函数概念的发展经过了很长的历史，最早给出较严格定义的是欧拉，他指出：“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”这个定义清楚阐明了两个量之间存在着因果关系。后来，柯西给出了迄今为止仍在沿用的定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“ｘ的函数是这样的一个数，它对于每一个ｘ都有确定的值并且随着ｘ一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”狄里克雷认为怎样去建立ｘ与ｙ之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于ｘ的每一个值，ｙ总有一个完全确定的值与之对应，则ｙ是ｘ的函数。”从欧拉的定义到狄利克雷的定义经过了八十多年的时间。
似乎有一种普遍认识：“两个量之间的对应法则是函数的本质属性。”集合论产生之后，函数更是看成了两个特殊集合之间的对应关系。随着现代数学的发展，函数的概念固然不仅仅限于数集与数集之间的对应关系，了解一点泛函分析的人不难清楚这一点。但有一点应该是显而易见的，函数真正的科学意义在于探索两个不同量之间存在的因果关系，这才是函数的本质属性。那么，集合与数集之间的对应关系是不是都可以看成函数呢？这涉及是否承认函数是因果关系的问题。经典函数的价值体现在哪里？它首先将两个变化着的量（未必是数量）数量化，即实际问题数学化，然后寻找这两个数量之间的内在关系或者叫因果关系，所以说因果关系是函数的本质属性。对应关系一定是因果关系吗？假如是，那么实际问题的量化过程算不算因果关系？我认为不是，实际问题的量化过程仅仅是同一问题的不同表述方式而非真正意义上的因果关系。当然，也许有人认为实际问题的量化本身就与该问题的状态有关，不同的状态对应不同的数量，从这个意义上说，他们之间自然有因果关系。但是这已经超越了函数本身的意义。例如，笛卡尔坐标的意义在于将空间内的点与数组相对应，直线上的点对应到实数，平面内的点对应到二元数组，三维空间内的点对应到三元数组，这样可以使得几何代数化，从而产生了解析几何。那么直线上的点与数之间的对应可以与函数类比吗？如果从集合之间对应法则的角度看，自然可以做类比，但如果从函数的内涵看，它与函数说的不是一回事。经典的函数是指将几何代数化之后空间内图形所对应坐标之间的依赖关系，即将图形的内在属性通过函数关系表示出来。换句话说，点对应到数或数组是从几何到代数化的过程，函数则是反应了不同量之间代数化后的因果关系，从这个意义上说，前者是架设几何与代数之间的桥梁，后者则是以代数方法寻找规律，两者完全不是一回事。
再来看概率，大家普遍将概率分布称为分布函数，之所以称它为分布函数正是基于集合之间映射的角度，分布正是随机变量到区间[0,1]之间的映射。在我看来，概率分布仅仅是将随机事件发生的可能性数量化，正如坐标系将几何代数化，这只是个量化过程，而非真正意义上的因果关系。不同随机变量之间的内在关系才是真正的因果关系，例如，儿子是否生病是个随机事件，母亲是否伤心也是个随机事件，这两个随机事件之间存在一定的因果关系，这种关系类似函数关系，可以与函数类比。把概率分布称之为分布函数没什么不可以，正如泛函分析中将空间到数域的映射称为泛函一样（它本来就相当于有限维空间内的坐标），但与经典的函数做类比似乎值得商榷，特别是对函数与概率都不那么熟悉的中学生而言很容易产生误导。
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