重庆市巴蜀中学高2022届9月月考第20题：非对称韦达定理

蝶形图形多半都涉及到“非对称韦达定理”，这是最近常考的模式。

对称问题当然不在话下，非对称问题亦非痛点。只要掌握其中的套路，问题便可势如破竹、迎刃而解。“非对称韦达定理”，我介绍得不算多，但也不会少。并非我喜欢老生常谈，只要继续考，我就不能回避。未来亦是如此。

巴蜀中学高2022届高三的第一次月考就是这个，本该早点奉上，不好意思，竟然忘了。不过现在推出也不算太晚，目前恰是复习“圆锥曲线”的节点，正当其时。

非对称韦达定理，利用“和积关系”可以，“代一半”也行，当然都不如“构造对称”来得痛快。法1就是利用和积关系，法2则是构造对称，剩下的就交给你自行探索。

圆锥曲线解题的核心是什么，我不知道。但很难说“韦达定理”不是起到关键作用，毕竟最终的目标或结论都将转化到这里。对称产生美，然而现实却很残酷，不对称占了大多数。所以整容变得如火如荼，将非对称构造成对称，以此消除内心的痛苦。

“三点共线，构造对偶式”，这便是法3的实质。

我不提倡，但不妨碍你围观。

法3有一个更合适的名字——设点。如果平素缺乏专门的训练，那么这个过程看着就不那么养眼。其实我也一样。不养眼的东西不一定要拒绝，走马观花也是不错的选择。

设点在抛物线中用得更广泛，原因在于抛物线中只含一个平方项，消元变得简便。

设点解点规避了韦达定理不对称的情况，自然也就不需要那些消元的技巧。

值得一提的是，以往的韦达定理一般是关于斜率（或截距）的式子，而设点解点则直接转化为坐标，二者在本质上没什么差别。不过面对非对称形式，设点的优越性才真正体现。我是蛮喜欢这种套路的。

另外，本题还有一种更常见的模式，我们曾介绍过：