. 定义M到自身的微分同胚(庞加莱映射)，令Pn=P(t，x

n,yn)，t=t0+n·T， xn和yn由积分求得，


〓〓xn=x(t0+nT;t0,x0,y0),
〓〓yn=y(t0+nT;t0,x0,y0)〖JY〗(3.6.6)


T为策动力的周期，等于2π/ω，ω为策动力的频率。取t0=0，则

〓〓Pn=P(n·〖SX(〗2π〖〗ω〖SX)〗，xn,yn).[JY](3.6.7)

显然P0=P(0,x0,y0)，P1=P(2π/ω，x1,y1)，…，于是在M上有点集
〓〓P={P0,P1,P2,P3,…}〖JY〗(3.6.8)
获得P的技术也叫频闪采样(stroboscopic observation)。数学上用离散动力系统语言

定义这一过程：fλ是M到M的微分同胚
〓〓fλ： 〖WTHX〗R〖WTBX〗2→〖WTHX〗R〖WTBX〗2，〓λ为参数集[JY](3.6.9)


〓〓〓〓P0｜〖KG-*2〗→P1
上田吸引子就是一个P集合，特殊的是它是奇怪吸引集合。
虽然上田的工作在国际上已广泛得到承认，但在日本国内知道上田吸引子的却不多。上田

和李天岩都讲过，［３７］在日本研究非线性振动的属于基础电子工程或应用数学领

域。在科学界其社会地位是很低的，无论是搞数学的还是搞工程的都不买他们的账。前者常

常问：“你说的经过严格证明了吗?”，后者常常问：“你研究的东西有用么?”

〖DM(〗3.7〓MSS序列与DGP定理〖DM)〗
[HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗〖WTHZ〗3.7〓MSS序列与DGP定理〖HTSS〗〖WTBZ〗〖STBZ〗[ML

]

1973年《组合理论杂志》发表MSS的论文“论单位区间上变换的有限极限集”，［３８

］MSS指在美国新墨西哥州洛斯阿拉莫斯国立实验室任职的三位数学家(N.Metropolis,M.L

.Stein,P.R.Stein)。他们采用符号动力学方法，证明单峰的非线性区间变换(映射)存在普

适序列(也称U序列和MSS序列)。若干年后该实验室的费根鲍姆研究同样的迭代过程，发现了

另一种普适性——费根鲍姆常数δ和α。前一种普适性是结构普适性；后一种是测度普

适性。

MSS的贡献有两个：1.系统地引入了符号动力学方法，尽管在他们之前阿达马、莫尔斯、伯

克霍夫、CLL等都一定程度上用到过符号动力学。MSS构造了符号序列的谐波和反谐波算法，

对U序列进行了合理排序。2.发现了周期窗口，以及在窗口右侧的倍周期分岔过程。单位区

间上“一对一”的变换已有许多人研究过，它的一般特征业已十分清楚，但对于“多对一”

的变换，已知结果很少，以前只有尤利亚(G.Julia)、冯·诺伊曼、乌拉姆以及斯坦因(P.R

.Stein)等人作了一定程度的研究。MSS考虑的变换为

〓〓Tλ(x):〓x→λf(x)〖JY〗(3.7.1)

