（2010年11月8日、星期一、下午）
堇庐（即博主）新注：未曾想与钱先生系统性的漫谈仅此一次，以后再也不会有之二、之三了，因为钱伯初先生于2014年4月30日因病医治无效在兰州去世了。我曾有幸听过钱先生的力学、数学物理方法和量子力学三门课程，我也曾向钱先生请教如何读Dirac的《量子力学原理》，钱先生要求我要精读此书，要反复的看；我从钱先生那里学到了量纲分析，从钱先生那里学到了真正的数学物理方法，从王竹溪先生那传下来的数学物理方法。非常遗憾不能到兰州送您最后一程。曾记得去交大听课时，有一次数理方法下课后陪钱先生去食堂吃饭，在食堂门口，钱先生突然对我们说汪志诚老师去世了，你们知道吗？我们说知道，但下课时没告诉你，怕你难受。除了物理，除了量子力学，钱先生的围棋和乒乓球也是一绝！刚得知钱先生去世的消息后几天里，心里一直很难受，眼泪也下来了！钱先生怎么这么快就走了啊？曾记得和钱先生在西安交大校园里边逛边聊！曾记得大学时天天跑到西交大去听钱先生的力学、数物方法和量子力学！当时全套的数百页听课笔记依然保存至今～此后再无钱先生～一路走好！难受。钱先生，您的教诲，晚辈永生难忘！钱伯初先生，一路走好！（2014年5月11日）
堇庐注：今年，兰州大学钱伯初先生由西安交通大学特聘给西安交大理学院物理实验班的学生讲授《数学物理方法》课程，笔者有幸得知后，便每次前往交通大学旁听，下课后，笔者有时有幸一路陪同钱先生走回住处，在西安交大校园便有了这段校园物理漫谈，在校园里，钱先生侃侃而谈，从讲课，到教材，到历史。虽然钱先生现在讲授《数学物理方法》课程，笔者也询问了一些有关量子力学的问题。笔者根据录音记录稍加整理，便有了这篇《钱伯初先生交大校园物理漫谈（之一）》，期待以后与钱先生有更多的校园物理漫谈，也希望以后也会有之二，之三等等。（2010年10月10日）
堇 庐：钱先生，请问量子力学中的算符是不是只对波函数作用？我看曾谨言写的书里讲算符共轭时，他把算符作用到波函数的共轭复数上？
钱伯初：对。错，错，他把概念弄错了，我跟他说过。在波函数的阶段，我们只定义了对波函数作用的算符，从来没有定义过对波函数的共轭复数作用的算符。普遍的微分算符，那个可以，但不能作为量子力学的算符。量子力学只定义在波函数上定义的算符。这个概念除非要到狄拉克符号的阶段，就是左矢、右矢，那时候那个算符可以向左矢作用，也可以向右矢作用，不过那是另外一种概念。也就是说，在前面讨论波函数的表达时，没有定义过对波函数的共轭复数Ψ*作用的算符。
堇 庐：我查了一下，朗道的书中好像也是这么写的，定义共轭算符的时候，先讲算符的转置，再进行复共轭。
钱伯初：这个是过多的考虑了矩阵运算。矩阵运算推广到复数领域后，什么叫矩阵的共轭矩阵？就是把那个矩阵先转置再取共轭复数，曾谨言受了这个影响，也看过朗道的书，朗道书上也是这么讲的。我仔细推敲下来，就是说，光从薛定谔方程，光从波函数，我们只定义了对波函数作用的算符，没有定义过别的，所以他定义那个作用在Ψ*，不但是多余的，严格来说是概念错误，不能定义这样的算符，不是量子力学里面的算符。量子力学里面谈的算符，是线性算符，只对波函数作用，不能对波函数的共轭复数作用。这一点么，一层窗户纸，指出来了，去想想，就明白了。曾谨言怎么会搞出一个自找麻烦的错误，这是不可思议的。
堇 庐：钱先生，那么您和曾谨言先生是不是很熟啊？
