读书人典型的有两类,一类博闻强记,脑子是书架子,关心的是标准答案,装的知识多了就成了博士、博导和院士。说话必有所据,洋洋洒洒引经据典多是精装书和名人所说。至于名人和精装书说的对不对,那是别人的事。另一类是爱思考,用脑子琢磨事,喜欢在大家熟视无睹的地方找问题,关心的是原理逻辑和为什么,谁说的不重要,对错会在思考中自明,只有对智力不自信时才在逻辑之外找线索。悖论是为这后者而设的。
作为想问题的例子,我们先来剖析一下悖论这个名称。
悖论译自英文Paradox,指产生了矛盾的推理,通常是逻辑和常识之间的矛盾。这个矛盾可能是逻辑错了,也可能是常识错了。甚至有可能是我们习以为常的观念和原则错了,一系列逻辑推理,导致逻辑上的自相矛盾。这些矛盾,因为其匪夷所思,有时按感受翻成“弔诡”,惊叹其怪异。
中文“悖”是相冲突,违背道理的意思,“论”是命题,用“悖论”特指明知是错,又说不出所以然,自相矛盾的命题很准确。所以这译法经常用在逻辑学,数学和哲学的Paradox上。
物理界经常把Paradox翻译成“佯谬”。“佯”是假的意思,“谬”是错误,合起来是“假的错误”,“佯谬”的中文词义便是:看起来错误其实是正确的事情。指逻辑上没错而常识错了的情况。因为物理学上著名的Paradox基本属于对新理论的思考和验证,出自理论物理学家的自信,国内学者多译为佯谬。台湾比较慎重些,继承国学咬文嚼字的传统,对有争议拿不准还未证实的宁可称为“弔诡”。因为物理上的Paradox,其结果到底是哪一方出错,是由实验来判定的。物理学者关心的是事实真相,考察问题的难点不在逻辑上,而且也非所长。所以很多学物理的人对数学和逻辑的Paradox,难以理解其争论的要点。
悖论和佯谬实际上是指完全不同性质的两类问题,一些人因为悖论和佯谬都译自Paradox,没注意到它们各自的倾向性,把它们等同起来,这是不动脑筋考虑字义和对象的做法。
逻辑和数学上的悖论,表面看起来都显得很粗浅,借用故事,以大家都能懂的逻辑在常识观念中推理,结果荒谬得出奇,又难以说出个所以然。恼羞成怒的人会简单地斥为谬论或者诡辩。用情绪发泄来遮掩弱智,以便在无知时也显得理直气壮。其实悖论就像科学或思想中的一种疾病,当你无知时并不觉察,至多迷惘,只有坚持理性的人会重视。有些悖论经过努力被治愈了,有些经历了几千年,虽然每一个的进步都减轻一些痛苦,但却无法根治。
下面是一个实例,有许多人不明白像“阿基里斯与乌龟”的故事有什么想头。这个故事里说:
跑得最快的阿基里斯永远追不上跑得慢的乌龟。因为他首先必须跑到乌龟的起跑点,这时候乌龟已经往前爬了一段路。当他赶上这段路时,乌龟又向前进了一些。如此等等,无论什么时候阿基里斯追到了乌龟当前的位置,乌龟在这段时间内又向前爬拉开了距离,这个差距虽然在缩小但一直存在,在这无穷追赶过程中不会是零。因此跑得慢的乌龟永远领先,无法被超越。
阿基里斯是快跑英雄,乌龟是爬得慢的动物,这运动不需要做实验,从生活常识就可以判断出结果。芝诺是两千多年前人,他说的故事,这么长时间流传下来,为什么至今人们还津津乐道呢?
知道点运动常识的人,马上接过来,说运动呀,速度呀,时间呀,赋个值用小学算术就算出何时何处追上了。类似的解释其实两千多年前亚里士多德就说过,只不过他没小看这百多年前的诡辩大师芝诺,意识到这里真正说的是无限的追赶和有限距离的问题,他也说不清,绕过去了。
又过了600多年,阿基米德是第一个直接面对这个无限的追赶和有限的距离问题。他假设了阿基里斯与乌龟的速度成比例,算出他在什么地方可以追上乌龟。
如果不是这种特殊情况,只知道阿基里斯比乌龟跑得快,他能追上吗?直觉上应该能。但这问题一直到了19世纪柯西,关于收敛性研究后才有了明确的答案。柯西研究的答案是两种都有可能,收敛时追上了,不收敛时追不上。在后一种情况就不该叫悖论,这时逻辑没错,常识错了,这就成了佯谬。到此两千多年了,对这问题的轻佻答案,看来有一半是错的。
到了这儿很多人都觉得可以结束了,很多刊物和科普都接受了收敛考量的解释,认为解决了这个悖论。但是这收敛的极限就意味着达到吗?1等于0.9999...吗?针对这问题的数学应用现实,应该答是,但在逻辑上没有根据,否定也是允许的。在否定时,并不否定这事实,只是否定其作为解决问题的数学手段。问题又回到两千多年前毕达哥拉斯学派的疑问,归结到现代都还没解决的实无穷和潜无穷争论,这涉及到对无穷小量的不同理解,分别发展出标准分析和非标准分析,哪一种处理方法在数学上更为合理?这还有待更长时间和更大范围的考验。
在有限的时间中发生无限的事件称为芝诺现象。芝诺的一个观点是:在有限的时间内不可能处理无限的事件。这是一种哲学观点。在物理学上,有人用来反对空间无限可分,将时空量子化。在数学上走向有限主义。在现代连续和离散混合系统中芝诺现象,指这种情况的系统是不能实现的。焉知这观点将来不能成为主流?
有人就烦了,这不就是个简单的物理问题吗,怎么就扯到无穷,还扯到哲学上了!阿基里斯事实上一步就能跨过乌龟了!这就是读书不用心,不爱动脑子,小看天下人了。
其实这悖论从亚里士多德开始,就没把它当作物理问题,因为难点不在这儿。当大家沿着阿基米德无穷级数求和的路子,走了2000多年到柯西那里得到收敛的极限后,解释了部分的疑难,有些人又开始琢磨,极限在逻辑上能不能意味着达到了,这至今没答得清的问题。
这不是自己找虐吗?
玩悖论是为了启发思想,思考悖论就是寻找问题中的难点,要直接面对导致矛盾的逻辑而不是绕过它。悖论的故事是道具,夸张的说法不过是广告词,核心是其中的逻辑。如果你在思考中理清了头绪,你会感觉到自己的进步。如果你从轻视转为困惑,那你也不再如过去那样自信满满地浅薄了。当你从困惑中解脱出来,你对逻辑和自己的智力又多了份自信。
科学是在思考中进步,用犀利的智力划开混沌的迷惘,数学的几次危机皆因悖论而起,又因悖论的思考取得了突破,甚至因悖论而开创新的研究。能否欣赏悖论,是死读书和爱思考的分界,也是一个智力的测验。
悖论是爱思考人玩的游戏,不爱动脑子的人会觉得很无聊的。
(这是篇导言,接下去我将介绍和剖析一些在科学和哲学上有深远影响的著名悖论。)
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