其中λ是参数，在一个开区间上取值。f(x)至少应具有两个性质：(1) f(x)在［0，1］

上是连续、单值、分段一次可导的。其中f(0)=f(1)=0，在开区间上f(x)严格为正。(2) f(x

)具有唯一极大值fmax≤1，可以在单个点或一个小区间上取得极大值。在极值点(或

小区间)左和右，函数f(x)分别是严格递增和递减的。

为了讨论方便并不失一般性，可以假设f(x)在x=1/2处取得极大值。在迭代的过程中若x落在

区间的左半部，即x∈(0,1/2)，则称x是L型的；若x落在右半部，即x∈(1/2,1)，则称x是R

型的；相应地若x恰好落在1/2处，则称x是C型的，在这里引入自然序关系L＜C＜R，在后文

可以看到这种“序”很重要，由它可以引出符号序列的“序”。这样，对于适当选择的参数

λ，任给区间上的一个初始点，由它迭代生成的轨道序列对应于由L和R(或者C)组成的一个

符号序列。而且第n次迭代后轨道的特征正好与符号序列的第n个符号有密切关系，它告诉了

轨道在第n次迭代后相对于极值点的位置(左或右)。

MSS讨论了四个实例，其中第一个就是后来被广泛研究的逻辑斯蒂映射。这几个实例具体形

式为

(1)Q:x→λ x(1-x)，〓x∈(3,4),[JY](3.7.2)
(2)S:x→λ sinπx，〓λ∈(0.71,1),[JY](3.7.3)
(3)C:x→λW(3-3W+W2), [JY](3.7.4)
〓〓〓W≡3x(1-x)，〓λ∈(0.872,64/63)
(4)L:x→[JB({]〖SX(〗λ〖〗e〖SX)〗x,〓x∈［0，e］λ，〓x∈［e,1-e］〖SX(〗

λ〖〗e[SX)],〓x∈［1-e,1］,λ∈(1-e,1)[JB)]〖JY〗(3.7.5) 

MSS指出，对于上述四个变换，有限极限集是吸引的周期轨道。周期轨道的序级是k=2,3,

…. k=1的情况不考虑。变换T的k周期点的含义为，对于变换
〓〓Tλ(xi)=xi+1，〓i=1,2,…，n〖JY〗(3.7.6)
T的k次幂，即T的第k次迭代，返回到初始值，也就是说

〓〓T(k)λ(xi)=xi,〖JY〗(3.7.7)


T的k周期点相当于T的k次幂T(k)的不动点。

若变换T(k)的斜率的绝对值小于1(由微分计算的锁链法则可知，这相当于说对于周期

集合P中的每一点，其导数的绝对值都小于1)，则对于任一点xi∈P，它对其邻域N(xi)

都有吸引作用，即对于任意x∈N(xi)，T(k)都收敛于xi. 不满足斜率绝对值小

于1这个条件的周期点没有吸引邻域，称之为不稳定点或排斥点。MSS认为，“〖ZZ(Q〗这些

点属于‘例外点集’，其测度为0，在讨论极限集时不起作用。〖ZZ)〗”

上面的划线部分的论断基本上是错误的。我们分析MSS出错的原因有：第一，正如论文的

标题中所说的，他们关心的是“有限集”。导言中也说：“至于无穷极限集合，我们没有说

什么。”第二，那时几乎无人知道区间映射还能出现比周期运动更复杂的运动行为。现在人

们知道，当参数改变时，原来稳定的周期运动，几乎都要失去稳定性。同时可能有些新的稳

定周期轨道诞生出来。因而不稳定点集就不应该称为“例外点集”。对于研究浑沌轨道而言

，周期轨道(无论稳定与否)是一具人们熟悉的“骨架”，透过它可以揭示非周期运动。问题

的另一个关键是，非周期运动也可以是稳定的，而且测度不为0。

MSS发现，参数轴可以分成许多小的段，对于每一小段，极限周期轨道都是相似的，可用小

区间中的(不一定是正中间)某一参数情况下的迭代来代表。当参数改变时，原来稳定的轨道

失稳，产生新的稳定轨道，新的稳定轨道逐渐变成超稳定轨道，然后又变为一般的稳定轨道

，最后轨道又失稳，出现别的稳定轨道。由极值点1/2(对应的符号是C)开始的轨道恰好对

应于超稳定轨道。MSS用包含极值点的超稳定轨道代表参数轴小区间上的稳定周期轨道

。这样轨道对应的特征符号集至少包含一个C. 通常为了简洁，不写出C. 比如对于周期5

轨道，一共有三种可能：
〓〓C→R→L→R→R→C→…
〓〓C→R→L→L→R→C→…〖JY〗(3.7.8)
〓〓C→R→L→L→L→C→…
上述三种周期5轨道可以分别简记为RLR2，RL2R和RL3。可以看出，每个符号序列中

符号的个数仅比其周期数k小1。 只要方程

〓〓T(k)λ(C)=C〓(C代表临界点)〖JY〗(3.7.9)

有解，就存在形式如(3.7.8)的普适符号序列(U序列或MSS序列)，而且k级U序列的个数

与方程的实数解的个数是一致的。(3.7.8)式的三个序列就对应于方程T(5)λ(C)

=C的三个实数解。

这些解在参数轴上显然不是任意出现的，而是有一定的顺序。周期的级不高于6的所有周期

轨道一共有12个，它们在参数轴上的排列顺序见表3-1。

[HT]

