最速降线——一个约翰挑战全欧洲数学家的问题

新月爱幻

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终于回归我们的伯努利专题~

1630年，意大利物理学家伽利略在研究一个物理现象时，提出了这样一个问题：

“一个小球在重力的作用下，从一个给定的点滑到另一个不在其垂直下方的点，不计摩擦的情况下，小球沿着什么路线下滑所需要的时间最短呢？”

1638年，伽利略在《论两种新科学》给出的答案是圆弧。

当然，按照现在我们所掌握的知识来看，这无疑是错误的。

01 \quad约翰的挑战书\\

1696年6月，约翰·伯努利向这个问题发起了挑战，用了两个星期的时间成功解决了它，并将答案投稿给了《博学通报》。随后，约翰向全欧洲的数学家发起了挑战，在《 Acta Eruditorum》杂志上，约翰写到：

我，约翰·伯努利，向世界上最杰出的数学家们致辞。诚然，对于这样一群杰出的数学家来说，没有什么比解出一个其答案可能会让人声名远扬的问题更激动人心的了。遵循帕斯卡、费马等人的做法，我希望自己可以通过向这个时代最好的数学家们提出一个可以检验他们的方法智力和实力的问题，来赢得整个科学界的感激。 如果有人告知我该问题的解决方案，我将公开宣布他值得赞扬。

I, Johann Bernoulli, address the most brilliant mathematicians in the world. Nothing is more attractive to intelligent people than an honest, challenging problem, whose possible solution will bestow fame and remain as a lasting monument. Following the example set by Pascal, Fermat, etc., I hope to gain the gratitude of the whole scientific community by placing before the finest mathematicians of our time a problem which will test their methods and the strength of their intellect. If someone communicates to me the solution of the proposed problem, I shall publicly declare him worthy of praise.

对于该问题，约翰陈述到：

给定垂直平面上的两个点A和B，在仅受重力作用的情况下，一个点以最少的时间从A运动到B，其划过的路径是什么样子的？

Given two points A and B in a vertical plane, what is the curve traced out by a point acted on only by gravity, which starts at A and reaches B in the shortest time?

约翰将此问题称为Brachistochrone问题，其中Brachistochrone即希腊语中“最短（brochistos）”和“时间（chronos）”两个单词的合成。

在最后，约翰还说道：“如果在年底之前（1696年底）没有人发现这条曲线，那么我将公布答案。”显然，约翰的做法在数学界激起了千层浪花，许多数学家纷纷参与其中，探讨这个问题的解。

对于这个问题，或许我们的第一反应会是连接 AB 两点的线段。但约翰却对此予以否认：“虽然 AB 之间的最短距离是这条线段，但是小球滚下的时间却并不是最短的。因为起初小球的速度为 0 ，需要让路径更陡一些，以获得更大的加速度。”

那么，最开始的时候让小球进行自由落体运动呢？以最大的加速度进行加速的结果又是如何呢？从动图中可以很明显地看出，这依然不是最优解。

虽然这个问题看似是求一条曲线，但实际是在求一个满足给定条件的函数，这是本题最大的难点，而且在以前的探索中并没有出现过这样的情形，再加上约翰的做法，这得以让众多数学家投入到这个问题中来。

02 \quad“众神”的回应\\

起初，伯努利的截止期限是1696年底，但是6个月过去了，约翰只收到了他老师莱布尼茨的一份解答。于是，应老师的要求，约翰将期限又延长了一年半，以便让欧洲数学家们有更多时间来充分解决此道难题。

有意思的是，伯努利还暗示了要特别挑战的对象，他说道：“很少有人能解出这个独特的问题，即使那些自称通过特殊方法探索了几何学的秘密、拓展了几何学领域的人也不例外。这些人自以为他们伟大的定理无人知晓，但其实早已有人将其发表过了。”

很明显，这段话所针对的人正是后来英国的皇家学会会长——艾萨克·牛顿。

或许是弟子为了维护老师的尊严，约翰亲手把这个问题抄了一份，并寄给了在欧洲大陆之外的牛顿。

1697年1月29日下午4点，在铸币局忙了一天的牛顿收到了约翰寄来的信件，尽管此时牛顿因改铸新币的工作而精疲力尽，但他依然接受了挑战并为此熬了一个通宵，然后匿名邮寄了解决方案。约翰在读完解决方案后，立即认出来了它的作者，并称他“从爪印中识别出来了一头狮子(recognizes a lion from his claw mark)”。

约翰解决这个问题花费了两周的时间，而牛顿只用了一个晚上便将其解决了，这又再次让人们见识到了牛顿的渊博才学。在信中，牛顿还写了“在数学问题上，我不喜欢被外国人嘲弄……(I do not love to be dunned [pestered] and teased by foreigners about mathematical things...)”这样一句话作为送给约翰的有力回击与蔑视。

最终，五名数学家给出了他们的解决方案，他们分别是牛顿、雅各布、莱布尼茨、奇恩豪斯和洛必达。四种解决方案（不包括洛必达的方案）于1697年5月5日在《博学通报》上公布，最终的答案是摆线，而非伽利略所设想的圆弧。

