看见一道数学竞赛题:一只青蛙要从正八边形的一个顶点跳到对径点。如果跳到其他点,它就向两邻点跳,跳到对径点才停。它经过N步到达对点的路线总数计算里会意外出现根号2。如果想到兔子序列(Fibonacci数列)能生成根号5和黄金比,从布封针得到pi,这就不意外了。那么,无理数似乎都可以通过一定的无限步骤的物理过程来实现——这更好“解释了”无理数的无限和随机。
反过来看,无理数也偷偷影响着动力学系统的性质。典型的例子是环面上周期流。如果两个流的周期之比是有理数,那么经过有限周以后,流会回到原点;如果周期比为无理数,轨道在环面上是稠密的,相空间环面对应的系统(如三体问题)就可能混沌了。
如果问,同样是无理数,超越数与非超越数对动力系统或生成它们的什么什么现象,会不会有影响呢?
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