（本小题满分
分）
设函数
。
（Ⅰ）证明：
在
单调递减，在
单调递增；
（Ⅱ）若对于任意
，都有
，求
的取值范围。
答案
（1）根据题意得，
，注意到
，于是再求导得，
，由于
，于是
为单调递增函数，由
，有
在
上恒小于
，在
上恒大于
，即
在
单调递减，在
单调递增。
（2）根据题意得，函数
在区间
上的最大值与最小值之差不超过
，由（1）知
在区间
上的最小值为
，于是得
在区间
上的最大值不超过
。
由（1）知
在区间
上的最大值为
和
中较大者，因此
的取值范围由
确定，即
，变形为
，设函数
，则
。
即
在
单调递减，在
单调递增，
,而
，即
，作
大致图象如下，
而要同时满足
，
的取值范围只能是
。
解析
本题主要考查导数的计算。
（1）二次求导，根据
的符号依次判断
的单调性，再根据
的符号依次判断
的单调性。
（2）将原题转化为函数
在区间
上的最大值与最小值之差不超过
，由函数的最小值得到函数
在区间
上的最大值与最小值之差不超过
，设新函数
，作图求解。
题目来源：2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）：理数