钱伯初：当然很熟，我们两个合作写了那个习题集。两个都是北大的。我是清华的倒数第二批学生，他是最后一批。清华大学51年招了学生以后，52年暑假，清华理学院已经没了，合并到北大。我和他进入清华是差了一年，但是曾谨言年纪比我大。为什么大呢？他第一次考入大学跟我是同一年，进了重庆大学，学的是工科，这个人呢，特别喜欢物理，学了一年，就放弃了，我不要了，学历什么都不要了，我重新高考，51年在某个范围以第一名的成绩考了清华物理系。有好几个人是非学物理不可，学了别的，放弃了，不要了，然后来学物理，曾谨言就是这么一个人。然后，我赶上国家五年计划的需要，本科只学了三年，国家规定提前一年，那我们提前毕业了。曾谨言没有提前，他是念了四年本科，等到他读研究生，比我晚了两年，本科我少一年，我研究生都三年级了，他才来当研究生。大家都知道，我被调到兰州去了，他毕业以后留在了北大物理系，我的导师杨立铭先生，后来把课交给他讲了。如果我留在北大，课肯定是我讲，我已经准备得非常充分，因为我到兰大去了，所以北大的课就变成曾谨言去讲，一直讲到他退休前几年，也是讲了很长的时间。因为两个人彼此都知根知底，比较信得过。后来他在北大嘛，条件比我好，他的书，他的教材很快就出了名，后来他跟我合作写了那个习题集。
堇 庐：钱先生，我看周世勋先生的那个书很薄。
钱伯初：那个也是历史的需要，因为文化大革命前，政治老冲击教学。到64年，中央下令农村搞就是所谓四清运动，就是为文化大革命做准备。农村开始搞四清，高等学校的师生，都要参与四清运动，我们都参与过四清运动，去整农村的干部，整农村的基层干部。为了这个，就是要少上课，要求所有的课都要出一本简明教程，学时要压缩，原来比如周学时4改成周学时3上完。周世勋的书就是在这个背景下写出来的，但写了以后没有出版，碰上了文化大革命，审稿会开过，我参加的。所以说，周世勋那本量子力学教程上面凡是跟他原来的讲法不同的地方全是我的主意。根据我的修改意见，他照单全收，改成现在这个样子。虽然这个书有些薄，跟他原来那本有些不同的地方，按照我的意见改过来的。周世勋后来到02年去世了，大概02年春节前去世。
堇 庐：听说现在周世勋的量子力学教程有出了一个新版，第二版，原来是黄皮的。
钱伯初：第二版和原来有什么改动没有？
堇 庐：基本上没怎么动，加了一章，第八章，量子力学的若干新进展，将原来的东西修订了下，是一位叫陈灏的老师修订的。
钱伯初：那怎么能叫第二版呢，这个不是蒙读者嘛！
堇 庐：周先生不是02年去世了吗？
钱伯初：不是。去世以后有两种态度，有两个学校有两个周老先生，南京大学有个周衍柏，南京大学物理学院的态度是南京大学这个书作为遗产继承，要修订，我们来。这个很简单，那个书不停地在出新版，南京大学物理系来修订。但周世勋那本书，复旦大学物理系明确表态，我们不参与修订。因为他们那边量子力学在苏汝铿手中弄成国家级精品课了。苏汝铿是北大物理系60年毕业生，课也是精品课了，苏汝铿的教材也在高教出版社出版了，所以他们明确表态，周先生这个书我们不管。言外之意，这个书水平不够，我们懒得去修订它，我们已经出了新的教材了，是这么一层缘由。那你看，那个课程是国家精品课，主持人苏汝铿还活着，还在讲课，他不参与这本书的修订。周先生自己也生前已经表示，我再不修订，因为他嫌烦，你怎么那么麻烦，老叫我修订，我认为这样已经可以了，你又要改，那么根据什么？为什么要改？所以后来有一次会，周先生就故意不到会，拍个代表来，宣布我这个书不再改了，你们不满意就重出一本算了。所以高教出版社后来就重出了一本统编教材，就是北大一个没有教学经验的人写的，叫张启仁，那个根本没有教学经验，那个搞了一套逻辑，谁也不拿他的讲，那本统编教材后来就失败了。当时，我的讲义也送上去了，供他们选，碰到一个意外的事情，高教出版社请了三个评委，看所有的稿子。事后，高教出版社我的一个同学告诉我，你那一本东西，有一个评委给你打了很低的分数，所以最后就没有选上。