开启数学艺术之旅（四）

编者注：上一篇《开启数学艺术之旅（三）》我们又从2.几何曲线风情万种、3.数理逻辑妙趣横生做了戏说，下面我们接着聊数学艺术那些事。

4．混沌随机精妙绝伦

上个世纪70年代，美国气象学家洛伦兹（Lorenz，Edward Norton，1917~2008）在解释空气系统理论时说，亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动，也许两周后就会引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。即，论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做“蝴蝶效应”。

有意思的是，这个发现本身就源于一次偶然。1963年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时，他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。这一天，洛伦兹想更进一步了解某段纪录的后续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的后续结果。令他惊讶的是，结果和原数据两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是两笔完全不同数据。而问题仅仅是他输入的数据差了0.000127。

下面我们利用EXCEL来模拟一下这个美妙的过程。

我们来计算函数值f(x)=x²-2，将得到的结果再迭代计算。比如初始值设为0.5，于是就会得到如下左表格数据。如果正负号代表晴天和雨天的话，那根据这个数据表就一目了然了。接着，调皮的你做了个小小的手脚，如下右表格将初始值0.5改成0.50001，我们惊奇的发现，在迭代计算19次后，数据已经面目全非，晴雨天气截然相反了。

最后，我们还可以试试，在上左表格中复制第10个数据0.846107103，然后粘贴到另外一列中，你一定会觉得复制粘贴的过程不会有任何变化，但事实还是令人目瞪口呆了。如下表格，在迭代计算48次后数据有呈现相反混沌变化了。不，计算机没问题，你能发现问题所在吗？

真正是“差之毫厘谬以千里”！似乎确定性就此终结了。

但问题往往不是绝对的。1777年的一天，法国数学家、自然科学家蒲丰(Comte de Buffon，1707~1788)邀请宾朋们来家做客，并参加他的一项游戏实验。他事先在取一张白纸，如图，在上面画上许多条间距为a的平行线。接着他又拿出很多等长的小针，小针的长度都是平行线的一半。然后，蒲丰说：“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧！”朋友们就按他说的做了。这时，在纸面上，针要么与平行线相交，要么不相交。

蒲丰开始统计结果：大家共掷3408次，其中小针与纸上平行线相交1808次，3408÷1808≈3.1415929。最后他宣告：“这就是π的近似值。每次都会得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确。”即，π的近似值=投针总次数∶相交次数。这就是著名的“蒲丰试验”。

是不是不可思议？投针随机混沌一片，却意外地产生一个与π相关的近似值。说明一下，上面这个数据是1901年意大利Lazzerini耐心投掷出来的结果。而有关这个公式的证明，有兴趣的同学可以参看数学侠客顾森著的《思考的乐趣》一书中的相关内容。     

5.无穷悖论荒谬神奇

无限的问题在数学史上往往常常被转化为有限问题来解决。最经典的莫过于圆面积的求法了。从开普勒的割圆术到刘徽利用正多边形逼近法，都试图从有限的方式来解决无限问题，直到微积分从出现。

但下面这个问题没有那么简单。请问：是正整数集合 {1, 2, 3, 4,??}中的元素多呢？还是它的平方数集合{1, 4, 9, 16, ??}中的元素多呢？这是比较两个集合的大小问题。这可是高中数学一开始我们就接触的一个比较简单的概念“集合”。

这不是显然的吗？事实上，这可是物理学家伽利略在他的最后一本科学著作《两种新科学》（Two New Science）中提到的一个问题。这可不是中学所学的集合知识能解决的了，因为它是无限集合。伽利略比较早使用了另一个重要的思想——一一对应来解决。可惜他没有沿着这个思路更进一步思考下去。最后他得出的结论就是，无限集是无法比较大小的。最后由德国数学家康托尔（Cantor，1845~1918）创立里集合论才真正解决了这个问题。在集合论中产生了一些不合直观常理的结论，比如：无限集合也有“大小”；部分可以等于全体等。

若是利用一一对应来看上面提到的问题中，则会发现任意一个正整数n，都有一个它的平方数n²与之对应。但显然，平方数集合{1, 4, 9, 16, ??}又是正整数集合{1, 2,3, 4, ??}的一个子集。这就是说，部分可以和全体一样多。

又比如：图中的两条线段，哪条线段上的点多呢？同样地，如图29右边图，建立一一对应关系，我们会发现两条线段上的点也是一样多。甚至，还可以建立一一对应关系，以说明“直线上的点与平面上的点一样多”。不妨试试！  

因此，“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立。若简单使用了，有时结论还会很诡异。比如问：这个式子“1 ? 1 + 1 ? 1 +……”结果是多少？你可能认为是0。因为从第一个开始，加1，减1，不就抵消了吗？你也可能得出结论为1。因为留下第一个1后，第二个开始，减1，加1，正好抵消，不就是1了吗？那就折中取。怎么可以这样取？对，不可能，但能证明。假设所求结果为S，于是有两个式子相加，得到2S=1，所以S=0.5。是不是很神奇？其实，这是有名的格兰迪级数(Grandi's series)，早在1703年由意大利数学家格兰迪提出的，当时可是造成了很大的争论，包括大数学家欧拉也给出过的结论。由此，还演绎出了一个更有趣的结果：所有的自然数之和为负数。这，怎么可能？那就让我们来看下面这个有趣的视频，它将讲述这件神奇的数学趣事。

总之，数学之美，美在那合乎人心的对称与和谐，美在那探寻其过程的跌宕起伏，美在那一刻的茅塞顿开，美在各维度的一题多解，美在概括式的多题一解，美在那小题大做，美在那大题妙解，还美在那有着永远也解不完的无穷谜团！

（未完待续）

另，还可点击阅读原文参见前文《开启数学艺术之旅》之（三）

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