重庆南开中学高2020届第三次月考21题：导数与数列不等式

惊闻快2020了，时间转瞬即逝。

此去洪崖洞不远。

2018，龙猫上映，2019，千与千寻又火了一把，而我与宫崎骏的距离，比冥王星还要远。

九开八闭十七门，翠微门上挂彩缎，千厮门外雪如山。

年复一年……

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

导数与数列、不等式结合，历来是考试的难点。像这种题，导数通常只是个噱头，真正考查的是数列不等式。

我是蛮喜欢这样的题的，兼具导数与数列的优良品质，真正体现思维的高度。

证明数列不等式的方法不胜枚举，常用的是“放缩法”和“数学归纳法”。另外，证明过程中也时常夹杂分析法、综合法，构造法，以及反证法。

数学归纳法早已被边缘化，导数又并非莫名，因此，暗示性很明显——放缩法。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

本题完全可以摒弃第1问，它与整个题目格格不入。杵在这儿无非是为了送分，不至于得分率太难看。

可见命题者为了整体水平也是操碎了心。

尽管第2问不难，但却是第3问的基础，能否完美地解答本题，关键在此。

法1，结合第2问得出不等式，利用不等式放缩，裂项累加便可证明结论。

法2，就当本题只有第3问好了，数学归纳法暴力证明（注：ln2≈0.69）。

使用数学归纳法，两个步骤缺一不可，第1步奠基，第2步递推。奠基不一定从第1项开始，递推必定用到归纳假设。

用数学归纳法证明不等式，时常出现归纳无法过渡，这时不妨先证明一个加强命题，然后实现对原不等式的证明。

另外，本题亦可从结论入手：

法3并非别出机杼，除了形式，与法1并无二致。倒是法1中的放缩犹如神来之笔，结论恰到好处。就算有第2问的强势铺垫，也未必能应用自如。

是命题者道德的沦丧？还是人性的扭曲？

无论是哪种，我都笑出了猪叫。

是不是恍然大悟？

有了上述结论，如法炮制，还可玩出更多花样。

4  操作

行同陌路，抑或一见如故

兴来一挥百纸尽，骏马倏忽踏九州。

我书意造本无法，点画信手烦推求。