那个评委跟我本人应该没有仇，观点的问题，那个评委认为我那个东西跟周世勋的很相像，所以他就打了很低的分数，他要一本和周世勋那个差别很大的，不是要出新的统编教材嘛，你那个怎么跟他基本内容是一样的，那我说，没法不一样，全国有个教学大纲，所以后来就说不清楚了。再说周世勋这本量子力学教程修改的地方本来就是我的注意，所以更显得相同了，后来我的就没选上。最后就变成很奇怪的事情，讲量子力学课的人，只有曾谨言和我得了教学成果奖，曾谨言的书没有在高教出版社出，在科学出版社出的，我的书本来可以在高教出版社出的，由于这一层原因，该出的时候没出，到了21世纪，高教出版社又盯着我说把你的教材拿到高教出版社出吧，我就有气，我想当时给你投稿，选不上，现在出版算个什么名堂，那个东西出来什么名义也没有，肯定没有人去买的喽，所以我就不给他。高教出版社一个劲说，你把书赶快拿来，我们出，我就不给他，拖拖拖，一直拖到什么时候呢？拖到我那个课通过国家精品课了。我说我这个人，很多事情处理的顺序跟别人不一样的，我是倒过来的，我是先得了国家教学名师奖，然后把课弄成国家精品课，然后才出版教材。别人程序应该反过来，先出版教材，有教材为本再去争取什么奖，最后能得个什么教学成果奖，得不着嘛，得一个小一点的奖也行，然后有了教材，有了奖项，然后可以申报教学名师奖。我刚好都倒过来。所以我是一直到06年才给高教出版社出版，我当时想，我那个课已经是国家精品课了，当时国家精品课量子力学，全国一共才两家，这个分量比什么教材规划重得多了，要是封面上一写精品课用的教材，我想比教材规划重的多。而且高教出版社当时也想把我张罗来，把它弄到教材规划里，我那个书是出版，然后再列入教材规划，别的人是先得到一个写书的权力以后，先列入教材规划，然后把书写出来。我这又是倒过来，书已经出版了，高教出版社在会上宣布，糊里糊涂，大家讨论，通过，就列入教材规划。
堇 庐：钱先生，我想问问怎么读狄拉克的《量子力学原理》？看了主要问题是看不懂。
钱伯初：要体会。就是很多基本概念上面都有，但是他和现在的教材不一样，他里面的那个具体的问题比较少，除了谐振子，氢原子，角动量，其他的问题就很少，它不是来作为普通的教材的。它也算是一本教材，狄拉克拿这本书来阐明自己对于量子力学基本概念的观点，所以大家公认这本书是一本经典。那么我的导师杨立铭先生是英国的留学生，当然很推崇这本书，他当时就要求我精读，这本书你要精读，反复地看，而且他后边带过的研究生都要求精读这本书，因为这本书水平很高，把这本书读通了，量子力学基本上全懂了。精读呢，就是要反复地看，看一遍没体会，再看，终于看出体会来为止。另外，现在很多狄拉克的观点被别人强加解释写在教科书上了。关于平均值那个公式，现在很多教科书很早就写上去了，应该就是来源于狄拉克。狄拉克书上当然最精华的是他那一套狄拉克符号，因为那套狄拉克符号是他把几大块数学揉到一块，然后再加以发展，就是说线性代数，矩阵，复数，矢量，这么几大块数学，他揉成一块，然手用一套狄拉克符号表示，然后还有发展。表示一个矢量，既有左矢又有右矢，本来在数学概念里，矢量就相当于右矢，只是不提右矢的名称，反正两个矢量可以有个内积，数学上早就有这个规定。狄拉克就弄出一个左矢加一个右矢，然后算符夹在中间，它合乎逻辑，向右作用在右矢上，向左作用在左矢上，所以说狄拉克符号的算符可以向两头作用，这套要用熟了，当然比较好，我那本教材上通过狄拉克符号来推导公式，那是反正从最基本的地方写起的，就是把狄拉克符号最基本的运算规则，我把它一条一条弄出来了，那方面比较细。那些东西原来当然就有一套讲法，最后04年在南开讲课的时候又系统整理了一下，回来以后，就写在高教出版社出的书里。高教出版社是06年年初出版的，交稿是05年冬天，刚好在南开那边课讲完以后。