03 \quad最速曲线的应用\\ 这场针对全欧洲数学家的挑战，引来了多位大数学家的回应，并各自在不同的角度给出了解决方案，不可谓不精彩至极。虽然众人的解法各有千秋，但其中还当属约翰的解法最为完美，他将物理和几何融合到了一起，用光学的思想得出了结论。而雅各布的方法是最一般的方法，即用变分的思想求解。至于牛顿和莱布尼茨，就是用微积分的方法了，但是步骤也不尽相同。

不过，这一挑战造成的影响远不止求解出一个问题这么简单。1728年，欧拉又透彻地分析了最速降线问题，最终确立了求积分极值的一般方法。而后来拉格朗日又发展了这个方法，结合变分方法建立了分析力学体系，所有的这些新的分支与微积分本身一起，形成了数学上的“分析学”领域，与“代数学”和“几何学”共同构成了数学的三大分支。

那么，最速降线对我们的日常生活有影响吗？答案是有，而且很大！

在我们日常生活的建筑中，楼顶是一个“三角形”的形状，但真要是仔细看下去，会发现该“三角形”的两个腰不是线段，而是带着些许的弧度，这正是体现了最速降线的思想。按照这样的设计，当遇到暴雨时，屋顶上的雨水会在最短的时间内流下去，从而对屋顶起到保护作用。

同时，最速降线对建造过山车也产生了巨大的指导意义。受限于材料、占地等因素，过山车的高度是有限的，如何在这有限的垂降距离里，尽快达到最高时速，就成了工程师需要解决的问题，而解决方法也很明显，就是采用最速降线。

在竞技体育上，这一曲线也有很大的用处。比如在滑雪运动中，运动目标是以最短时间冲线，因此如果你沿着最速曲线的轨迹下滑，那么就会获得更短时间的优势。

最速降线(Brachistochrone curve)所使用的摆线部分在水平方向结束时，也被称为等时曲线(tautochrone curve)，即无论物体在曲线的哪个位置上，它们都会经过相同的时间滑落到水平位置。

因此如果你的孩子玩四驱车模型，那么你可以告诉他：如果四驱模型车在一个等时曲线形状的滑道上比赛，那么无论赛车从哪里起跑，比赛都是公平的。

最终，这场挑战大幕落下，但是，两兄弟之间的斗争已经愈演愈烈。约翰因为和雅各布得出的求解过程非常类似，因此约翰曾试图将雅各布的解决方案当成是自己的解决方案。而雅各布，据说为了超越弟弟约翰，创造了一个更难的最速降线问题的变种，并且提出了一种新的求解方法(该方法后来导致了无穷微积分的诞生)。两兄弟的互不相容，也是伯努利家族，绕不开的话题……

附录\\

01 \quad约翰·伯努利解法\\

约翰的证明应用到了费马原理。早在1662年，费马就曾指出：两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。由于和问题类似，约翰就利用该原理，对此问题进行了解决。

运用机械能守恒定律，可以导出在重力场中运动的物体速度公式 v=\sqrt{2gy} ，式中， y 表示物体在竖直方向上下落的距离， g 为重力加速度。而经过不同的曲线下落，物体的速度与水平方向的位移无关，因此约翰假设光在满足光速 v=\sqrt{2gy} 的介质中运动所形成的轨迹来导出最速降线。

具体进行实施，即假设光在不同折射率的介质中进行传播：

而利用到极限的思想，假设这里有无限多层玻璃，这样下来，光速差不多是连续变化，也就能看到我们想要的完美路径：

这时，约翰根据斯涅耳定律注意到，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数

\frac{sin\theta}{v}=\frac{1}{v}\frac{dx}{ds}=\frac{1}{v_m}\\

式中， v_m 为常数， \theta 为轨迹与竖直方向的夹角， dx 为水平方向的路径微分， ds 为运动方向的路径微分。

通过上述方程，我们可以得到两条结论：

1.在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向相切。

2.当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。

为了简化计算过程，假设光束相对于原点 (0,0) 有坐标 (x,y) ，且当下落了竖直距离 H 后得到了最大速度，即 v_{max}=\sqrt{2gH} ，整理折射定律中的各项并平方后得到

v_{max}^2(dx)^2=v^2(ds)^2=v^2((dx)^2+(dy)^2)\\

对其进行求解可得

dx=\frac{vdy}{\sqrt{v^2_{max}-v^2}}\\

代入 v 和 v_{max} 的表达式可得微分方程

\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{H-y}{y}}\\

而这个微分方程的解，就是一个由直径为 H 的圆移动所形成的倒置的摆线方程。

02 \quad雅各布·伯努利解法\\

对于雅各布的解决思路，现代化版本如下：

如果对最小时间的路径偏差可以忽略不计，那么对于由沿路径的位移以及水平和垂直位移形成的微分三角形，我们有 ds^2=dx^2+dy^2 ，在 dy 固定的情况下，求微分有

2dsd^2s=2dxd^2x\\ 再整理可得

\frac{dx}{ds}d^2x=d^2s=vd^2t\\

最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为 d^2x ，对新旧两条路径，该变量为

d^2t_1=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}d^2x\\ d^2t_2=\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}d^2x\\

对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到

d^2t_2-d^2t_1=0=(\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}-\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2})d^2x\\

因此最短时间情况为

\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}=\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}\\

而这个结果，和约翰通过光速得到的结果是一致的。再求解即可得到约翰求解所得的微分方程。