浅谈几个或然率上的诡论
熊昭
语言是人用来描述自然现象，社会现象的工具，也是沟通思想的工具。因此，不止是要言之有物，而且要先“有物”，再 “言之”。作文，造句若是违反了这个原则，就会“出笑话”；最有名的例子就是“矛、盾”了。（那个卖“矛、盾”的先生，大概只想到卖货赚钱。）数学上把“出笑话”的而又同时费解的叙述称为诡论 (paradox)。平时提到这些诡论，大家都感到荒谬，却似乎没有强调出荒谬的原因。我们将在下面谈几个或然率上的诡论。尽量避免术语，以利高中同学阅读。
I
王先生卖蜂蜜，一日淡似一日。李先生想要弄清楚情况，于是做了如下的推理。李先生用 X 代表蜜中水的份量与蜜的份量的比值。李先生想，王先生的招牌是一杯水两杯蜜。所以 X 一定比
大。另方面，王先生掺水绝不敢掺到一杯水一杯蜜，所以
。既然 X 是在
与 1 之间，那么
的或然率就该是
。也就是说，王先生用多于四杯的水来配五杯蜜的可能性是百分之四十。王先生真狠。
李先生拿着这些道理去找王先生。王先生不慌不忙的说，我们用 Y 表示蜜水中蜜的份量与水的份量的比值。照你的意思，Y 是在 1 与 2 之间。那么
的或然率就是
。因此我老王用多于四杯的水配五杯蜜的可能性是百分之二十五，不是百分之四十。老李啊！别冤我。
毛病出在那里呢？我们知道，李先生在做计算的时候，其实是把 X 的分布假设为均匀分布，也就是说，X 的值是在
与 1 之间，而且对任意的 a,b,c,d 四个数，只要
，b-a=d-c，则 X 的值落在 a 与 b 之间的或然率就要等于 X 的值落在 c 与 d 之间的或然率。王先生计算的时候，也是把 Y 假设成均匀分布。大家都知道，X 与 Y 之间有一个固定的关系。根据这个关系，读者不难算出，如果 X 是均匀分布的话，则 Y 就不是均匀分布。因此把两个都假设成均匀分布是错误的。（其实，李先生是想当然的，不经意的把 X 的分布假设成均匀分布。到底X 是不是均匀分布，该怎样判定它，就不在这讨论了。）(Bertrand's paradox)
II
甲、乙两人玩丢掷铜币赌博的游戏，双方约定，如果掷铜币出现的是人头，则甲付给乙两元。如果出现的是梅花，则须再掷一次铜板；如果出现的仍是梅花，则须继续掷，一直等到第一个人头出现才停止。这时，甲要付给乙 2n 元，其中 n 为丢掷铜板的次数。 问：在游戏之初，乙应该先付给甲多少钱，这个游戏才算公平？
我们先来看个简单的例子。如果丙、丁两人也玩掷币打赌的游戏。他们的规则是：如果出现的是人头，则丙付给丁 2 元；如果出现的是梅花，则丙就不付钱给丁。整个游戏只须丢一次铜币就要结束算帐。问：在游戏之初，丁应该先付给丙多少钱，这个游戏才算公平？丁在一次游戏中有二分之一的机会可以得到两元，有二分之一的机会得不到钱；因此，我们说，平均起来，丁可以从丙那里得到
元。根据这些，我们认为公平的做法是丁在游戏之初先付一块钱给丙。
现在我们依照同样的道理来处理原来的题目。我们知道，在游戏结束的时候，乙可能得到 2 元，也可能得到 4元，8元，16元，……。他得到 2元的或然率是
，得到 4元的或然率是
，得到 8元的或然率是
，……。因此，平均说来，乙可以从甲那边得到
根据这个，我们是不是认为要乙先付“无限多”的钱给甲才算公平呢？
显然的，耍乙先付“无限多”的钱给甲是件荒谬的事。首先，这个“无限多”的钱要如何解释。好了，我们就姑且认为“无限多”的钱是指的比任意多还要多的钱。则明明乙只能从甲那边得到有限多的钱，我们怎么可以要乙先付无限多的钱给甲。
