重庆市南开中学高2022届11月考第12题:平面向量的线性组合
平面向量在教材中有着特殊的地位。它是平面向空间拓展的铺垫,同时也是沟通代数与几何的桥梁。更进一步,平面向量不但是研究的对象,而且是解题的工具。平面向量的重要性不容小觑,但也无需小题大做。在测试中,它多半以小题出现。就算难度突破天际,分数也不过5分,没什么好心疼的。其中最重要的莫过于平面向量的运算。而运算又分为向量运算和坐标运算,由此衍生出基底法与坐标法。毫不客气的说,掌握平面向量的运算,也就掌握了平面向量。无论在什么时候,坐标法都应当作为优先选择。平面向量一旦坐标化,剩下的代数运算就变得易如反掌。显然,本题中的各个选项最终都转化为函数的值域,借助三角函数的“有界性”便可轻松达到目的。单就法1而言,本题放在第12题的位置有点名不副实。但结合高考来看,又恰到好处。高考从来不是以难度取胜。解决平面向量的数量积,至少有三种方式:1、定义法;2、坐标法;3、投影法。法2便是投影法。投影法在解题中往往能出奇制胜,因为它揭示了数量积的几何意义,是数形结合思想的典范。有些向量的投影可以手到擒来,比如选项C;而有些向量的投影却晦暗不明,需要变形转化,比如选项D。“等和线”是解决线性组合的利器,如果熟练,答案不费吹灰之力。等和线之于线性组合,仿佛“极化恒等式”之于数量积,那种感觉无疑是“电光影里斩春风”。除此之外,本题还用到了均值不等式、柯西不等式等工具。你看到了,工具的多样性是多么令人惬意。总的来说,掌握法1已足够了。法2和法3作为闲庭信步的意外所得,也不错。至少我是这么想的。
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