一、选择题
1 、△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 6个
【正确答案】D
【题目解析】
考点：等腰三角形的判定．
分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180°、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
解答：
解：AB=AC，∠ABC=36°，
∴∠BAC=108，
∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°．
∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个．
故选D．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
2、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且QC=AP=AQ=BP=PQ，则∠BAC为（）
A. 125°
B. 130°
C. 90°
D. 120°
【正确答案】D
【题目解析】
考点：等腰三角形的性质．
分析：先根据BP=QC=PQ=AP=AQ求证△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，再根据三角形外角的性质求出∠QAC和∠BAP的度数即可．
解答：解：∵BP=QC=PQ=AP=AQ，
∴△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，
在△ABP和△CAQ中，，
∴△ABP≌△ACQ，
同理：∠BAP=30°，
∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°．
故选D．
点评：此题考查的是等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，解答此题的关键是判定出△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，然后利用三角形外角的性质即可求解．
3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE，若∠BAD=18°，∠EDC=12°，则∠ADE=（ ）
A. 56°
B. 58°
C. 60°
D. 62°
【正确答案】A
【题目解析】
考点：等腰三角形的性质．
分析：设∠ADE=x°，则∠B+18°=x°+12°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性质可表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形内角和可求得x．
解答：解：设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，
∴∠B+18°=x°+12°，
∴∠B=x°﹣6°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°﹣6°，
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°﹣6°+12°=x°+6°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=x°+6°，
在△ADE中，由三角形内角和定理可得
x+x+6+x+6=180，
解得x=56，即∠ADE=56°，
故选A．
点评：本题主要考查等腰三角形的性质及外角的性质，用∠ADE表示出∠DAE和∠DEA是解题的关键．
4 、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A. 20
B. 12
C. 14
D. 13
【正确答案】C
【题目解析】
考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=½AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解答：解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=½BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=½AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选C．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5、上午8时，一条船从海岛A出发，以15n mile/h（海里/时，1n mile=1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得NAC=42°，NBC=84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A. 45n mile
B. 30n mile
C. 20n mile
D. 15n mile
【正确答案】B
【题目解析】
考点：等腰三角形的判定与性质；方向角．
专题：应用题
分析：根据三角形外角的性质，求证∠C=∠NAC，然后即可证明BC=AB，从而求得B到C的距离．
解答：解：∵∠NBC=84°，∠NAC=42°，
∴∠C=84°﹣42°=42°．
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB，
∵上午8时，一条船从海岛A出发，以150n mile/h的速度向正北航行．10时到达海岛B处，
∴BC=AB=15×2=30n mile．
故选B．
点评：此题考查了等腰三角形的判定和性质，灵活运用等腰三角形性质是解题的关键．
6 、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则下列结论正确的是（ ）
A. 2α+∠A=180°
B. α+∠A=90°
C. 2α+∠A=90°
D. α+∠A=180°
【正确答案】A
【题目解析】
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专题：压轴题．
分析：由AB=AC，根据等边对等角，即可得∠B=∠C，又由BF=CD，BD=CE，可证得△BDF≌△CED（SAS），根据全等三角形的性质，即可求得∠B=∠C=α，根据三角形的内角和定理，即可求得答案．
解答：解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BF=CD，BD=CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠EDC，
∵α+∠BDF+∠EDC=180°，
∴α+∠BDF+∠BFD=180°，
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴∠B=α，
∴∠C=∠B=α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2α+∠A=180°．
故选：A．
点评：此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
7 、下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；
④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．
其中，所有正确说法的序号是（ ）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③
D. ②④
【正确答案】C
【题目解析】
考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析：根据角平分线的性质判断①；
根据等腰三角形三线合一的性质判断②；
根据线段垂直平分线的性质判断③；
根据等腰三角形的性质、三角形三边关系及周长的定义判断④．
解答：
解：①角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确；
②等腰三角形底边上的高、中线与顶角的角平分线互相重合，说法错误；
③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，说法正确；
④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是40．
故选C．
点评：本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，熟记性质与定理是解题的关键．
8 、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE=BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF=CF．
其中正确的有（ ）
A. ①②③
B. ①②③④
C. ①②
D. ①
【正确答案】A
【题目解析】
考点：等腰三角形的判定；角平分线的性质．
分析：由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
解答：
解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．
故选A．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
9 、如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A. 2.5秒
B. 3秒
C. 3.5秒
D. 4秒
【正确答案】D
【题目解析】
考点：等腰三角形的性质．
专题：压轴题；动点型．
分析：设运动的时间为x，则AP=20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20﹣3x=2x，解得x即可．
解答：
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
AP=20﹣3x，AQ=2x
即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故选D．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
二、简答题 (1题)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°．点E为BD延长线上一点，且AE=AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC．
【正确答案】
解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB= =75°，
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°，
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直线垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=½∠BAC=15°，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；
（2）连接AM，
∵∠ADE=60°，DM=AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB=∠AME=120°
∵AE=AB，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD=ME，
∵BD=CD，
∴CD=ME．
【题目解析】
【分析】
（1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；
（2）连接AM，易证△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根据BD=CD即可求得ME=CD．
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