非紧急通知
具体方法如下：↓↓↓
当然，最终决定权在你的👆上～
ACTION
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前言
在声学研究中，有两个很重要的特征参数，分别是频率和振幅。关于振幅，“我们”在《名词解释 | 分贝是什么？》那一期已经探讨过了：
声波的振幅，用于表征声传播过程中介质扰动的强度。振幅可以是质点振动的位移、质点振动速度或其它相关物理量。在声学研究领域里，一般用声压变化幅度来表示。声学研究的压力变化范围大概是从10微帕到1兆帕。不过在声学领域一般不用帕斯卡来表述声波强度，而是用分贝（dB）。
D刚零，公众号：声声是道名词解释 | 分贝是什么？
这一期，让我们一起来复习一下与频率有关的知识。
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频率的定义
历史小知识：↓
1930年，国际电工委员会（International Electrotechnical Commission）正式取消“每秒周数”（cycle per second），用赫兹（Hertz）取而代之，作为频率的单位，符号为Hz，以纪念德国物理学家海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）的贡献。 https://zhuanlan.zhihu.com/p/398157164
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固有频率和共振频率
在你心里，有没有一种声音让你听了会蠢蠢欲动？甚至是热血沸腾？对于我，那就是篮球落地的声音，尽管我已经有很长一段时间不能畅快地打球了。“每个人的内心都可能存在一块净地，而我之所以觉得篮球的声音奇妙，包括球入网和球落地，可能是因为我的内心与它们产生了共鸣。”
D刚零，公众号：声声是道对于有些人，那个声音总能让他们蠢蠢欲动
轻敲
重敲
我们认为声音是我们听到的东西，即能产生噪音或信号的东西。但在纯物理学领域，声音只是一种通过物质传播的振动。 https://waitbutwhy.com/2016/03/sound.html
人类对声音的感知与频率有着密不可分的联系。
比如说，我们能区分do、re、mi、fa、sol、la、xi，就是因为它们的频率存在区别；我们能区分一个陌生人类声音出自于男性还是女性，主要也是因为它们的频率存在区别（周深等人除外）；……
所以，频率是怎么来的？回忆一下，除了物理课之外，数学课上学习三角函数的时候是不是也接触过频率（和相位）？比如说正弦函数：
f(x) = A·sin(wx+b)
A是振幅；（最小正）周期：T=2π/w；频率：f=1/T；相位：wx+b；当x=0时，函数f(x)的相位（b）就称为函数f(x)的初相。
博闻强识的你可能还记得：
sinx=cos(π/2-x)=cos(x-π/2)，等等
老师们可能会这么解释：正弦函数可以由余弦函数向右平移π/2得到。换句话说就是：相同频率和初相的正弦波和余弦波的相位差是π/2。
细心的你可能发现了，上面两张小小的图中～画了两个大大的箭头～但笔者还没好好地解释～
让我们将箭头所指区域放大，如下：
轻敲
重敲
风声小点了吧，那是时候聊聊传说中的傅里叶变换了。
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傅里叶变换
首先，傅里叶是Fourier的音译名。之前有几期用到频谱分析时都默认大家和傅里叶是熟人，这期必须简单介绍一下傅里叶和他的变换：
简译一下：
傅里叶分析是以Jean Baptiste Joseph Fourier（1768-1830）命名的， 他是法国数学家和物理学家。虽然许多人对该领域做出了贡献，但傅里叶因其数学发现和洞察到此技术的实际用途而名垂青史。傅里叶本人对热传播颇感兴趣，并在1807年向法国科学院提交了一篇论文，该论文的主旨是使用正弦曲线来表示温度分布。不过这篇论文包含了一个有争议的说法，即任何连续的周期性信号都可以表示为合理选择的正弦波的总和。而这篇论文的审稿人中有两位历史上最著名的人物，即拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）和拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace，1749-1827）。
虽然拉普拉斯和其他审稿人投票同意发表这篇论文，但拉格朗日坚决反对。近50年来，拉格朗日一直坚持认为“这种方法不能用来表示有角的信号，即不连续的斜率，如方波”。法国科学院屈服于拉格朗日的威望，并拒绝了傅里叶的工作。直到拉格朗日去世约15年后，这篇论文才最终发表出来。幸运的是，傅里叶还有其他事情可忙，比如政治活动、 与拿破仑一起远征埃及，以及在法国大革命后努力避免上断头台（字面意思！？）。
前面提到过，傅里叶变换用于将信号从时间域变换到频率域。换个角度说，一个信号可以表示为时间 t 的函数，也可以表示为频率 f 的函数。
用一个不太规范的式子表达就是：
$ = s(t) = S(f)
这里还是祭出那对让人闻风丧胆的公式吧：
问：傅里叶变换为什么可以（要）用三角函数（正弦波）来表示任意函数呢？
答：因为三角函数满足一个性质，彼此正交，即一个三角函数和其它的三角函数内积为零。用三角函数去表示任意函数，就像二维平面中，你可以用X轴和Y轴的单位向量去表示平面中的任意向量；三维平面中，你可以用X轴、Y轴和Z轴的单位向量去表示三维空间中的任意向量。在满足傅里叶变换条件的函数空间里，任意函数都可以用正弦和余弦函数来表示。而现实中许多现象都具有周期性变化规律，因此傅里叶变换以及它的追随者能够大放异彩。
关于傅里叶变换国内外有许多优秀的作品可供学习，感兴趣的朋友可以参考一下这些内容：
需要指出的是，纵使傅里叶变换在许多领域发挥了巨大的作用，它也只是芸芸众多数学变换的其中一种，它有自己的作用领域，当然也有自己的局限性（比如它无法直观地反映信号的时变特征）。
参考自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/29450754
后面找时机再和大家一起探讨探讨这些变换中的某几种吧～
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后记
本期一开始其实只是想解释一下频率，然后边整理、边复习、边思考，发觉振幅、频率、相位三者的物理意义离不开傅里叶变换。正如很多博主的优秀作品里都提到的：大学时代一些涉及到“傅里叶分析”的课程都略显枯燥，导致许多大学生毕了业只知道傅里叶是个牛逼的人，却不知道他干了什么牛逼的事。
惭愧地说，虽然本科时期的“数字信号处理”考试成绩还可以，但是真没搞清楚诸如“傅里叶变换”、“Z变换”等数学变换的神奇之处。而开始对“傅里叶变换”感兴趣应该是攻读硕士期间，那时候乐衷于自己用C语言编程处理地震资料（幸好那时候不知道MATLAB的香饽饽），结果连个“FFT”都搞不定，备受打击，开始在网上找资料，看到了一篇题为“为什么要进行傅里叶变换”的博文[5]，该文推荐了一本经典书籍，也就是我正文中提到两次的《The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing》，没记错的话这本书也是笔者磕完的第一本全英文教材类书籍，受益匪浅！以至于后来我都有点“崇洋媚外”了——遇到不懂的问题就先搜罗“洋教材”。（PS：本人的英文水平属于普通中的一般般～）
当然，这都是假象，毕竟听到“我的中国心”时，笔者是会“同频共振”的。
END.
参考资料：
[1] 徐龙道等. 物理学词典. 科学出版社，2004.
[2] https://www.zhihu.com/question/50501629/answer/135687117
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/23320350
[4] https://baijiahao.baidu.com/s?id=1737481667296386937
[5] 感谢这篇博文的原作者，网上版本太多，无从引用！
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