我们知道，耍乙付那个平均数给甲是有数学上的依据（大数法则），而且也符合直观要求的。但是，该留意到的是，当着平均值不是一个数的时候，（譬如说是
），我们就不该把数学上的结果硬梆梆的压到乙的身上。总结的说，要求乙在事先付一个数目来使得游戏公平是办不到的事。(St. Petersburg's paradox)
III
假设有两个给定的同心圆，大圆半径是 2，小圆半径是 1。如今我们要在大圆上任意画一弦。 问：条弦会和小圆相交的或然率是多少？
(i)我们把具有同样斜率的弦看成一类。由于在具有同样斜率的弦中，有二分之一的会与小圆相交，所以就全体看来，也必然是有二分之一的弦会与小圆相交。（如图一）
图一
(ii)在所有通过大圆周上任意一点的弦中，有三分之一的会与小圆相交，所以就全体看来，也必然是有三分之一的弦会与小圆相交。（如图二）
图二
(iii)大圆之弦是不是跟小圆相交全看它的的中点的位置。如果某弦的中点落在小圆之内，则这弦必与小圆相交。反过来说也是对的。因此，与小圆相交的弦的或然率等于小圆的面积除以大圆的面积，是
。（如图三）
图三
上面三个解法都有道理，那个对呢?到底是什么地方出了毛病？仔细检察一下就可以发现原题中的“任意”一辞极为晦涩。这三种解法都是隐约的、想当然的将“任意”两字分别做了解说，然后再计算。由于它们对“任意”一辞所作的解说各有不同，求得的答案自然不同。用术语来说，它们的或然率空间是不一样的。同样的，读者也可以利用“任意”一辞的晦涩玩些花样，而“证明”介于 0 与 1 之间的任何数都可以解释成本题的答案。(Bertrand's paradox)’
IV
我们知道，丢掷一粒骰子出现么点的或然率是
；丢掷两粒骰子，同时出现么点的或然率是
。
是
的六倍。由此，De Mere 说，连续丢掷四次骰子，其中至少出现一次么点的或然率就应当等于连续将两粒骰子丢掷二十四次，其中至少有一次出现两个么点的或然率。但是 De Mere 做过相当多的实验，发现前者大于二分之一，后者小于二分之一。De Mere 把这困扰告诉了巴斯卡 (Pascal)，巴斯卡又写信告诉费马 (Fermat) 说，我想你我都知道错在那里。读者若是仔细一点，大概不必做实验，也能算得出来前者是
，后者是
。为什么 De Mere 会有如上的困扰呢？
为了方便，我们把连续丢掷四次骰子，其中至少有一么点出现的事件叫做 A。在 A事件中，第 j 次出现么点的事件叫做 Aj。所以
（小心！Ai 与 Aj 是相交的。）对于另一事件，我们采用类似的处理，则可以写得
（Bi 与Bj 也是相交的。）在这些语言、符号下，De Mere 的思路是这样的：因为每一 Aj的或然率是每一 Bk 或然率的 6 倍，再因为 A 是由 4块 Aj 组成，B 由 24块 Bk 组成，所以 A 的或然率就该等于 B 的或然率。错误之处明显极了。(De Mere's dice problem)
V
我们知道每张爱国奖券都分成四联，分别叫做第一联、第二联、第三联、第四联。这四联的号码是同样的。因此，这四联要不就是同时中奖，要不就是同时不中。卖的时候是可以分联出售的。
我家对面的李先生和李太太最喜欢买爱国奖券了。李先生每期必定买同号奖券两联，李太太是买不同号的奖券各一联。李太太说她中奖的机会大，李先生说他中奖金额高。大家都好，各有道理。实际上呢？我们把这道题目列在问题类，请大家想想。
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