(本小题满分
分)
设函数
。
(Ⅰ)证明:
在
单调递减,在
单调递增;
(Ⅱ)若对于任意
,都有
,求
的取值范围。
答案
(1)根据题意得,
,注意到
,于是再求导得,
,由于
,于是
为单调递增函数,由
,有
在
上恒小于
,在
上恒大于
,即
在
单调递减,在
单调递增。
(2)根据题意得,函数
在区间
上的最大值与最小值之差不超过
,由(1)知
在区间
上的最小值为
,于是得
在区间
上的最大值不超过
。
由(1)知
在区间
上的最大值为
和
中较大者,因此
的取值范围由
确定,即
,变形为
,设函数
,则
。
即
在
单调递减,在
单调递增,
,而
,即
,作
大致图象如下,
而要同时满足
,
的取值范围只能是
。
解析
本题主要考查导数的计算。
(1)二次求导,根据
的符号依次判断
的单调性,再根据
的符号依次判断
的单调性。
(2)将原题转化为函数
在区间
上的最大值与最小值之差不超过
,由函数的最小值得到函数
在区间
上的最大值与最小值之差不超过
,设新函数
,作图求解。
题目来源:2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷):理数