光阴荏苒,匆匆数年过去,正是大唐玄宗天宝五年(西元746年)。前年,即天宝三年(西元744年),唐玄宗下诏将纪年单位改“年”为“载”,从本年正月开始实施,本年改为天宝三载。这一名称一直用到唐肃宗至德三载(西元758年)正月止,前后共14年零1个月。(作者按:但为统一,本书全部用“年”这个名称。)
是年楚天墀与叶青十六岁了。这六年来,两人跟随祖先生学习数学与琴艺,又跟随无涯修习内功、剑法与琴道,如今都已小有成就。因渐渐长大,家中都并不十分宽裕,楚天墀与叶青须常在家中帮忙生计,不便再日日都上私塾。祖清风也了解此情,于两年前便吩咐他们只每逢初五、十五、廿五才来听课,其余时间布置任务让他俩在家中练习。
一日正是十月初五,楚天墀因叔叔楚抱朴打渔回来不慎跌伤了脚,因此托叶青向祖先生告假,之后便与堂妹楚天丹一起,帮忙去鹰潭坊卖鱼。因为买鱼的是老主顾,听说楚抱朴跌伤了脚,还另外多给了一吊钱。兄妹俩坚持不敢多拿,买鱼者只好说是垫付款,等下次多给些鱼就是了。就这样,兄妹俩才收下了。
路过药铺时,楚天墀道:“正好买些跌打药,回去好给叔叔医脚。”于是兄妹两人走进药铺,买了些当归、血竭、乳香、没药与马钱子,然后取道回家。路过赌场,正碰上童千斤垂头丧气地从里面出来。兄妹俩迎上前去打招呼道:“千斤叔,你怎么还在赌钱啊!”童千斤叹气道:“你千斤叔没志气,总说要戒,但一路过就忍不住,有两个钱就跑了进去。”楚天丹笑着羞他道:“这次又输光了吧。”童千斤垂头丧气道:“可不正是。”又对楚天墀道:“天墀,你跟祖先生学了这么多年,你倒是帮我算算,到底要怎样才能赢钱?”
楚天墀还未开口,天丹却笑道:“这也是能算的?我听大人说都是靠手气。”楚天墀接过话茬,道:“倒也未必。”童千斤一听,大喜过望。他是敬佩祖先生的本事的,而祖先生的高弟一定也非常了得。于是童千斤抓住楚天墀的胳膊道:“那你快帮我算一下。”楚天墀道:“千斤叔别急,我们边走边说。”
路上楚天墀不断地向童千斤打听赌场之赌局设置,以及每一场赌局之赔率。稍作计算后,便觉心中有数,然后问道:“千斤叔,你认为赌博一定会赢吗?”童千斤抓了抓头皮,道:“虽然我输得多,但我不相信谁赌博一定能赢,否则谁跟他赌?”楚天墀又问道:“那千斤叔是否认为逢赌必输?”童千斤又抓了抓头皮,困惑地道:“这个嘛,还是那句话,没有必赢也没有必输。”
这时楚天丹插嘴道:“那千斤叔你怎么老是输啊?”童千斤只得又抓头皮,苦笑道:“我有时也能赢点,但总的来说输得多,真叫人弄不明白。”楚天墀道:“有人使诈吗?”童千斤道:“也许吧,但我看不出来。”楚天墀道:“千斤叔认为没有必赢的方案、也没有必输的方案,这就说明,长久地赌下去,最后恐怕就是不输不赢。”童千斤以前倒没想过这个,这一下可算是把他惊醒了。只见他一拍脑门,自我解嘲道:“你们看我多糊涂,我就没想过这个。”楚天丹道:“哈哈,千斤叔,这就是我奶奶说的‘陪着黄牯晒太阳’,陪人家洗牌玩。”说得三人都哈哈大笑起来。
楚天墀道:“今天早上正好向先生告了假,为帮千斤叔戒赌,我干脆再算个东西给你们看看。”童千斤大感兴趣,道:“反正时间还早,就边走边算。”三人这时已走出鹰潭坊,楚天墀在路边找了块空地,画了一个大矩形,又从中间画了一条竖线,线左写了个“大”字,线右写了个“小”字。
楚天墀道:“千斤叔你看,用三粒骰子,赌大小的话,因为几率各占一半,所以是一赔一的。”童千斤道:“没错,是这样。”楚天墀又道:“若两个六点,再凑一块就是“天牌对”甚或“豹子”,这个赔率是多少呢?”童千斤道:“天牌对倒是拿过几次,赌场规定一赔三十二;豹子没有拿到过,应该是一赔二百一十。”之后楚天墀又摆出“和牌”、“梅花”、“板凳”、“铜锤”等,并问明赌场给出之赔率。童千斤一一回答。
