重庆市第八中学高2022届12月考第8题：双曲线的离心率

最近没有考试，所以没有新题奉上，只能旧事重提。

离心率是圆锥曲线最重要的性质，没有之一，尤其是椭圆与双曲线。椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，而双曲线的离心率刻画双曲线的开阔大小。

离心率的问题，我写了没有几十道，也有十几道。即便如此，却几乎没有雷同。可见离心率的确是命题的好素材，未来也一定会继续承担拉分的义务。

求离心率的方法甚多，大致说来，可归纳为三种：

（1）定义法：通过计算基本量的值，或基本量的关系，或长轴与焦距的比值来计算离心率。这是最基本也是最常用的方法。

（2）齐次方程法：通过题设建立关于基本量之间的齐次方程，解方程求得离心率。

（3）几何法：通过几何关系（平行、垂直、角度、全等、相似、中位线、角平分线等等）确定离心率。

当然，归纳的方式见仁见智，这完全是个人偏好，只要方便自己的就是最好的。

解决垂直，从斜率角度出发没问题，从向量角度入手也可以。避免斜率不存在的讨论，当然向量更好。反正是小题，怎么样都无所谓，最重要的是自己顺手。

通过垂直得到M、N两点的坐标，于是长度不在话下，剩下的就交给解三角形了。是不是稀松平常？有没有大喜过望？

本题非常对称，一旦涉及到对称，解法就变得奇妙。谁都不曾想起，可谁都无法忽视。

圆，隐藏的圆。

圆也是一种“圆锥曲线”，更是一种解题工具，怎么能“圆尽于此”。由于对称，斜三角形转化为直角三角形，计算变得更方便。严格说，法2与法1的本质一样——垂直的另一种表达本来就是圆——直径所对的圆周角，余下的就是解直角三角形。

法3与法4，一个是正弦定理，一个是参数方程，随便怎样都行。一旦掌握套路，解题自然变得随心所欲。

随心所欲，这不过是聊以自慰。“命题者卑鄙，解题者可耻”，一个挖空心思，一个绞尽脑汁。都不是好勾当，又怎么好意思。

同是天涯沦落人，仗义每多屠狗辈。数学不会让人失去心智，足矣。