重庆·云师堂
为了弥补对“概率统计”缺憾,今日再写一题。
数列恐怕难以再重现昔日的辉煌,因为概率统计正如日中天。
重庆南开中学大概注意到了这种变化,打破传统,竟然在同一套试卷中连出两个概率统计的压轴题(第8题和第22题)。
我也不敢懈怠,必须紧跟潮流。
概率统计恼人的并非是其思维和计算,而是那长篇累牍的叙述。有些题达到了500字,有的甚至逼近800字。面对这样一篇并不优美的说明文,在高压状态下,可想而知。
1 围观
一叶障目,抑或胸有成竹
你看到了,概率统计的题总是又臭又长,任谁都没有多少耐心的。可是要描述清楚整个过程,冗长的叙述不可或缺,所以你只能提升阅读能力。
仔细阅读,题意相当明确。阳性与阴性,单检与混检,经历了“新冠”多少都有了解。单检,需要n次;混检分为两类,阴性检验1次,阳性检验n+1次。每份样本相互独立,发生的概率相同。这便是题干的所有信息。
新高考对信息的提取,数据的收集与整理,数学建模与分析等素养的考查在本题中都得到了充分体现。
第(1)问考查分布列与数学期望,这是离散型随机变量的标配。
第(2)问考查利用期望决策,实际上已经不单是概率统计的问题,而是导数与函数零点的问题。说白了,概率统计压轴,不是与数列结合,就是与导数结合。
2 套路
手足无措,抑或从容不迫
严格地说,本题难度不大,只是这种考法相对生疏,难免望而生畏。
构造函数(亦可将常数3.5移项再构造),求导并判断单调性,利用零点存在定理确定零点所在位置,由此可得到n的最大值。
事实上n不但有最大值,而且有最小值,所以本题可改为求n的取值范围。当然,本题要提升难度也容易,不外乎加个参数即可。
3 脑洞
浮光掠影,抑或醍醐灌顶
对此,我不感兴趣,我感兴趣的是《失空斩》——京剧的传统剧目。
最近迷上了这个。
所谓失空斩,即《失街亭》、《空城计》和《斩马谡》的合称,故事取材于《三国演义》。马谡言过其实,诸葛亮谨小慎微,司马懿老奸巨猾,三出戏承前启后,荡气回肠。
最精彩的当属《空城计》。
马谡失街亭后,司马懿率十五万大军兵临城下。孔明引五千军士,一半已去搬运粮草,众官失色。孔明传令大开城门,登楼凭栏而坐,焚香操琴。司马懿疑其有诈,急速退去。
那么问题来了,诸葛亮有埋伏和空城两种可能,司马懿有进攻和撤退两种方案,当如何决策呢?
假设司马懿认为城中有伏兵的概率为0.9,空城的概率为0.1。若城中有伏兵,进攻则会损兵折将,收益为-10;若是空城,进攻则大获全胜,收益为10;若撤退,虽毫发无损,但声名扫地,收益为-5。
司马懿罢兵成就了诸葛亮《空城计》的美名,皆因“亮平生谨慎,不曾弄险”所至。这便是数学中的小概率事件问题,事件虽小,但却意义重大(将来讨论)。
有人说《空城计》的故事不具真实性,以司马懿之智,即便不进攻,也会困死诸葛亮,断然不会望风而逃,错失良机。
不过历史上同类事件反复发生,当如何解释呢?(请设计数学模型)
4 操作
形同陌路,抑或一见如故
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