1854年吉布斯入耶鲁大学学习，19岁以很优秀的成绩毕业。1863年，吉布斯以使用几何方法进行齿轮设计的论文在耶鲁学院获得工程学博士学位，这也使他成为美国的第一个工程学博士。1871年吉布斯成为耶鲁学院数学物理学无薪教授（其中数年无薪），他后来担任这一教职一直到去世。
在吉布斯的推动下，美国的工程师教育开始注重数学、物理理论。1873年34岁的吉布斯才发表他的第一篇重要论文，采用图解法来研究流体的热力学，并在其后的论文中提出了三维相图。麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831.06.13-1879.11.05）对吉布斯三维图的思想赞赏不已，并亲手作了一个石膏模型寄给吉布斯。1876年吉布斯在《康涅狄格科学院学报》上发表了奠定化学热力学基础的经典之作《论非均相物体的平衡》的第一部分。1878年他完成了第二部分。这一长达三百余页的论文被认为是化学史上最重要的论文之一，其中提出了吉布斯自由能，化学势等概念，阐明了化学平衡、相平衡、表面吸附等现象的本质。
1880到1884年吉布斯将哈密尔顿（William Hamilton，1805.08.04-1865.09.02）的四元数思想与格拉斯曼（Hermann Grassmann，1809.04.15-1877.09.26）的外代数理论结合，创立了向量分析，用来解决遇到了彗星轨道的求解问题，通过使用这一方法，吉布斯得到了斯威夫特彗星的轨道，所需计算量远小于高斯的方法。 1882-1889年吉布斯巧妙避开对光的本质的讨论，应用向量分析建立了一套新的光的电磁理论。1889年之后吉布斯撰写了一部关于统计力学的经典 教科书《统计力学的基本原理》，他使用刘维尔（Joseph Liouville，1809.03.24-1882.09.08）的成果，对玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann，1844.02.20-1906.09.05）提出的系综这一概念进行扩展，从而将热力学建立在统计力学的基础上。1901年吉布斯获得当时的科学界最高奖赏科普利奖章。
早在吉布斯的工作在本国受到重视之前，在欧洲已经得到承认。那个时代的杰出理论家麦克斯韦不知从哪里读到了吉布斯的一篇热力学论文，看出了它的意义，并在自己的著作中反复地引证过它。奥斯特瓦尔德（Wilhelm Ostwald，1853.09.02-1932.04.04）认为“无论从形式还是内容上，他赋予了物理化学整整一百年。” 朗道（Lev Landau，1908.01.22-1968.04.01）认为吉布斯“对统计力学给出了适用于任何宏观物体的最彻底、最完整的形式”。2005年5月4日美国发行“美国科学家”系列纪念邮票，其中包括吉布斯。
丢番图有“代数之父”之称；也有人认为此称谓应与比他大约晚出生五百年的一位波斯数学家花拉子米（Mu?ammad ibn Mūsā al-Khwārizmī，约780-约850）共享。丢番图是古希腊亚历山大港的数学家。现在，在数论中常常能看到他的名字，如丢番图方程、丢番图几何、丢番图逼近等都是数学里重要的研究领域。丢番图是第一个承认分数是一种数的希腊数学家。他允许方程中的系数和解为有理数，这是在数学史中具有开创性的。不过在今天，丢番图方程一词通常指以整数作为系数的代数方程，而其解也要求是整数。丢番图在数学符号方面也作出了贡献。
对丢番图的身份后世了解得非常少，除了通过他本人所出的一个数学问题，大概知道他活了84岁以外，其他几乎一无所知。《算术》共13卷，至今仍有3卷未能找到。《算术》摒弃了古希腊几何传统，用纯分析的途径处理了数论与代数问题，可以说是希腊算术和代数成就的最高标志。它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，特别以不定方程的求解而著称。《算术》中最有名的是第二卷问题8，这个问题的表述是：将一个已知的平方数分为两个平方数。费马1637年左右对该问题的一个边注引出了后世著名的“费马大定理”。《算术》的另一个重要贡献是创立了一套缩写符号。虽然不完善，但也为代数学的发展指出了方向。
《算术》也反映了希腊代数学的弱点：方法上缺乏一般性，解题方法五花八门，基本一题一法。数学史学家汉克尔说：“近代数学家研究了丢番图的100个题后，去解第101个题仍感到困难”。
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