〖JZ〗〖WTHX〗〖HT6H〗表3-1〓不高于6级的12个周期轨道在λ参
〖JZ〗数轴上由小到大的出现顺序

〖HT6SS〗〖WTBZ〗
〖BG(!〗
〖BHDFG1*2，FK4，K4，K6ZQ，FK4，K4，K6ZQF〗顺序号〖〗周期〖〗〓U序列〖〗顺序号

〖〗周期〖〗〓U序列
〖BH〗1〖〗2〖〗[WTBX]R〖〗7〖〗5〖〗RL2R
〖BH〗2〖〗4〖〗RLR〖〗8〖〗6〖〗RL2R2
〖BH〗3〖〗6〖〗RLR3〖〗9〖〗4〖〗RL2
〖BH〗4〖〗5〖〗RLR2〖〗10〖〗6〖〗RL3R
〖BH〗5〖〗3〖〗RL〖〗11〖〗5〖〗RL3
〖BH〗6〖〗6〖〗RL2RL〖〗12〖〗6〖〗RL4[WTBZ]
[BG)F]
[HT5SS]

〓〓周期级k不超过7的所有周期轨道个数有21个，k不超过10时周期轨道共有116个，k不

超过15时共有2370个不同的周期轨道!这些解都可以通过方程(3.7.9)求出来，只要分别令k=

2,3,4,…，14，15即可。

一旦给定参数λ的值，通过迭代立即可以求出对应的普适模式——U序列(如果存在的话，

有时可能不存在。MSS的论文没有特别强调这一点)。反过来，已知了U序列，也能求出对应

的各个参数λ的值，不过要采用一点小技巧：二次映射的逆函数有两支L(y)和R(y)，代入

方程时要对号分别代入，然后化等式为迭代关系，迭代过程收敛很快，因而可以迅速得到所

求的λ值。［３９］

若对于某个λ值，存在U序列，因为U序列对应的轨道是超稳定的，则由连续性，存在

充分小的正数ε (实际上有时并不是很小!当时MSS没有画出分岔图谱，可能不知道还

有非常宽的周期窗口)，对于任意[AKλ-3]∈［λ-ε,λ+ε］，也将存在具有同样结构

的周期极限集合。换言之，每一(稳定)周期都有一有限的λ宽度。并且显然存在两个临界值

m1(λ)和m2(λ)，当[AKλ-3]＜λ-m1或〖AKλ-3〗＞λ+m2时，迭代后生成的由R

，L或C构成的序列(可能有限，也可能无限)，将不是原来T[AKλ-3](x)的吸引周期。


窗口左侧极限集的情况MSS认为很难研究，窗口右侧(〖AKλ-3〗=λ+m2+δ，δ是小的

正数)已搞清楚，对应于解的一个无穷序列，从左到右表现出“谐波”的性质。一个给定解

的谐波序列是一系列周期分别为2mk(m=1,2,…)的解，所对应的参数分别是

〓〓λ＜λ(1)＜λ(2)＜λ(3)＜λ(4)＜…＜λ(∞)，

极限点λ(∞)显然存在，并且有“许多”个，DGP后来证明这样的聚点有不可数

无穷多个，等于连续统的势。

MSS发明的“谐波扩张”和“反谐波扩张”现在虽已被发展，但在历史上仍有其重要性。初

看起来这些构造似乎十分别扭，但的确是高明的、最终也是自然的。令P=RLα1R

α2Lα3…是对应于方程(3.7.9)的解的一种模式。P的(一级)谐波是H=Pμ

P，其中

〓〓μ=[JB({]L,〓当P中包含奇数个R； R，〓其它情形。[JB)〗[JY](3.7.10)

模式P的反谐波A的定义类似于谐波H，只需把上式的R与L互换。例如，若P=RL2R，则H=RL

2R3L2R，A=RL2RLRL2R. 可见H在构造中不保持R的奇偶性，而A在构造中奇偶性不

变。构造H对应于实际的倍周期分岔，构造A则纯粹是形式的。H也叫P的H扩张，A也叫P的反

扩张。关于一定层次上相邻模式之间的下一级模式，MSS证明了一个定理：
令K是一整数。考虑方程(3.7.9)的解的完备有序系列及其对应的模式(0≤k≤K)。令λ1是

