第一百七十二夜：平行四边形对角线平方和

青山不移，流云来去，过往云烟，如如不动。

不若埋首烟波，一飨浮生。

人情事端，自是不适，何妨挂帆高咏，任由叶落纷纷。

人生如此，浮生如斯。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

平行四边形在解析几何中司空见惯，无非是涉及边长、对角线、周长、面积等基本量。除此之外，探索平行四边形是否为菱形亦是常见考法。

验证对角线的平方和为定值，可先通过特殊位置求得定值，然后再推证对一般情况成立，也可直接推理求得定值。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

本题看似复杂，实则不堪一击，原因在于平行四边形较为特殊，具有良好的性质。

法1，设对角线的方程。联立椭圆求得弦长与中点，进而求得对角线平方和。注意讨论斜率不存在的情况。

法2，设一边的方程。联立椭圆求得两邻边的长度，借助平行四边形的性质求得对角线平方和。

单就本题，法2绝对惊艳。

上述定理中，OA与OB的斜率之积为定值，这个定值并非偶然。如果你一直在关注，一定会发现OA与OB互为“共轭直径”。

当然，法2已经很好了，但个人仍旧对极坐标一往而深。

更多关于四边形的问题，可参考“第一百五十三夜”。

你若不来，所有精彩只能用寂寞去掩盖。

4  操作

行同陌路，抑或一见如故

兴来一挥百纸尽，骏马倏忽踏九州。

我书意造本无法，点画信手烦推求。