单摆

【基础知识导引】 

1．知道单摆模型，理解单摆的振动是简谐运动． 

2．掌握单摆的周期公式并能用来进行相关的计算． 

【教材内容全解】 

前面学习了弹簧振子，了解了简谐运动和振动图像及周期频率等知识．在日常生活中，我们常见到座钟摆锤的振动，钟摆类似于物理上的一种理想模型——单摆．下面一起来研究单摆． 

(一)单摆模型 

定义：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆． 

单摆是实际摆的理想化模型，理解概念时把握以下几点： 

(1)小球密度较大，体积较小．  

(2)细线柔软不可伸长，且线长远大于小球直径，线重可忽略不计．  

(二)单摆的受力分析  

1．在半径方向上：绳的张力与重力沿半径方向分力提供小球做圆周运动的向心力，即 . 

如图9—21：A、A′处：绳的张力 ，  

O处：  P处：  

2．摆球的运动方向上．重力的切向分力F提供使摆球摆动的回复力． 

如图9-21，F=mgsinθ，做两处理想化处理：①θ很小时， 

；②令 得 

.考虑位移与力的方向，有 

令 

则：F=-kx，对一个确定的单摆而言，k是一定值．因而，在摆角很小时，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动． 

(三)单摆的振动图像 

作图方法同上节，在振动物体上固定画笔法，为便于作图，可用盛沙的漏斗作为摆球．在漏斗摆动时，匀速拉动下置的硬纸板，就可以用落在纸板上的细沙得到单摆的振动图像． 

(四)单摆振动的周期  

1．单摆的周期公式为 

，是荷兰物理学家惠更斯经实验研究发现的． 

理解：(1)摆长指悬点到摆球重心的距离．  

(2)重力加速度指单摆所在地的重力加速度．  

(3)单摆的振动周期与摆球质量、振幅无关． 

思考：教材用装沙的漏斗做单摆描绘单摆的振动图像，若忽略一切阻力，试分析单摆的周期是否会变化?如果变化，请说明如何变化? 

提示：随着沙的漏出，摆锤的重心会发生变化，从而导致有效摆长发生变化．

2．单摆的应用． 

由 

，得 

，因而可通过测摆长和周期求重力加速度g的大小．  

3．等效摆长和等效重力加速度g． 

【难题巧解点拨】 

例1一单摆的摆长40cm，摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，若取 ，则在t=1s时摆球的运动情况是  

A．正向左做减速运动，加速度正在增加  

B．正向左做加速运动，加速度正在减小  

C．正向右做加速运动，加速度正在减小  

D．正向右做减速运动，加速度正在增加  

解析由单摆周期公式，求得此单摆周期 

则时间t=1s与周期的关系为 

，所以t=1s时摆球处于由左侧最大位移向平衡位置运动过程中，因而正向右做加速度减小的加速运动．  

答案C  

点评利用单摆周期公式求出T，再把题中所给定的时刻t与T相比较，判断t属于周期的哪一个阶段，是解决问题的关键．再结合单摆的具体运动情况即可得解． 

例3如图9—22所示，光滑圆弧轨道的半径为R，圆弧底部中点O，两个相同的小球分别在O点正上方的A点和离O点很近的轨道上，现同时释放两球，使两球正好O点相碰，问h应为多高? 

解析误解：对B球： 

对A球：  

要两球相碰，则， ，即 

，得 

. 

正确解答：B球的运动可等效为单摆运动，设B球达到最低点的时间为 

，则有 

① 

对A球，设到达最低点时间为 

，则  

② 

要使两球相碰，则： ③ 

解①②③得：  

答案

点评误解考虑问题不全面，没有注意到B球运动的周期性．依题意，只要 A、B两球同时到达O点就可以相碰，而B球到达O点有多种可能的情况，从起动达到O点运动的时间可以表示为 ，这就使答案不止一个值．在解与振动有关的物理问题时，要注意由振动周期性所决定的答案的多种可能性． 

例3一单摆摆长为L，在地球表面时，t时间摆动n次，当把它放在距地面为h的高山上时，求t时间内摆动的次数(摆角均小于5°)．  

解析设单摆在地面的周期为T，重力加速度为g，在高山上周期为T′，重力加速度为g′，则 

解得：  

则t时间内单摆在高山上摆动的次数 

答案 

点拨单摆的周期受单摆所在地重力加速度的影响．在前面学习中我们知道地球上空重力加速度大小随高度的变化而变化，且在不同星球表面重力加速度也不同．因而在处理此类问题时，经常与万有引力定律结合起来进行分析． 