任一解，对应的模式是P1，长度为k1(有k-1个字符)；又令λ2＞λ1是(K水平上)“

毗邻的”下一个解，模式为P2，长度是k2. 构造P1的H扩张和P2的A扩张。H(P1)

和A(P2)将有一个最大公共主子模式P*，其长度为k*，使得我们可以把H(P1)和A(P

2)分别写作

〓〓H(P1)=P*μ1…，
〓〓A(P2)=P*μ2…，〓μ1≠μ2，[JY](3.7.11)

其中μi代表R或L. 这时有两种情形：
(1)k*≥2k1，则满足λ1＜λ*＜λ2 的最低阶解λ*是P1的谐波；
(2)k*＜2k1，则满足λ1＜λ*＜λ2 的最低阶解λ*对应于长度为k*的模式

P*.

由此可得出一个推论：令｜k1-k2｜=1，则满足λ1＜λ*＜λ2 的最低阶

解λ*具有长度k*=1+max(k1,k2)。
举例来看，设P1=RLR4,P2=RLR4LR，则k1=7,k2=9,H(P1)=RLR4LRLR4…，
A(P2)=RLR4LRL…，于是P*=RLR4LRLR，长度k*=11.

DGP的工作发表于1978年，［４０］当时对一维映射的研究已经热闹起来，费根鲍姆

已发现了普适常数δ，萨可夫斯基定理也已被世人知晓。
DGP证明了两件事：
(1)已排序的所有U序列集合，拥有内部自相似的性质。即整个MSS序列集合可以与其子集一

一对应。
(2)对于识别一个序列是否为容许的，给出了一个简单的判据；对于给定的两个序列，能确

定它们出现的顺序。“容许的”之含义为：若某序列对应于MSS意义上的真实的稳定周期轨

，则是容许的。比如以L开始的序列肯定不是允许的。
DGP在MSS工作的基础上正式定义了MSS序列的大小关系，其实也很好定义，两个

MSS序列S1，S2所对应的参数分别为λ1，λ2，若λ1＜λ2，则S1＜S2.

这样，最小的序列是b(即稳定不动点，也可用C表示)，第二小的是R，第三小的是RL，…，

最大的是RL∞. 中间有多少MSS序列呢? 有无穷多个，但却是可数的(countable,

或叫“可列的”)。只考虑到k=7的水平，MSS的排序如下：

〓〓b＜R＜RLR＜RLR3＜RLR2＜RL
〓〓〓＜RL2RL＜RL2R＜RL2R2
〓〓〓＜RL3＜RL3R＜RL3＜RL4＜RL∞.[JY](3.7.12)

在b和R之间不可能再插入任何序列，但在其它每两个中间可插入一些容许的序列。设所有

MSS序列所对应的参数λ组成集合M. M显然有许多聚点，M的所有聚点(也是参数轴上所考

虑的区间内的点)也构成一个无穷集合M*，而且M*比M要大得多，M*的势为连续统的势

20=1. 当然，不是任给一个λ值就一定有对应的MSS序列，否则M的势也

是1了!发现浑沌的关键就在于认识到，对于某些λ值，不存在稳定的周期运动(不稳定

的周期运动还是存在的，这一点务必注意)，却存在有界的非周期运动，当然，它也是“稳

定的”。

DGP找到了一种奇妙的“*复合”法则，借此能建构出所有MSS序列。也正是通过这

种方法，他们证明了内部自相似性：令A=b,B=RLn，P和Q是任意容许序列，A＜P＜Q＜B。

设

〓〓A′=Q*A,B′=Q*B,P′=Q*P，

则对于任一点(严格应称序列，下同)P，都有对应的一点P′。反过来，对于任一点P′，满

足Q*A=A′＜P′＜B′=Q*B,都存在对应的一点P，满足A＜P＜B，P′=Q*P。这就是所谓的内

部自相似性，映射φ: P→Q*P 具体定义了自相似，这一拓扑结构普适性的发现是后来发现

测度普适性的基础。


〖DM(〗3.8〓洛仑兹的确定性非周期流与李约克浑沌〖DM)〗
[HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.8〓洛仑兹的确定性非周期流与李约克浑沌〖STBZ〗〖HTSS