智能手机掉了是一件很烦人的事，因为里面经常有一些秘密的文件，让不少朋友提心吊胆，只能寄希望于密码不让人破解了。前几天，死理性派编辑收到了一位读者的提问：在 iPhone 和 Android 系统中各有多少种可能的密码？这似乎是“生活中的数学”的一个绝佳案例，于是死理性派编辑打算立即动手开始计算。
iPhone 有10000种密码
iPhone 的密码是一个四位数，从 0000 到 9999 都有可能成为 iPhone 的密码，总的可能性有 10000 种。Android 系统则独具一格，它的“密码”是 3 × 3 的点阵中的一条路径，这条路径最少连接四个点，最多连接九个点。因而，符合要求的路径数最多可以达到 A(9, 4) + A(9, 5) + A(9, 6) + A(9, 7) + A(9, 8) + A(9, 9) = 985 824 种，看上去远远超过了 iPhone 的密码数。不过，这只是 Android 密码数的一个上限。Android 设置密码时有不少限制，这给死理性派的分析带来了巨大的障碍。仔细研究后，死理性派编辑发现——这恐怕是实际生活中最复杂的数学题之一了。
Android 有389 112 种密码
Android 的密码是 3 × 3 点阵中的一条路径，这条路径可以交叉，可以“走日字”，几乎是无所不能（只要不经过重复点），但却有一个例外：路径不允许跳过途中必须要经过的点。例如， 如果从左上角的点连接到右上角的点，中间的那个点会被自动地加进路径里。但麻烦就麻烦在，这个规则本身也有一个值得注意的地方：如果中间的点是之前已经用过的，那么这个点就可以被跳过去了。
我们不妨把点阵中的九个点分别用数字 1 到 9 编号。按照上述规则，4136、4192 都是不合法的，但 24136、654192 则都是可行的。死理性派这下苦恼了，似乎五花八门的组合数学模型在这里都派不上用场。怎么办呢？别急，我们还有强大的计算机帮忙。下面，有请编辑最爱的数学软件 Mathematica 登场。
首先，让我们生成所有 985 824 种没有限制的排列组合：
再记下不能直接连接的点对：
由此生成不合法的排列规则：
从全部排列组合中删掉不合法的，便得到了所有可能的 Android 密码了：
Android 密码一共有多少种可能性呢？让我们来看看：
这样，我们就得到了一个准确的数字：在 Android 系统上一共有 389 112 种可能的密码，只占之前估计的密码数上限的 1/3 左右。
Android 的密码要连接 6 个点才够强
别以为 Android 的密码可能性这么多，你就能高枕无忧了。编辑身边绝大多数的 Android 用户，密码路径都只连接了四五个点。让我们来看一看，在 389 112 种可能的密码中，不同长度的密码各占多少：
可见，包含 4、5、6、7、8、9 个点的合法路径数分别为 1624、7152、26016、72912、140704、140704。如果你的密码路径连接的点数不到 6 个的话，可能的密码总数只有 1624 + 7152 = 8776 个，还不如iPhone的密码呢。
事实上，大多数用户的密码都是更简单的路径——路径不与自身相交，并且所有线段都是水平、竖直或者 45 度倾斜的。这种路径的数目就更少了。在此，死理性派编辑建议广大 Android 用户设定一些像 654192 一样的怪异路径，这样才算是一个足够强的密码。
