（起这么狗血的名字是因为最近写了点娱乐评论，脑子还没换回来，这章不是穿越爱情小说，还是数学家的故事）。
提起十八，十九世纪欧洲的数学家，就算不知道他们具体的贡献是什么，他们的名字却都耳熟能详，而说起中国古代的数学家，能被我们记起的却寥寥无几。除了年代久远,错过了数学系统化科学化发展的黄金年代外，还有一个原因就是欧洲人喜欢用命名的方式去纪念伟大的科学家们，从微积分到线性代数，从偏微分方程到组合数学，从概率论到抽象代数，打开任意一本课本，我们都不难找到以数学家名字命名的定理，方程，不等式，运算，函数，算法，图形，常数，等等等等。欧几里得，希尔伯特，巴拿赫甚至在没有QQ的情况下也拥有自己的空间。
物理学家们还承担了作为单位去测量各种物理属性的任务。虽然我们不会说“哥们，今天你做了多少焦耳的功？你的最大功率是多少瓦特？”或者“真想试试多少伏特的电压才能把你电晕”,但是这些物理学家的名字依旧一次次出现在各种物理教材中。
双栖明星也不少见，比如高斯，不但是数学王子，还是电磁通量的单位，简称“高”；再比如说牛爵爷，除了和苹果的轶闻，还是力的单位，简称“牛”；本章的主人公之一也是一位名字被作为物理单位的数学家。（猜猜会是谁呢？）
在揭晓这个名字之前，我要先介绍一位中国古代数学家。虽然近现代有一些成果被冠上中国数学家的名字，但是这些结果都出现在前沿的数学研究中，所以知道它们的人并不多。而古代的成果，即使如圆周率这么伟大的发现也没有被冠上中国数学家的名字。那么究竟有没有中国数学家的名字因为某个结果被流传了下来呢？如果有，南宋的数学家杨辉应该算是其中一位，这一章我先要说的就是杨辉和他的三角。
杨辉，字谦光，杭州人，生于南宋末年，离世之时已是元朝大德年间了。据现存文献及杨辉著作中的叙述，杨辉在多个地方做过南宋的地方官员，可能因为官儿太小，在宋史里并没有关于他的任何记录。当然官儿小也有小的好处，只有杨辉这样的底层官员才有机会接触到广大人民群众，了解到他们真正的需要。杨辉一生中著作颇丰，包括与人合作的三卷，共有五种二十一卷，分别是《详解九章算法》十二卷，《日用算法》二卷，《乘除通变本末》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷和《续古摘奇算法》二卷。在这些著作中，杨辉记述了他关于乘除算法改进，纵横图和高阶等差数列的研究成果。纵横图就是我们所说的幻方，最简单的一种是三阶幻方，也称九宫格。就是在三乘三的方格中填上一到九这九个数字使得每行每列每个对角线的和都相等，如下图就是一个三阶幻方。
8 | 1 | 6 |
3 | 5 | 7 |
4 | 9 | 2 |
杨辉的研究并不限于三阶幻方，在《续古摘奇算法》中，他给出了大小不等的大概二十个幻方和它们的构造方法。至于高阶等差数列，先来看看最简单的二阶等差数列，就是数列本身不是等差数列，但是取相邻两项之差组成的新数列是等差数列，如0,1,4,9,16,25，……。三阶等差数列就是相邻两项的差组成的数列是二阶等差数列，其他高阶数列可以此类推。杨辉在中国数学史上的有着独特地位，并不仅仅因为他的数学成果，更因为他是一位数学教育家。
为了理解杨辉在数学教育方面的成就，我们首先要回答一个问题，就是为什么要学数学？高考必考？南宋科举考试里，体育可以有（武科举），数学是真没有（历史上仅有唐朝有过一次）。有文艺范儿，比较好追女孩儿？不管是文艺范儿还是吸引女粉丝，比起词人来那是差远了，到目前为止，数学界和娱乐圈都还没有交集。真实原因很简单，就是广大人民群众需要数学。自从宋高宗在剥夺了岳飞，韩世忠等人的兵权，以称臣和纳贡为条件换取了和平以后，南宋的农业，手工业和商业特别是海外贸易有了稳定和快速的发展，在这些农业商业制造业行为中，有很多地方需要用到数学，比如丈量和分配土地，比如计算布匹，和记录账目等等。
