前几天看到程代展的《也谈“相对速度”》,从那儿追踪到鲍海飞的《相对论——破解一道小学数学题》及《相对论——破解一道小学数学题》的补记,跟帖里讨论激烈,甚至还有不同答案。鲍教授在补记里贴了招贤榜,鼓励百花齐放,破除思维定势。我当时就疑惑,这人家明明说了,是小学生题,怎么这些大教授全用代数做了,还嫌题目出得不像小学?这就算是属于聪明儿童高端题,用来考大人,答题也该限用小学的知识来求解呀!有人说这解里有个根号2,证明超出小学范围了。我那时正忙,没答那茬,现在腾出手来,也来玩一下这道题。
一列队伍长一百米,向前行驶,队伍中最后一个人(二者均为匀速),以较快的速度沿着同样的方向前进,当这个人走到队伍的最前头的时候,返回身来再往回走,一直走到队伍的最后,这时,整列队伍恰好向前行走了100米。提问:单独的这个人走了多少路程?
我想,小学生嘛,没学过代数,这就该用算术直观地算一下,得个数,不就是这个要求?我想起小时候看到卖菜大妈的法子,用在这也合适,先看大妈怎么算。
乡下大妈在集市上卖豆子,一斤一毛四,有人要买两毛钱的豆。掏出纸来算这除法,我在后边背心算口诀折算,这1.42857还没出口。大妈已经称完豆子包起来,叫他走人。那人傻傻的还没算完,大妈说,这一斤一毛四,半斤七分钱,合起来两毛一,我称了一斤半,扒拉下一点,不是正好,你还愣啥呢?
这是小学程度的大妈,应用在实践上的算术。用这个试算调整法,做这道题也不难。
这人从队尾往前走,到队头就往回走,再和队尾碰头。队伍也往前走,往前走那程肯定比往回走费时间,所以他快步走到队头的时候,队尾应该走到50米和那碰头100米之间的某个点。队伍长100米和碰头处的100米是一样,所以他回头就是走回这队头超过的路。
先蒙一下这地点,比如说队伍走了70米,那人追上了队头。这时他走了170米,那这个人的速度是队伍的170/70~=2.43倍。这人这时超出了碰头点70米,那么这人往回走了70米时去碰队尾,队伍会再走70/2.43~=28.8米。这队伍走的两段路程加起来70+28.8=98.8米,队尾还没到点。看来队伍得走得快一点,把这1米多的差距补上。重来。大慨齐用0.6把这1.2米差距折一下补上去,这回试算70.7米,那人速度是队伍的170.7/70.7~=2.41倍,这人往回走70.7米,队伍会走70.7/2.41~=29.3米,70.7+29.3=100米。碰,胡了!这人一共走了170.7+70.7=241米。
有人问:“这叫什么解?”
小学生算术计算呀!
“这不科学!”
科学不是用来解决实际问题吗?这比代数算的既快又简单,一下就得出差不离的数,还不易被绕晕了出错,按照奥什么姆的剃胡子刀,应该这更科学嘛。
“我说你第一次70是蒙的。”
不难看出这一点在50和100之间吧?你要是直觉不好,就取中间值75,那也是再试一次就能算出的数。
你说,我这学卖菜大妈算术方法的答案,是不是最符合题意?
小学怎么不教这大妈每天都在用的算法?幼儿园小朋友都知道分饼时,你掰大块了,我再掰一点回来,你又掰一丁点就算清了。看来,学了很多数学的人,怕是落入应试考试的思维定势,非要做到符合精确解的标准答案才算数。
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【注】
教授们对小学生没办法,小学生算数只要知其然,不必知其所以然,好用就行。我在科学网贴帖子,大家一定说,你要有科学根据,最好整一个递推公式,证明是收敛的呀。
好了,其实也没那么玄。把那人追上队头时,队伍走过的路记为X,按照大妈解法的思路,这也就是个代数方程:100 – X – X^2/(100 + X)= 0的数值解。这左边函数一眼就看出X正值时单调,随便用什么求根的数值方法,都能收敛求解。不费脑筋的用Bisection就行了。大妈用的是简化的牛顿法,那差距折算因子粗估个数都行。例子上用了0.6是在零点处那函数的导数值1.66的倒数,收敛得快一点。
【续】
鲍教授等原帖后,就有人不同意那答案,说那人该走300。我不知道那300是怎么算的,但小学老师告诉我们,做应用题要验算。
让我们验算一下300的解。那人来回走了300,队伍走了100,那他的速度是队伍的3倍。不难算出当他走到队头时,他走了150米,队伍走了50米。好了,他往回走,走这300米剩下的150米,这下回到原地了。队尾在哪里,在错过的100米处。这显然不对了。
那你那个241也验算一下。好的,队伍走了100米,他来回走了241米,那人的速度是队伍的2.41倍。这就对上了,解题时已经算过这速度和那几个距离。
如果说那队伍是行驶的列车,那人走在列车上,那300米也不对。他就是用他的腿走了200米。如果说这“走了”是指他到车尾时,离开出发地多远,那也是100米,和他溜腿无关。
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