为什么要讨论完备性

丫丫的王国的博客

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完备性的讨论在初等数学分析中已经初现端倪，并且在泛函分析中占了更大的分量，但是很多上课的老师从不谈论完备到底是什么东西，为什么要讨论它，这里我就给出一个简单的解释，希望对在这一被人为复杂化的数学领域学习的人有所帮助。
在最早开始学数学分析时就会碰到连续统（这个词不知道是哪个猪翻译过来的，完全看不出是什么意思）的问题。在实数轴上我们将其分为自然数，有理数，无理数等。注意这种划分不是随意的，或者出于某个变态在学术上的需要，而是根据人类对数的认知过程来划分的。而实际上完备性正是从最初在讨论这种实数的过程中产生的。完备性就是指所使用的数域的完整性。举例来说，当人们最早是会数1，2，3时很多问题是无法解决的，因为当他们碰到存在某个方式（f(x)）将1映射到1和2之间就变得无能为力了。这个时候自然数这个数域对他们来说是不完备的，这个数域太小了，数和数之间缺了很多其它的数。随着时间的流逝，人们渐渐认识了在实数上所有的数，这个时候整个实数领域才变得完备了，因为它完美无缺了（如果有缺陷，整个高等的抽象数学都要重新来建立理论），再也找不到什么数是被目前所认识的实数所遗漏的了。不过这时候随着数学的抽象话，这个完备的理论才开始被人们重视。
在实际应用中我们常常不会用到整个实数领域，而可能只是用到其中的一小部分，这是完备性在解方程特别是积分方程中变得重要了起来。举一个例子：很可能我们要研究的一些问题，它们只被限制在（0，1]这样一个区间里，而我们正好又要研究在这个区间中(1/n)序列的特性，显然这个序列在这个区间中无法研究，因为我们无法达到当n趋于无穷时的值（这里是0），所以对于这个研究来说这个数域是不完备的。当然完备性不是针对某个特定的应用来说的，而是对某个数域（从抽象的角度来说就是空间）来说的，这里只是举个例子来说明。实际上在我们普通的日常经验或者初等数学的知识上来说，只有整个实数域是完备的，或者实数域上的连续数的闭区间是完备的，如[0,1]。因为在以他们为约束的条件下研究问题是不会遇到达不到的数的。
到了抽象领域，这一概念实际上才体现出了其真正的作用。不过要先清除，抽象的定义，这里不是完备这个词被抽象了，它的定义完全没有变，而只是对我们研究的问题抽象了。比如现在我们可以研究一些不是数的东西，比如电视机，或者录像机。当然先要用数字来表现他们的特征。更重要的在这里我们甚至可以将诸如'规则’这样抽象的东西来当作数字处理。比如我们可以研究函数f1(x)和f2(x)中f1和f2的关系，而抛开其具体在x上的取值不谈。从抽象的角度来说，我们将f1和f2看作某个以规则为数域的其中的两个数。就像1和2是R中的两个数，如果我们把这个以规则作为数域的空间称作X，那么f1和f2也只是X中的两个数而已。这时讨论完备性就是讨论目前这个空间X是不是完整的，会不会只是一个象有理数在实数中占的地位那样。如果不完备我们应尽力将其完备，以方便对它的研究，就像把Q扩展为R后我们就可以计算无理数了，或者可以真正的计算积分了（当然不完备也可以积分，但是总觉得怪怪的）。
在实际应用中，我们可以不像书上那样去一个一个的证明完备性，但是最好要心里清楚我们取得这个空间是不是完备的。比如将一个有限维空间的连续周期函数拆分为傅立叶级数的表示方法，如果空间不完备，那么有可能就无法用这个空间的基来表示这个傅立叶级数，失去了傅立叶级数这个强大的工具，实际应用就会变得很困难，因为我们很难得知这个函数的性质了。更重要地，在用傅立叶变换上就更要注意这个问题了，对于基来说变得不可数了，要想了解对于不完备的空间这个基群到底有多少是目前空间所达不到的，几乎就变得不可能了，当然可能可以在这上面定义某种类似L测度的概念从而能够了解他们比值的关系（不可达到的基比上整个不可数的基群）。

附注：这里对很多泛函的书的用语给个解释，否则很容易搞迷糊（至少我就是）。有这样一句句子：
“H空间有一个可数的稠密子集。”
这里稠密子集指的不是稠密集的子集，而是指H的子集，这个子集是个稠密集。也就是如果当这个稠密集封闭的化，就是H空间了。赫，汉语的优点不是吗，能把你理直气壮的搞糊涂，而突显出某些专家的高深。
下面是我的想法，可以不看。
其实数学如果只是针对实际应用是一门不难的学问，如果我们对于一些普遍性的数学理论能从一个实际例子来理解，那么就会发现一些普遍的数学概念是那么的简单，它只是看上去复杂罢了（不过证明就是另外一回事了）。对于那些被称为简单的数学记法，从一个不学数学的人的角度出发来看，简直就是那些变态的数学家人为设置的障碍。如果记号真的那么好，还要语言干嘛，大家都用甲骨文算了。世界大概也会变得和平点了。