解决这些问题所需要的数学知识早就有了，也有很多书籍讲授这些知识和这些问题的方法，但是在杨辉和广大劳动人民的接触中，他了解到这些书籍内容对他们来说，一是太难，二是有的方法效率不够高。针对这种情况，杨辉首先重新编撰了《九章算术》。《九章算术》成书于汉代，集了当时中国数学的大成，全书共分九章（九大类），每章有题目若干，共246道题。前文提到的那些实际生活问题，在《九章算术》里基本都能找到类似的例题。问题貌似解决了，大家学习《九章算术》不就行了吗？答案是否定的，原因是这246道题都是应用题。既然当时学习数学是为了应用，这岂不是更好了吗？答案又是否定的。不管数学怎么应用，理论知识都是基础。比如我们知道可以用定积分求曲边图形的面积，但是在应用定积分之前要先学习极限，导数，不定积分，如果直接给你一道用定积分求曲边图形面积的例题，可能大多数人无法理解。《九章算术》里面大量应用了自然数的加减乘除，但是它的理论部分是从分数的四则运算开始的，考虑到十以内的四则运算都不是当年私塾的必修科目，《九章算术》作为入门教材对大多数人来说实在是太难了。在杨辉之前，也有人给《九章算术》做过注，包括前文提到过的发明割圆术的刘徽，和后文有可能说到的李淳风，但是他们的注都不能满足人民群众的需要，于是杨辉重新解读《九章算术》有了他的第一部著作《详解九章算法》，在这部书里杨辉从原书的246道题里面选择了80道题，加上了自然数的运算理论，而且还给这80题都配上了详细的解答，为了巩固读者的学习成果，他还为某些题目配上了类似的题目作为练习题，这是以前所有数学书里都从没出现过的事，最后他还为一些题目配上了插图，做到了图文并茂，特别是一些与几何有关的题目，配图对于读者的理解有非常大的帮助。后来觉得理论方面介绍的不够过瘾,又单独出了《日用算法》二卷，可惜已经失传。杨辉的后三种著作合称《杨辉算法》是他自己的研究成果，除了前文提到的幻方和高阶等差数列以外，杨辉还总结了将乘除用相对简单的加减代替的快捷算法，以及这些简便算法在实际生活中的应用。比较有特色的是，杨辉在《乘除通变本末》中给读者提供了一个完整系统的教学大纲作为读者的自学计划。可能今天的学生们没有多少人会留意教学大纲，因为这些事都是由老师去操心，可是在古代，基本上所有人都是自学，有时候需要一个对大多数人都可行的计划作为指导，比如一天看多少合适，到什么时候应该复习一下啊等等，所以杨辉做这件事是十分有意义的。另外一个特色就是杨辉将自己的算法编成了朗朗上口的口诀和歌谣，这对在人民群众中普及这些算法有很大的帮助。当这些口诀记熟以后，某种程度上将运算从脑力劳动变成了体力劳动，从而大大降低了难度提高了效率。有一种说法是这些口诀还促进了算盘的普及。
这里插一段算盘的故事。算盘是人类历史上目前为止使用时间最长的计算器，但是算盘的确切发明者和发明时间到目前还是一个openproblem。关于算盘的历史有很多种猜测和说法，而一个可靠和直观的证据是北宋画家张择端的名画《清明上河图》，在这幅全景展示了北宋人民生活的巨作里出现了算盘的身影。从这幅五米多长，有八百多个人物，几十幢建筑的画卷中寻找一个小小的算盘谈何容易。第一个发现图中算盘的人是珠算家余介石，他和另一位珠算家殷长生在1956年对故宫博物院里的《清明上河图》原本进行了考察，在一家药铺的柜台上发现了一架算盘。因为《清明上河图》画的是寻常百姓生活，因此画中的算盘不应该是刚刚被发明，所以推算唐朝时就有算盘了。
虽然算盘在北宋之前就有了，但是在南宋的时候应该还并未真正流行，因为杨辉和南宋其他数学家的著作里，都是使用的算盘的前身---筹算。杨辉的算法口诀使得大脑里的计算速度大大提升，而手上的筹棍已经跟不上这种速度，所以被算盘代替。下图是筹算里面的数字，你可以试试摆出七百五十二需要多长时间。还有一种说法是这些口诀和珠算的口诀非常接近，为珠算的流行打下了理论基础。
说了这么半天我们还没有说到以杨辉命名的三角，在数学里提起三角，最容易被想到的就是三角函数，不过杨辉三角并不是三角函数，而是一个三角形的数字矩阵，
1
1
1
1
1
1
……
