数学和物理及力学：以圆柱面上摩擦滑动为例

《辞海》2000版缩印本 570页的条目：“力学  物理学的一个部门。研究宏观物体机械运动规律及其应用的学科”；而2010年版彩图本1352页 则删除红色文字，在“学科”前添加“一门”二字。这样的解释似不够准确。笔者给出如下定义和解释  http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-747329.html：

力学以物理为基础、以数学为工具，研究物体的受力与运动、变形和破坏之间的关系，以及电、光和热等因素对该关系的影响。力学具有科学和技术的双重特征，是独立于数学和物理的一级学科，已成为天文、地质、机械、建筑、水利等众多学科的基础。

0  因写作文[1]，时隔10年再次阅读加州理工学院教材《力学世界》[2]，觉得孔子所说“温故而知新”真是至理：学习新知识遇到困难时需温习已学知识，并可获得新的领悟。

书中习题“儿童坐在半圆形冰墩顶部，受到轻推而滑下；假设没有摩擦，求其脱离冰墩的位置”固然容易。不过，摩擦总是存在的，而圆柱面上物体所受摩擦力与下滑速度和位置相关，具有显著的非线性特征，或许可作为例题在课堂讲解。

1  不考虑尺度的物体质量m，在半径R 的圆柱面上滑动，顶点处水平速度U；记摩擦因数μ=tanφ。若U ²  ≥ U₀² = gR，则物体从顶点平抛而出；否则受切向摩擦力 f = μN 而下滑，法向支承力N 和切向速度V 满足

公式(1)和(2) 是物理原理，公式(3)~(5) 是数学求解；而实际问题还需要在数学公式的基础上给出具体的力学分析。

2  给定摩擦因数时可计算不同初速U 的物体下滑的速度，部分初速注在曲线旁，其余可从纵轴读出。右侧红色粗线，即V²/gR = cosθ 表示N = 0 物体滑脱时速度。相关数值均以速度平方值给出，且以从顶点平抛而出的速度U₀²=gR无量纲化。

图2  不同初速的物体在圆柱面下滑速度

下滑初期滑面倾角较小而重力势能下降缓慢，且重力的法向分力引起较大摩擦力，物体动能减小；后期重力势能减少超过摩擦力做功则速度增加。若初速偏低，物体可停止在圆柱面上；若物体能到达倾角θ = φ处，则微小扰动后下滑力可大于摩擦力，则会下滑而最终脱离圆柱面。图2用黑色粗线给出临界状态。显然，摩擦因数越小，速度下降范围越小。

初速U 较大时，因离心作用使正压力减小进而摩擦力减小，θ 小于摩擦角φ 时速度V就开始增大，滑脱点θ_H可以小于φ。显然，速度和离心作用存在正相关，后者引起摩擦力减小而更快加速，因而式(4)的速度V 与位置θ 存在指数关系。

角度θ 从0增加到摩擦角φ，因式(5) 积分项为正，F将 从0单调增加而达到最大值

G(φ) 将系统的控制参数即摩擦角和初速分割为两个区域：上方滑脱，下方停止。

图3  停止及滑脱位置与初速和摩擦角的关系

只要初速满足U² ≤U_c²=gRG(φ)，θ从0增加到摩擦角φ过程中，式(4)定出现零值,即物体在圆柱面上停止，等号成立时停止位置达到最低θ_T= φ；反之，若U² ＞U_c²，则式(4) 速度永远不会达到零，而随着θ增加重力的法向分力减小终会达到 N =0，即物体从圆柱面滑脱。

φ =0o只能在θ_T=0o不稳定停止，而θ_T较大时参数范围缩小。要使物体停留在θ_T大于30o的位置而不滑下，需仔细选择摩擦角和初始速度。φ=0o而初速为零时，滑脱角θ_H最大可以达到arccos(2/3)=48.2o，即受微小扰动之后下滑高度 R/3后脱离圆柱面；更大的滑脱角则需要摩擦作用。

G(φ)随φ单调增加至1，即不管摩擦因数多高，物体以低于平抛速度U₀的初速U_c可克服摩擦而达到停止位置θ_T=φ；若有微小扰动则下滑脱离圆柱面。更大初速将引起滑脱角θ_H减小。

在摩擦较大如摩擦角60o 时，初速在临界速度U_c附近的微小变化将引起运动状态的极大改变，或者说运动具有不稳定性。图4是给定摩擦角下停止和滑脱位置随初速的变化特征，存在突变点。摩擦角为零时不存在稳定的停止状态。

图4  不同摩擦角下物体停止和滑脱位置随初速的变化

摩擦角φ=75o 时初速在临界值附近的停止和滑脱位置在右侧单独放大给出。为使计算值θ_T = 75.0o和θ_H = 83.2o 精确到 0.1o，参数U_c²/gR =0.9471097，即需要有7位有效数字；当然，角度换化为弧度时所用圆周率也需要有相应的精度。如文[1]所讨论，处理试验结果时需依照数据的有效位数来考虑圆周率、重力加速度以及水密度等常数取值的精度。

U²/gR从临界值减小到0.945(精确值) 即减小0.00211，停止角从75.0o减小到41.2o；而U²/gR达到0.950(精确值) 即从临界值增大0.00289，滑脱角从83.2o 剧减到34.8o。控制变量的变化总计只有0.5%，而系统状态完全不同。

图4摩擦角的影响趋势表明，φ接近90 o时系统状态出现奇性：U²/gR接近1时物体可停留在不同位置，也可从不同位置滑脱，即图3右上角；而其达到1 则物体从顶部平抛而出。

3 力学以物理为基础，以数学为工具，研究物体的受力与运动、变形和破坏之间的关系。就物体在圆柱面上运动而言，牛顿第二定律和库仑摩擦定律是物理基础，微分方程是数学工具，而基于速度公式(4)所演绎的图2~4及相关分析构成了力学内容。

物体在圆柱面上摩擦滑动属于非线性系统：停止或滑脱位置是状态参数；摩擦因数和初速是控制参数，其连续变化可引起状态突变。简单确定的速度公式(4)蕴涵有参数的复杂关系，而参数实际取值误差可能使系统状态不再可以准确预测。此外，图4的曲线似乎表明，在特别困难的局面而坚持到临界状态，些微努力就能取得巨大效用。

1   尤明庆. 间接测量质量试验的可靠性及数据精度. 力学与实践，2017, 39(2): 205-207, 195

http://lxsj.cstam.org.cn/CN/abstract/abstract146387.shtml

2   Olenick RP,  Apostol TM, Goodstein DL. 力学世界. 李椿，陶如玉译. 北京大学出版社, 2002. 

以上内容摘自拙稿  圆柱面上滑动和滚动的分析. 力学与实践, 2017, 39(3): 290-296

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