楚天墀站起身来,道:“千斤叔,难怪人家讲十赌九输,照这个赔率,庄家是永远也不会倒啊。”童千斤道:“问题出在哪呢?”楚天墀道:“问题就出在赔率上,它和骰子出现的几率不搭配。”童千斤莫名其妙,问道:“怎样才叫搭配呢?”楚天墀道:“千斤叔你想想。赌大小的,是一赔一的,如果加上拿回的赌注本金,就是一赔二。”童千斤道:“嗯,你继续说。”楚天墀接着道:“如果出现‘天牌对’,赔率是一赔三十六,但是千斤叔你算过没有,‘天牌对’出现的几率是多大?”童千斤有些困惑,因为他还真没搞明白过这个问题。
话休絮烦。却说楚天墀所计算的依据,在后世属于“概率论”中简单的古典概型,今天但凡学过的都能算出来,但在大唐时期,这一门由赌博兴起的学问尚属于少数人之思想武器。祖冲之的《缀术》是否有关于此项内容之研究,如今不得而知。但纵观中国古代学者在代数上之成就,唐朝时就有人会计算这些初等概率问题,并非作者一厢情愿之臆想。
在三粒骰子之赌博中,“豹子”即三个六点出现的几率为1/216,分母即六的三次方,则公平赌博的赔率应该是1:215;同理,两个六点出现的几率为1/36,去除“豹子”出现之几率,则得“天牌对”的几率为5/216,则公平赌博之赔率应该是1:42.2;……而显然,赌场给出之赔率都比公平赌博之赔率要小,因此长期以往,赌客必将输多赢少。
楚天墀这里所计算之赔率问题,在今日之“概率论”学科中,属于数学期望问题。其实对于古人来说,他并不需要知道什么叫概率论、什么叫数学期望,也能算出这个表达式。因为若你打算开一家赌场,对于每一种赌法,应如何调配赌局中的赔率,才能保证永远不倒庄,且永远有赌徒来赌博呢?最好的当然莫过于没有必赢且没有必输之方案,由此可以推出赌博之平均收益为零。否则,若平均收益为正数,则表示凡赌博一段时间后,赌客定会赢钱,这样赌场必然倒庄;若平均收益为负数,则表示凡赌博一段时间后,赌客定会输钱,这样赌客渐渐囊中羞涩,自然也就不来了,而赌场亦将随之关门大吉。有鉴于此,数学期望即平均收益为零,才是赌场不至于关门的唯一法则。当然,若有人出老千,此规则将被打破,但那又另当别论了。由以上分析可得:赔率等于概率的倒数减去一,或者概率等于赔率与一之和的倒数。
童千斤被楚天墀的计算惊呆了,沮丧地问道:“这样说来,我是没有赢钱的可能了?”楚天墀道:“那也未必,但是千斤叔,小赌怡情,大赌乱性。偶一为之则可,不可沉迷啊。”童千斤不好意思地笑了笑,道:“我一把年纪了反倒吃你的劝。行,千斤叔听你的,以后少赌了。”楚天丹插嘴道:“最好是别赌。”童千斤道:“丫头,你哥刚才都说了,小赌怡情,完全不赌你千斤叔忍不住啊。”说着三人又哈哈大笑起来。
三人边走边说,童千斤道:“天墀,你说的道理叔都已经明白了,但叔还有两个问题。”楚天墀问道:“什么问题?”童千斤接着道:“第一,就是出牌的几率是怎么算的?第二,就是几率与赔率到底该满足什么关系?”楚天墀道:“千斤叔你能这样问,就说明我今天说的你都听进去了。”旁边的楚天丹道:“我也听进去了呢,我也想知道怎么算的。”楚天墀道:“几率的计算其实不难,只要记住骰子的六个面出现可能性都是六分之一就可以了;而赔率呢,根据长远的赢利应该为零来算,它等于几率的倒数减去一。如果不是这样的话,则不是公平之赌博。”
楚天丹不解,继续道:“为什么长远的赢利应该为零呢?”楚天墀道:“只有这样,才能保证绝对公平,否则就会产生必赢或必输之方案。”楚天丹又问道:“为什么还要减去一呢?”楚天墀道:“这个千斤叔应该能理解,减去一就是减去压的赌注本金。”童千斤沉吟道:“不错不错,赌场给出的赔率都比这个要小,难怪我是要输钱的啊。”三人一路讲一路算,倒也不耽误行程。这一次能劝服童千斤以后少赌为妙,也算是楚天墀兄妹俩的意外收获。