这个三角形矩阵的左右两边都是1，而中间的每个数字都是左右两肩上的数字之和。例如第五行左数第二个数字4就是左上的1和右上的3之和。知道了这个规律，我们可以把这个三角扩展到无限大。杨辉三角的重要性在于它给出了二项式展开时的系数同时还揭示了这些系数之间的关系。具体就是当我们展开(x+y)n的时候，如果我们把所有展开项按x或者y的次数降序排列，那么这些项的系数就是杨辉三角的第n+1行。比如说(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3的系数为1,3,3,1正是杨辉三角第四行。如果要计算(x+y)4，我们当然可以用杨辉三角第五行，但是我们也可以用(x+y)3(x+y)=(x3+3x2y+3xy2+y3)(x+y)，在这个乘积中得到含有x3y的项有两种方式，一种是用3x2y乘以x得到3x3y，一种是用x3乘以y得到x3y，相加得到4x3y，系数4=1+3与第五行中的系数相同，这也解释了杨辉三角的构造原理。
杨辉三角在今天更多的和二项式系数联系在一起，但是在古代，它主要被应用于开方，也就是求平方根，立方根或者更高次的根，那时候它被称为“开方作法本源”，后来也被称为“乘方求廉图”。杨辉三角的叫法源于数学家华罗庚在1956年发表的一篇科普文章《从杨辉三角谈起》。文章以流畅的文笔，通俗易懂的语言详细地介绍了杨辉三角，以及杨辉三角在二项式展开，求平方根，高阶等差数列等方面的应用。在中国数学史上，杨辉并非第一个发现和使用这个三角的人。华罗庚先生并非不知道杨辉三角的发明人是北宋的数学家贾宪而不是杨辉，但是这么命名是有道理的，贾宪本人的著作都已经失传，而著作内容能够得以保存，很重要的原因是杨辉在《详解九章算术》中的引用。贾宪作为发现这个三角的中国第一人，这个三角也被成为贾宪三角，但是没有杨辉三角那么普及，所以知名度也没有杨辉这么高，这就是宣传的力量。
说到名气和宣传，大家都知道香港歌坛有过四大天王，明朝时有江南四大才子，但是提起集中国古代数学之大成的宋元时期的数学四大家恐怕知道的人就没那么多了，这四个人分别是秦九韶，李冶，杨辉和朱世杰。在这四人当中，就数学方面的成就来说，我个人认为秦九韶的贡献最大，他发明的大衍求一术是世界上第一个一次同余方程组的解法，是初等数论四大定理之一，可惜没有以他的名字命名，而是被称作“中国剩余定理。”还有秦九韶算法，到今天还是数值分析里必讲的一课，只不过被称做霍纳（Hornor）算法，实际上英国数学家霍纳发明这个算法的时间比秦九韶晚了六百多年。李冶的主要贡献是“天元术”，所谓天元就是我们现在所说的未知数，李冶是世界上第一个真正引入未知数建立方程去解决数学问题的人。朱世杰在天元术的基础上发展出了“四元术，”也就是四元高次方程，此外，他还发明了“垛积法”求高阶等差数列的和，而且也是利用了杨辉三角。从知名度的角度来说，杨辉三角又发挥了作用，还是杨辉更出名一些。
第一次知道杨辉三角我已经记不清是多大了，当时可能还不知道二项式定理，不过杨辉三角用加法就能得到的特殊结构让我一直牢牢记住了它，同时还有杨辉的名字，不过这个名字非常现代，老师也没介绍杨辉的生平背景，让我误以为是某个中学老师呢。一晃十几年过去了，当我再一次看到这个三角是我的一个同学做一个关于介绍kSchur函数的海报（poster）。凭借这个三角，他给非数学专业的评委们讲清楚了k Schur函数的构造法，获得了一等奖。不过在他的海报里，这个三角并不叫做杨辉三角，因为在欧美，这个三角被冠上了另外一个数学家的名字，帕斯卡（Pascal）。
帕斯卡算是笛卡尔和费马的同时代人，广为人知的身份时数学家，物理学家，哲学家和思想家。他在科学上的贡献被前文提到过的法国数学家达朗贝尔誉为阿基米德与牛顿的中间环节。