另外呢，狄拉克符号，你看文献的时候，所有的文献都要用这些东西，作为量子力学，这是基本功，这一套是非弄清楚不可的。周世勋书上因为当时统编教材，要求嘛，狄拉克符号不要那么高了吧，他很多内容都给你打了个星号，而且他那个初稿上这一章就没有的，表象理论就不要了，后来改革开放以后，重新出版他那个简明教程，那么出版社方面就提出来，你这个书出来全国都要用的，表象理论这块还是要加上，所以他就临时充充忙忙，他把表象理论添上去，所以最后那一章，表象那一章，是他书上写得最差的一章，基本上没有具有内容。狄拉克符号也没讲清楚，也没具体问题，除了谐振子讲了讲，别的问题统统没有。周世勋先生是老先生了，比我们早20年，他是30年代上学，国内的国立中央大学，还是北洋大学还是中央大学，反正是30年代大学生，比我们早，年纪也差不多大20多岁。
堇 庐：钱先生，您上学时，数理方法是哪位老先生讲课？
钱伯初：一开始由数学系的先生来讲，净讲存在性定理，收敛性，后来物理系不满意，商量也商量不通，你物理系说的意见，数学系的人就听不进去，我讲的都是重要的存在性定理，难道不重要？物理系说你这个方程从物理问题抽象出来的，解存在性就不用再证明了吧，所以商量不通。来物理系也不耐烦了，我们这里有一个王竹溪先生，他就讲一遍不就定了，人家的数学那么好，王先生工作的时候，书桌上没有积分表，所有的积分，当场算，数学就好到这程度，所以由他来讲一遍，权威性的，当然也跟王先生交代了，你很多方面考虑得仔细一点，可能你这一遍讲下来，就这么讲了。我的印象里，王竹溪先生讲完那一遍，那个课大体上在北大就那么定下来了，后来有机会全国制定教学大纲，教学大纲也就是这些东西。所以这个就是说，我教课的时间长，就是从王竹溪传到我手里，居然一下子五十多年过去了，我还在讲这个可，那么北大就已经换了几批人了，在有的学校，在有的学校，可能五到十年就换一个人去讲，那五十年就要传好几代了，从王竹溪到我就没有换过任何人，我一直在讲这个课。奇怪的是，有些五十年前的讲法，现在拿出来，和教科书一比，这种讲法不比教科书上的好嘛，怎么教科书上反而不用这个讲法，弄不清楚。
堇 庐：数理方法现在还有很多学校在用川大这个书。
钱伯初：川大那个声称是为物理专业写的，但是有一个问题没法回避，它里边有对工农兵学院讲课的痕迹。因为那个书是79年就出来了，78年开了个会，川大前面是高等数学，那个第四册是就到数理方程，又把他算成一个体系，跟高等数学是连着的，我当时看过那个书，高等数学出来的时候，里边有很明显的给工农兵学员讲课的痕迹，因为我也给工农兵学员讲过课，当时我讲高等数学讲得很出名了，因为那个学生来的时候，有的连分数、正负数都不懂，我们三个月要把中学书补完，然后开始讲微积分。所以，你不能过多地强调我给工农兵学员讲的时候是怎么讲的，大学重新招生，那些都是有扎实的中学基础的，不是工农兵学员，应该强调那个东西，川大这个痕迹没有抹掉，别的也没有什么，但是他那个第四册好像从来没有看过，所以没法评价到底怎么样。
堇 庐：现在数理方法比较好的教材有哪些？原来郭敦仁先生有一个数理方法？
钱伯初：两个嘛。一个梁昆淼，一个郭敦仁。南边是梁昆淼，梁昆淼那本是第一本统编教材。61年吧，62年出来的。郭敦仁后来怎么也会变成统编教材，可能高教出版社还是感觉多出几本，郭敦仁的那个好像也算统编教材，是第二本统编教材。从那以后就没有统编教材了。到82年以后，统编教材这个概念是被教材编委会慢慢否定了，不是淡化，是否定了。从物理方面来说，教材编委会主任高崇寿是猛烈攻击统编教材，举的典型例子就是周世勋的量子力学，水平又低，写得又不好，所以结果这个作为例子，以后就不搞统编教材，高教社支支吾吾，拖了很久，高教社一直不肯放弃统编教材的概念，终于，最后还是放弃了。
