平方数的一个奇妙特性

这里给网友介绍平方数的一个鲜为人知的特性。

我们知道，平方数列是：

　　1，4，9，16，25，36，49，64，81，…

例1　任意取4个平方数4、9、36、81。

(1)把4和36加起来，9和81加起来：4＋36＝40，9＋81＝90

再把两个和相乘：40×90＝3600

没想到结果竟然会是一个平方数。

(2)换一种组合方式，把4和9加起来，36和81加起来：4＋9＝13，36＋81＝117

再把两个和相乘：13×117＝1521

一查平方数表，1521＝392，还是个平方数。

(3)再换一种组合方式，把4和81加起来，9和36加起来：4＋81＝85，9＋36＝45

再把两个和相乘，85×45＝3825

仔细一看，3825＝3600＋225＝602＋152，原来是两个平方数的和。

经过对4个平方数一番全面的“考核”，不由得产生一个猜想：

只要A、B两个数，都是两个平方数的和，A×B的积，就仍然是一个平方数，或者是两个平方数的和。

这是真的吗？再换4个平方数试试。

例2　取4个平方数16、25、49、64，把16和25加起来，49和64加起来：16＋25＝41，49＋64＝113

再把两个和相乘：41×113＝4633

看不出4633是不是平方数，一查平方数表发现：如果把4633拆成4489与144，就会得到：4633＝4489＋144＝672＋122，果然还是两个平方数的和。

看来是真的。

再换4个较大的平方数试试：

例3　根据122＝144，252＝1225，482＝2304，972＝9409，取144、1225、2304、9409。把12和25加起来，49和64加起来：144＋1225＝1369，2304＋9409＝11713。

再把两个和相乘：1369×11713＝16035097

得数太大，查表是行不通了，不过，还是有办法的。什么办法？暂时保密。

　　16035097＝7946761＋8088336＝28192＋28442。

还是两个平方数的和！

神了，秘密在哪儿呢？

原来，这就是平方数的一个奇妙特性：

如果A、B都是两个平方数的和，那么，A×B的积，就是一个平方数，或者是两个平方数的和。

下面就来证明平方数的这个奇妙性质：

设，A、B都是两个平方数的和：A＝a2＋b2，B＝c2＋d2

把A、B分别分解成两个复数的积：

　　A＝a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)　　(i是虚数单位，等于根号负1。)

　　B＝c2＋d2＝(c＋di)(c－di)

于是，

　　A×B＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝(a＋bi)(a－bi)(c＋di)(c－di)

右端的4个因式有两种组合方式：

一种是：

　　A×B＝[(a＋bi)(c＋di)][(a－bi)(c－di)]

　　　　＝[ac＋adi＋bci＋bdi2][ac－adi－bci＋bdi2]

　　　　＝[ac＋(ad＋bc)i－bd][ac－(ad＋bc)i－bd]

　　　　＝[(ac－bd)＋(ad＋bc)i][(ac－bd)－(ad＋bc)i]

　　　　＝(ac－bd)2－(ad＋bc)2i2

    　　＝(ac－bd)2＋(ad＋bc)2

即，

　　A×B＝(ac－bd)2＋(ad＋bc)2

这就是说，A×B的积，等于两个平方数(ac－bd)2与(ad＋bc)2的和；当ac－bd＝0时，等于平方数(ad＋bc)2。

另一种是：

　　A×B＝[(a＋bi)(c－di)][(a－bi)(c＋di)]

　　　　＝[ac－adi＋bci－bdi2][ac＋adi－bci－bdi2]

　　　　＝[ac－(ad－bc)i＋bd][ac＋(ad－bc)i＋bd]

　　　　＝[(ac＋bd)－(ad－bc)i][(ac＋bd)＋(ad－bc)i]

　　　　＝(ac＋bd)2－(ad－bc)2i2

    　　＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2

即，

　　A×B＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2

这就是说，A×B的积，等于两个平方数(ac＋bd)2与(ad－bc)2的和；当ac－bc＝0时，等于平方数(ac＋bd)2。

现在可以解密了，看看例3的结果是怎样得来的。

例3　A＝144＋1225＝1369，B＝2304＋9409＝11713，a＝12，b＝35，c＝48，d＝97。A×B＝1369×11713＝16035097。

按照第一种方法：

　　A×B＝(ac－bd)2＋(ad＋bc)2

　　　　＝(12×48－35×97)2＋(12×97＋35×48)2

　　　　　　　　＝(576－3395)2＋(1164＋1680)2

　　　　＝28192＋28442　　(就是原来的解)

按照第二种方法：

　　A×B＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2

　　　　＝(12×48＋35×97)2＋(12×97－35×48)2

　　　　＝(576＋3395)2＋(1164－1680)2

　　　　＝39712＋5162。　　(又得到一个解)

其实，按照上面的方法，例1和例2，也都还有不同的解，有兴趣的网友，不妨试试看，感受一下其中的乐趣！