【拓展延伸探究】 

课题你和你的同学去黄山游玩，爬到“鲫鱼背”时，你忽然想知道自己爬了多高．可你们的手表却不幸停掉了，身上又没带尺子，但有一根较长的细线．你能否通过做一些实验来估计此山峰的高度呢?(设你们的身体状况如呼吸、心跳、体温等没有因高山而改变)．请写出：  

(1)实验原理．  

(2)实验步骤．  

(3)山峰高度的表达式．(已知地球半径R)  

目的(1)培养学生的实践意识与能力．  

(2)培养学生的创新意识和观察能力．  

方法提示(1)原理：利用单摆测重力加速度，摆长可用自己的身高来测定，再利用万有引力定律： 

求解h. 

(2)步骤：利用细线和自己的身高'设计摆长，如 

．  

a．用已估测摆长的细线拴住一小石子，做成单摆．  

b．在山峰处利用脉搏测量．测脉搏数 

次，同时数单摆全振动 

次．  

c．同理，回到山下时，测脉搏数 

次，同时数单摆全振动 

次．  

(3)表达式：设脉搏时间间隔为t，则 

因为 所以  

点拨你能清晰了解自身的一些基本状况吗?如身高、体温、心率、跨步距离、手臂的最大拉力等．你能利用这些基本常数进行一些日常生活中的简单测量吗? 

【课本习题解答】 

1．略．  

2．解：a．摆长减为原来的 时，周期减为原来的 . 

b．摆球的质量减为原来 时，周期不变．  

c．振幅减为原来的 时，周期不变．  

d．重力加速度减为原来的 时，周期为原来的2倍．  

3．T=1.1s 4．  

5．  

6．摆动图像如图9—23所示． 

【同步达纲练习】 

1．关于单摆，下列说法正确的是  

A．摆球运动回复力是摆线张力和重力的合力  

B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的  

C．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置  

D．摆球经过平衡位置时，加速度为零  

2．图9—24为同一实验室中的两个单摆的振动图像，从图像中可以知道它们的  

A．摆球质量相等B．振幅相等  

C．摆长相等D．摆球同时改变方向 

3．摆长为L为单摆，在悬点正下方(L-L′)的P处有一钉子，如图9—25所示，这个单摆的周期是(两边摆角均很小) 

A． 

B．  

C． 

D．  

4．单摆的振动周期在发生下述哪些情况中增大  

A．摆球质量增大B．摆长减小 

C．单摆由北极移到赤道D．单摆由海平面移到高山上  

5．一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，可见电梯在做加速运动，加速度为  

A．方向向上，大小为 B．方向向上，大小为  

C．方向向下，大小为 D．方向向下，大小为  

6．一座摆钟，摆长L，每天快10min，该怎样调节摆长才能使之走时准确？ 

参考答案 

【同步达纲练习】 

1．B点拨：摆球运动回复力是重力沿垂直于摆线方向的分力，A错，摆球运动的加速度是指摆球在各方向上加速度的矢量和，它除了有指向平衡位置的加速度矢量外，还有指向圆心的向心加速度，这两个分加速度之和一般情况下指向平衡位置(最大位移处除外)，故C错．摆球经过平衡位置时，速度不为零，此时，摆球有向心加速度，故D错． 

2．C  

3．D 点拨：摆球摆动时，在竖直线左侧，摆长为L′，在竖直线右侧，摆长为L，因此这个单摆的周期应为摆长为L的单摆的周期的一半加上摆长为L′的单摆的周期的一半，即：  

4．CD 点拨：C、D两种情况，重力加速度都变小，故周期变大． 

5．D点拨：单摆周期公式 

，L应为摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．而g不仅仅由单摆所在的空间位置(如在不同高度、不同星球上g不同)，还由单摆系统的运动状态决定．如果摆有竖直向上的加速a时，等效重力加速度为 g′=g+a；有竖直向下的加速度a(a<>

，电梯的加速度 

，方向向下．  

6．解：设准确钟摆长为 

．周期为 

.此摆周期为T，一天的时间t=3600×24s，由于摆钟每天快10分钟，即快钟在t时间内摆动的次数比准确钟在t时间内摆动次数多 

次，即 ， 

，  

解得：  

即应使摆长增长为原来的1.014倍，才能使之走时准确．