这里是北门，我七几年，我经常从这里进出。
堇 庐：您你会也在这教课？
钱伯初：没有教课，反正我经常到西安来，交大找过我的同学朋友，教课是今年才来，上学期才教第一次，等于现在力学讲第二遍了，数理方法嘛，第一遍。那会只知道交大校门就在这，另外通逸村的那个校门当然进出过好多次，那时候没有那个彩虹桥，我那些同学朋友，都在逸村那里住，他们就是迁校的时候从上海迁过来的，元老级的人物。当时我也考取了上海较大的，没去上，去了清华了，两个大学差十天。上了，也不会成为交大的，成为复旦的学生，52年就调到复旦去了。复旦在上海从他的学术水平来说，本来是一个不入流的学校，和北大是不能相提并论的。复旦是根本不入流，为什么选这个复旦把他扶起来呢？因为共产党的地下活动是以复旦为大本营，找一个不入流的学校，我把总部安到这，不容易被国明党发现，有这么一层原因，解放后，硬把复旦拔起来，拔成一个第一流的学校，然后把交大、把浙大的理学院全给他，复旦接受了这么两个学校的理学院。北大嘛，只得到了清华的理学院，那么他就够强的。
你们现在来听这个课有什么具体的目的吗？
堇 庐：我们就是要好好学一下这个数理方法，当时学的时候感觉没学明白，不扎实。
钱伯初：要弄明白，必须自己在纸上把这个公式倒腾，倒过来倒过去，我要另找一个方法，把那个公式重新推导出来，我今天上午就找出来，我最后算那个Pl（x）的平方，用这个递推公式不更简单嘛！怎么以前没想到呢？那就是找到了一个方法了。
堇 庐：数理方法没学好，到后面，电动力学就很麻烦。
钱伯初：电动力学，一个问题，然后用傅立叶变换，再一积分，数学里面早就算好了，就这个结果，如果你那块数学是知道的，那当然一看就很清楚，如果那个数学不知道，哦，这个结果从数学上怎么解出来呢？这是个大问题。就象我刚才讲生成函数那个点电荷摆在离开原点的距离上，那么这些个物理概念在电动力学都会细讲。偏离原点的点电荷，不就有了电偶极距了嘛。成距离嘛，从原点算起的距离，就有电偶极距，也有四极距，比如说那个电荷乘以z方，他就有了嘛，所以说这样一个点电荷，可以等价于点电荷加电偶极距加，什么电多极距都有。
堇 庐：钱先生，原来学数理方法的时候，厄米多项式也没讲。
钱伯初：是不讲。数学物理方法课是不讲厄米多项式，教材上有，讲课不讲，因为那个反正就是说从概念上，那个厄米多项式和勒让德多项式都是一种所谓正交多项式，地位应该是平等的。但是勒让德多项式用得就比较多，能够出现的问题多，你用球坐标去分离变量，一解，θ部分出来的就是它。而那个厄米多项式，物理问题量子力学只有谐振子，除此之外，我们不知道什么物理问题出现厄米多项式，这个非常奇怪。在量子力学之前，数学上已经把这个多项式研究透了，就不知道他在什么地方用，先研究了再说，从它数学系统去研究，就是我找了一个x的多项式，0 次方，1次方，要求和前边的都正交，而他那个正交又是带了一个权函数，正交，不是两个函数直接正交，两个函数乘起来，再乘一个e的（-x）平方，这样的正交性，所以数学上是种非常古怪的，他那个自成体系，就研究了，有没有什么用，数学家不管，我研究好了。后来一直出现量子力学，反正在量子力学里边谐振子问题就用上了，全套，一个不落，全都用上了。所以那个多项式，数学名词和物理学名词是不一样的，外文都是同一个词Hermit，数学按照那个音节翻译，就是埃尔米特，而物理，嫌这个字太多，就叫厄米，和数学名词不一样。
好，我一过桥就到了，就不用过去了，已经陪我走了很多路了。
堇 庐：钱先生，再见。
钱伯初：再见。
（根据录音整理，未经钱伯初先生审阅。）
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