微分与导数

在数学中，微分是对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。比如，x的变化量△x趋于0时，则记作微元dx。让我们通过例子来分析：

f(x) = x² + x

平均变化率：

对于数据点4和6之间的间隔计算:

如何计算数据点4.5单个数值的变化率？

从图中可以看出，我们创建了一条tan切线，该切线连接了点4.5和非常靠近4.5的点5.000000001，这个是不是类似刚才讨论的极限？那就让我们把极限运用到这个场景吧。

计算斜率的方程式：

两点之间最短距离斜率：

因此，导数可以表示成：

或者：

举例说明，f(x) = x² + x，获取f'(2)的值。

让我们代入导数方程式：

现在用这个斜率画一个tan切线来核对是否正确。

通过求导过程，以上函数的通用导数函数表达：

这样任意一点的斜率就很容易计算了。

最后总结一下可导性，我们说一个函数在某一点可导，必须同时满足以下三个条件：

函数必须在该点连续
在该点的tan切线不能垂直
经过改点的线必须是平稳的

函数属性

我们能够使用导数来决定函数的一些有趣的属性。

函数方向

k(x) = −10x² + 100x + 3k

假定该函数表达了如下的场景：

守门员大脚开球，足球在足球场上的运行轨道可以表示成抛物线。

导数函数：

该函数和其导数函数的表达如下：

从图中可以看出，函数的斜率随着x值的增加逐渐减少，当紫线穿过y轴0时，函数值达到最大。这个其实可以得出结论，函数抛物线开口向下计算函数最大值。

另一个例子，w(x) = x² + 2x + 7

从图中可以看出，函数的斜率随着x值的增加逐渐增加，当紫线穿过y轴0时，函数值达到最小。这个其实可以得出结论，函数抛物线开口向上计算函数最小值。

二阶导数

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y‘=f’(x)仍然是x的函数，则y’=f‘(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

例如：k(x) = −10x² + 100x + 3k

导数：

二阶导数：

从该二阶导数值可以判断出，当x取0时，函数取最大值。

多元函数和偏导数

目前为止我们看到的都是计算单个变量的导数，那如果有多个变量呢？比如：

现在来计算x的偏导数：

y的偏导数也一样：

梯度计算

偏导数有何用？我们知道，曲线的最大最小值可以用导数计算得出，同样，多维表面的最大最小值可以通过梯度来计算，以上述函数举例，梯度表达式如下：

梯度是一个函数在x和y方向上变化的二维向量。通过图形表达：

尖头的方向指示梯度方向
尖头宽度和梯度值成正比，随着函数接近0，尖头宽度和梯度减少
梯度方向总是和轮廓垂直

如何寻找最小值？

随机寻找开始点
计算梯度
梯度方向上走一步
决定梯度是否接近0，如果是，则停止
重复步骤2，3，4

该算法就是著名的梯度下降算法。

积分

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

比如：f(x) = x

有关x的积分方程式如下：

当x取值0和2时，积分计算如下：

通过图形表示如下：

使用python的scipy.integrate.quad函数看看是否相同：

2.0

Bingo!!!

本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。