从天才和早慧的程度来看，帕斯卡不在高斯之下，十一岁时就他写出了一篇关于声学问题的论文。这篇文章除了让老帕斯卡大吃一惊以外，还让他做出停止教授帕斯卡几何的决定，与以自己的孩子能进少年班为荣的中国家长不同，老帕斯卡担心孩子智力的过早发育影响他更长远的人生之路。这个禁令造成的结果是，帕斯卡的好奇心被最大限度的激发了，在初中这个年龄段里，帕斯卡像其他人痴迷武侠小说一样享受着几何书。有一种观点认为老帕斯卡不了解少年的心理所以适得其反，我倒是觉得他发现了帕斯卡的天赋后将计就计，来了一个欲擒故纵。在帕斯卡16岁的时候，这棵天才的树苗结出了第一颗果实---《论圆锥曲线》，帕斯卡也得到了以他命名的第一个结果---帕斯卡定理，即圆或椭圆的任意内接六边形的三组对应边的交点是在一条直线上。此时帕斯卡家已经在巴黎居住了大概8年时间了，在这期间，小帕斯卡跟随着父亲参加了各种各样的学术集会，包括梅森主持的数学物理小组，也是法国科学院的前身，在这些集会里小帕斯卡见到了很多当时顶尖的科学家，也听到了他们关于最近科学进展的讨论，这些都为他在各个领域的发展打下了良好的基础。凭借这篇论文，主流科学界的这些科学家包括笛卡尔，费马，梅森等人都开始关注这个年轻人。
帕斯卡一生当中做了很多世界上的第一个，第一个第一就是在十九岁的时候设计并制造了世界上第一台齿轮式计算机，可以手摇计算加减法到八位数。这台计算机的出现在当时引起了轰动，很多人专程去巴黎参观。实际上它的计算速度还没有一个熟悉计算的人快，但是它把人的脑力劳动转化为纯体力劳动，带给人们巨大的思想冲击，并开始思考和制造可以模拟或者部分代替人类的大脑的活动和记忆的机械。莱布尼兹就是受到帕斯卡的影响，制造了第一台可以计算四则运算的计算机。实际上德国数学家WilhelmSchickard在1623年就制造出了可以计算六位数加减法的齿轮计算钟（Calculating Clock）,不过因为他在发明后不久就去世了，所以很少有人知道这个机器，因此帕斯卡被公认为世界上第一台计算机的发明人，为了纪念他，有一种计算机语言被命名为PASCAL。
不知道二十岁的帕斯卡是不是有着跳跃性的思维，但是他却有着跳跃性的行动。在完成了制造计算机的工作以后，他没有回到几何学，而是转向了大气压力方面的研究。托里拆利已经证明了大气压的存在了，而且发明了用水银柱来观测气压的方法，但是他没有发现气压的变化规律，只是含混的知道气压和气候变化有联系。帕斯卡在研究了气压在不同高度的变化之后，基本上搞清了气压与海拔之间的关系，并在1648年9月19日在海拔超过1000米的普德多姆山（Puy de Dome）让他的姐夫皮埃尔完成了他所设计的著名科学实验，在山脚和山顶分别测量了标志着气压的水银柱高度，水银柱高度从711毫米降到了627毫米，从而证明了气压是由空气重量产生的，所以随着高度的升高而减小，这个实验再次引起科学界的轰动，它的意义并不局限于流体力学领域，还强化了伽利略所开始的近代科学实验路线，对科学脱离鼓吹对古人盲目崇拜，对教条盲目遵守的经院哲学起到了推动作用。此后帕斯卡和皮埃尔又研究同一地点在不同天气条件下的气压，将气压和天气状况挂了钩，从而被尊为天气预报业的祖师爷。再此后帕斯卡的研究转向液体压强的研究，首先他发现了液体内部压强只和液体密度和液面高度有关，与液体的体积总重量都没关系，也就是说在浩瀚的太平洋水面下10厘米处的压强和充满同样海水的10厘米高试管的底部压强是一样的。这在当时并不是一件很容易让人理解的事，于是帕斯卡又做了一个有趣的公开实验。他把一个木桶灌满水，上面插上一根细长的水管，然后让人站在椅子上往水管里灌水，由于水管的横截面很小，所以不多的水可以使液面高度迅速上升，从而导致压强的迅速上升，果然没有几杯水，下面的木桶因为承受不住水压而爆裂，这让现场的人群非常震惊，当然对帕斯卡理论的怀疑也烟消云散了。帕斯卡再一次用行动告诉人们，只有科学的实验和严格的推理才是科学发展的唯一道路。接着帕斯卡发现了流体力学中的基本原理，帕斯卡定律---加在密闭液体上的，能够大小不变地由液体向各个方向传递。现在我们所使用的所有液压设备都可以视作这个原理的应用。为了纪念他在大气压强，液体压强等方面的工作，他的名字被用作压强单位，简称“帕”。根据压强的定义，帕斯卡与牛爵爷有着非常紧密的联系，如果把一个牛顿放在一个面积为一平方米的方砖上，我们就可以得到一个帕斯卡。
