重庆市南开中学高2022届11月考第12题：平面向量的线性组合

平面向量在教材中有着特殊的地位。它是平面向空间拓展的铺垫，同时也是沟通代数与几何的桥梁。更进一步，平面向量不但是研究的对象，而且是解题的工具。

平面向量的重要性不容小觑，但也无需小题大做。在测试中，它多半以小题出现。就算难度突破天际，分数也不过5分，没什么好心疼的。

平面向量主要包含三个内容：

1、平面向量的概念；

2、平面向量的运算（线性运算和数量积）；

3、平面向量的应用。

其中最重要的莫过于平面向量的运算。而运算又分为向量运算和坐标运算，由此衍生出基底法与坐标法。毫不客气的说，掌握平面向量的运算，也就掌握了平面向量。

无论在什么时候，坐标法都应当作为优先选择。平面向量一旦坐标化，剩下的代数运算就变得易如反掌。显然，本题中的各个选项最终都转化为函数的值域，借助三角函数的“有界性”便可轻松达到目的。

单就法1而言，本题放在第12题的位置有点名不副实。但结合高考来看，又恰到好处。高考从来不是以难度取胜。

解决平面向量的数量积，至少有三种方式：1、定义法；2、坐标法；3、投影法。法2便是投影法。投影法在解题中往往能出奇制胜，因为它揭示了数量积的几何意义，是数形结合思想的典范。

有些向量的投影可以手到擒来，比如选项C；而有些向量的投影却晦暗不明，需要变形转化，比如选项D。

“等和线”是解决线性组合的利器，如果熟练，答案不费吹灰之力。等和线之于线性组合，仿佛“极化恒等式”之于数量积，那种感觉无疑是“电光影里斩春风”。

除此之外，本题还用到了均值不等式、柯西不等式等工具。你看到了，工具的多样性是多么令人惬意。

总的来说，掌握法1已足够了。法2和法3作为闲庭信步的意外所得，也不错。至少我是这么想的。