回到上清村后,兄妹俩告别童千斤,然后楚天墀对堂妹道:“天丹,你先把药与钱带回去,我去田坂找些跌打药的引子,回去就可以给叔叔治脚了。”楚天丹道:“哥,我要跟你一起去,反正我先回去药也用不了。”楚天墀想想也是,便道:“也好,你可以帮我拿着些。”兄妹俩来到田坂上,先找了颗川芎,挖出后取其根茎;又在山脚下挖了一窝土鳖虫。看看配料已齐全,然后回家给楚抱朴治脚伤去了。
上清村是个古村落,村里竹林成荫,古樟树也极多,且树高叶繁,群鸟穿枝绕林,飞鸣不绝。当日晴空万里,日光由林隙下注,映出满地清荫。这时候男人们都在地里或山里、水上做事,因此村中大树下,三三两两地尽坐着些妇孺,有搓麻绳的、织布的,摘菜的、剥豆子的,也有笑谈的、喂孩子的。
给叔叔敷完药后,楚天墀一时无事,因祖先生近日都在讲《南华真经》,他便拿出来研习。祖清风虽是算学名家,但儒道佛兼修,而且经常鼓励弟子们要博览群书,以此才能达到融会贯通之境界。因此道教与佛教的一些经典,祖清风讲课时也多有涉及,只不过在涉及道经时,祖清风就会单独建议楚、叶二人,多听无涯教诲。
楚天墀本人因受龙虎山之影响,相比而言显得更喜欢研读道教之经典。《南华真经》是已经读过的,正好闲来无事,也就随手跳着翻阅,翻到哪就看哪。当看到“一尺之棰,日取其半,万世不竭”句时,不觉想起祖先生曾教授的刘徽求圆周率时发明的割圆术。当时祖清风曾道:“一直割下去,内接正多边形的边数越多,该多边形的周长就越接近圆周。后来,先祖祖冲之就是这样把圆周率算到小数点后七位数的。”
把这两事联系起来,楚天墀开始觉得有所迷惘。“万世不竭”的万世究竟是多久?棰子可平分多少次?庖丁解牛时曾言“以无厚入有间”,那么到底无厚是多薄?楚天墀想,假使无厚确实可以入有间,则一尺之棰可取无穷多次,由此可以算出,两尺之棰可取无穷多加一次,而半尺之棰可取无穷多减一次。而无穷多加一与无穷多减一本身仍旧是无穷多,那是否可以说明一尺、两尺与半尺,其实都是一样长的呢?
列位读者,当日楚天墀所想的问题在今日属于实数域之连续统与映射问题。说来其实简单,任何长度的棰子我们都可以定义为一个单位,只不过实际的单位长度不一样而已。如果把单位抽象掉而只剩下数的话,则大家都是一(一个单位),那自然是相等的。但在唐朝,数学尚未发展到如此抽象之地步,因此当时楚天墀为了弄明白这个问题,确实构思巧妙。
只见楚天墀找出一根木棒,把它竖立在地面上,测得木棒的影子长度约为木棒的三分之一。然后他点点头,自言自语道:“木棒本身及其阴影很明显是不一样长的,而且比例值还可以任意变化。但不管怎样变化,木棒上随意削掉一截,影子也会相应地少一截。这就说明,木棒上的截面与影子上的截面是相互对应的。由此也可以说明,任意两根长度不等之棒子上,所能得到的截面都是完全一样多的。”
楚天墀的这一结论,换成今天之数学语言,就是:“任意取两条不同的线段,它们所包含的点是完全一样多的。”这一结论曾经在近代震惊整个世界,但于当日之楚天墀而言,却只不过是给他带来了一丝领悟后的喜悦而已。
祖先生曾引用佛经上的话“一刹那即一永恒”,当时楚天墀尚未完全理解,而今日的发现,令他豁然开朗。《摩诃僧祗律》卷十七中记载:“一刹那者为一念,二十念为一瞬,二十瞬为一弹指,二十弹指为一罗预,二十罗预为一须臾,一日一夜有三十须臾。”如此换算下来,一刹那相当于0.00002刻,其中一刻相当于现在之十五分钟,也就是说一刹那相当于现在的0.018秒。这显然是个很短的时段。而永恒是无穷长的时段,它们真的能相当吗?
楚天墀想,既然一尺之棰相当于两尺之棰,那么一直类比下去,也可以相当于四尺、八尺、十六尺……乃至无穷尺之棰。若把一刹那之长度与棰子之长度都等同为一个单位,则“一刹那即一永恒”就成立了。
楚天墀再也按捺不住喜悦之心情,若不是在村里,他就要跳起来了。他取出纸笔,把这一发现记录下来,下午要带去向祖先生与叶青报告,并希望祖先生能给他更多的启发。
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