帕斯卡没有参与在普德多姆山（Puy de Dome）的实验主要是因为他从小体弱多病，二十多岁就中了风，有过短时间的半身不遂，而各种各样的疾病是他短暂的一生中挥之不去的折磨。在父亲去世后，帕斯卡一个人在巴黎独居时，遵从了医生的建议，远离科学与宗教，开始过一种世俗的生活。对科学来说，这种生活也许是一种浪费，但是对于一个会从生活中学习的人来说，每一种生活体验都是创作的灵感和思想的源泉。这一段时间的生活不但让他有机会观察形形色色的世人，为他的文学创作提供了素材，而且这段世俗生活中一项必不可少的娱乐活动---赌博，导致了他对概率论研究的开始。
概率论的共同奠基人是帕斯卡和费马。据说是帕斯卡的一个赌徒朋友向他提出了一个在赌局没有结束之前如何分配赌金的问题而引起的。问题大概意思是这样的，假设有两个赌徒掷色子，谁先掷出5次六点谁就算赢，可以得到全部赌金，第一个人已经掷出了4次，而第二个人只掷出了2次，这时一个人要离开，问怎样分配赌金才合理。尽管第一个人更接近赢下赌局，但是第二个人肯定会不同意他拿走全部赌金，因为第二个人也有赢得可能性。分配赌金就应该根据他们在现有条件下各自赢得赌局的可能性。可能性可以这样被理解，首先给现在这个时刻做一个记号，然后让他们继续赌局直到决出胜负，记下胜者，然后回到这个时刻，再继续，决出胜者，记下，再回到这个时刻，如此往复不停，那么两个人各自赢的次数所占总次数的百分比就是他们各自赢的可能性，也就是概率。当然，这种方法是不可能实现的，因为我们没有时间机器反复的回到同一时刻，也不可能让他们无限继续下去，该怎么算就是帕斯卡和费马所解决的问题。帕斯卡和费马各自回答了这个问题，他们在大的方面基本一致，只是有小的出入，并在一系列的通信里交换了结果并完善了理论。帕斯卡三角也是在此时得名，原因是他在概率论创造性的应用了这个三角，虽然即使在欧洲，这个三角也不是帕斯卡首创，但是人们还是叫它帕斯卡三角。后来还有一个可以用来计算三项式展开系数的三位数字阵叫做帕斯卡金字塔，不过它并不是一个金字塔，而是四面体。
在帕斯卡三十一岁的时候，他经历了一场马车事故，拉车的两匹马从桥上坠入塞纳河，而他自己奇迹般的躲过了此劫。这件事被信奉天主教的帕斯卡视为一种警告，他开始重新思考人生，停止了世俗的生活，搬到一所修道院里居住。自此帕斯卡全心思考宗教与哲学，探寻宇宙与人生的真理，并写下了一些著作，其中最有名的两部是《致外省人书》和《思想录》。这两部书作者的出发点都是宗教信仰，但更多的是被作为文学作品来评价。《致外省人书》被誉为古典主义散文的典范，据说刚一出版，就因为帕斯卡优美的文笔弄得一时巴黎纸贵。我完全不懂法文，无法欣赏原著，而译本怎么都要损失一些文字美，给我的感觉就是通顺而已。至于内容，可能更适合对宗教有兴趣的读者，我是实在读不下去。《思想录》也被定为散文，从文体的角度来说绝对是够散了，内容比较可读，处处都可以感到作者思想的火花，不过以我在哲学，宗教，历史，社会等方面的背景和我浮躁的生活态度，只能是先敬而远之了。既然是经典，应该是值得一读，请大家不要因为我低下的欣赏水平而错过两本好书。
杨辉和帕斯卡，这两个看似毫无关系的人被这个三角联系了起来，如果我们对这个三角的历史再多一点了解的话，还有更多的名字会被它联系起来。科学是真正没有国界，不分种族的，相同的科学真理在不同的时代，不同的文明，被不同的语言记录下来，成为人类文明向前发展留下的足迹。对于足迹周围的那些名字，他们的科学发现早已经成为人们熟悉的基本知识，但他们的功绩我们不应该忘记，他们的思想也可以依旧犀利。不管我们怎么命名这些足迹，他们都是值得我们记住的人。
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