最能反映音乐和算术的关系的乐器除了弦乐器之外，就要数竹乐器了，如横笛，竖笛，洞箫之类。随便拿起一根非次品的笛子来看，你就会发现，发音的那六个孔不是均匀排列的。经典式的江南竹笛一般是十个孔，其中两个孔的开凿方向和另外八个孔相反，这两个孔在同一截面排列，处在笛子一端的末尾，是用来挂装饰的缀子用的，对发音不起明显的调节作用。从这一端往上连续数六个孔，它们是用来发音的。再往上数一个，是用来贴笛膜的(北方梆笛有的不需要贴笛膜，因此没这个孔)。最上面一个就是吹气孔。我们主要来讨论发音的那六个孔。笛子的发明史我们在这可以完全忽略它。
可以想象，第一个制造笛子的人肯定为了那发音六孔的排列问题大伤过脑筋。也许他最开始采用的是均匀分布(这种笛子现在市面上还有出现)，但他很快就会发现均匀分布的发音不准。然后他根据某个孔的发音误差是偏高还是偏低来决定这个孔该向上移点还是下移点。这当然需要很强的音乐听力，但我们有理由相信他完全胜任这一工作，否则他根本就不会去想着制造什么笛子。
要为横笛发音的原理建立一个完全的数学模型是比较困难的，因为由不同的发音孔产生的空气动力和涡旋强度是不一样的。由吹气孔吹出的气流形成一个向量场，假设其流函数为,因为在吹奏某个单音的过程中气流的吹入和散出(形成了声音)是处于平衡状态的，即流入的等于流出的，那么我们可以把这个向量场看成是无源无汇的，即气流的总体保持在同一水平。假定由发音孔构成的曲面记为S, n为S的外法向方向,那么这时流函数的散度等于0，即其中
表示a在外法向n上的投影。而发音就是靠气流的涡旋强度，所以流函数的旋度不等于零，即即该气流向量场是有旋的。显然，虽然该向量场是无源的，但因为它却有旋，所以流函数是不调和的，因为调和要求无源无旋。当我们在吹奏某段乐章的时候，由于音高的频繁变化，我们吹入的气流也时强时弱。这时，流函数的散度不再恒等于零。由于气流要同时支持多个孔发音，所以对每个孔来说，向量场都是有源头的，所以这时流函数基于发音孔外法向方向的散度大于零，即这时的气流场是有源有旋的，所以流函数也是不调和的。
这是个很奇异的现象，由不调和的空气流动竟然可以生发出悦耳的乐音，难怪人们常常会使用“天籁”这一词语。大自然的空气流动几乎都是不调和的，但“天籁”一词却很少有人用它来形容噪音。我想这就是数学体现在音乐上的奇异美吧。不过顺便说一句，空气流动的旋度太大的话也不是什么好事，比如说龙卷风，相信没人会认为它产生的是乐音。音乐之体现于数学的另一个重要方面就是几何外形。很多弦乐器都有一个“音箱”，使得气流在此产生激荡回环，引起共鸣。吉他和提琴的音箱大同小异，水平方向都是葫芦形状，只在一个面上开了个圆形的口子。这种形状一来有利于演奏者把持，二来有利于空气的回荡，形成声音的合奏。二胡的音箱更加简单更加开放，在一节完全通透的竹筒的一端蒙上一块蛇皮，这样就可以了。当然，蛇皮的质量也是很重要的，就我所知，大蟒蛇皮要比其他蛇皮好。所有吹奏型乐器里最简单的可能是竖笛。它的音箱就是它自身——整根管子，它的气流吹入方式使得声音很容易就能发出。只要你有一口气在，你就能吹响它。横笛却不然，气流须在管子里转折一次才能发声，所以不是谁都能吹响横笛。由于洞箫的外形修长，需要气流以比较缓慢平稳的速度流过，因此它的吹奏难度又更上一层楼了，这时它的流函数近似于一种稳定向量场。
葫芦丝的吹气口和发音孔之间有一个鼓起来的扁球形音箱，当气流进入时，它们先在这里回荡一次，如果吹入的气流没有足够的后继气和一定的流动速度的话，它们将不能引起共鸣。也就是说，如果你一口中气不足，你吹出来的永远是同一个音，不管你放开哪个发音孔。口琴的吹奏也比较简单，它的声音是靠簧片在长方体的小格子里振动产生的，如果我们把弦振动看成是一维直线在二维平面的振动方程的话，那么簧片的振动就显然是二维平面在三维空间中的振动了。比较流行的吹奏乐器还有萨克斯等，但笔者自己没有试过，在此不加妄议。而对于大鼓这样的打击型乐器来说，那大腹便便的样子都不用我说了。乐器音箱的几何外形影响所发出声音的音频和音高是非常明显的事。即使你从来没见过任何乐器也不要紧，我还有个非常简单的例子，吹口哨。如果腮帮的鼓起程度不一样，或者嘴唇的围合形状和张开度不一样，或者舌头伸缩的位置和速度不一样，之中的任何一种情况发生都将影响吹出来的口哨音质。
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