汽车变速箱齿轮变位的理念探讨之五

(2013-08-03 11:25:00)

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3-3，分圆端面弧齿厚的计算   为了确定齿轮的齿厚，我们已知齿轮的几何参数m_n ，α_n ，β, Z和ξ。这里，要着重指出，α_S和α_n是产形齿条的齿形角，只有单个齿轮和齿条啮合，才能标定这个参数；节圆压力角α_P是齿轮和齿轮啮合时才具有的！

下面给出

S_s =分圆端面弧齿厚；

S_b =基圆弧齿厚；

t_s=产形齿条端面齿距=分圆端面齿距；

t_P =节圆端面齿距；

α_s=产形齿条端面齿形角=分圆端面压力角。

我们已知，齿条在基准位置的中线和节线重合，它们的齿厚和齿槽宽相等，都等于t_s／2。图3-3显示，齿条在标准位置切齿时为虚线齿形，后移X距离（变位）切齿时为实线齿形。我们知道，齿轮分圆与齿条节线是不可分开的，分圆在节线上纯滚动，因此，齿条节线齿槽宽等于齿轮分圆弧齿厚。在图3-4中，齿条节线的槽宽w_p等于中线线的槽宽w_S加上2Xtanα_S ，而w_s=πm_S／2, 所以，

S_S =w_p=πm_S／2+2Xtanα_S ………（A）

而   tanα_S =tanα_n／cosβ

和  Xtanα_S =ξm_n tanα_S

=ξm_ntanα_n／cosβ

=ξm_Stanα_n

代入（A）式后，可得 

S_S=πm_S／2+2ξm_S tanα_n……（B）

这里

W_P =齿条节线齿槽宽

w_S =被切齿轮齿槽宽

  从（B）式可以得出，分圆端面弧齿厚S_S为

 

 另外，从图（3-6）更可以直接看得清楚，分圆半个弧齿厚pb等于产形齿条节线pa。（为何pa等于齿条半个齿距？读者思考），

而          pa=m_nξtanα_s+πm_n／(4cosβ)=S_s ／2

所以可得 （3-6）式

3-4，避免根切的最小变位系数  变位能够避免齿轮根切。在前面的2-14一节中，已经说明，为了避免产生根切，展切齿条的齿顶尖角（圆角和直线的切点）不能越过根切极限，或称根切警戒线（图2-14）中的MU线）。采用正变位，齿条后移，正好解决这个问题。根切多发生在齿数少的齿轮，而且，多是直齿轮。例如汽车变速箱一档和倒档齿轮。但这种齿轮的受力大，不能有根切。采用多么大的变位量才能避免根切呢？以下将介绍这个问题。

图3-3显示，MK线为根切警戒线，虚线齿形，为齿条在基准位置它们的齿形。这时，齿条的节线和中线重合。齿条的齿顶尖角超过了MK线，产生了根切。齿条后移到根切极限MK位置时，刚好消除了根切。图中PM线为作用线，P点为节点，C为齿顶隙（=c_om_n）。

根切最小齿数Z_min和避免根切的最小变位系数     从图3-3可以看出，为了消除根切，齿条的齿顶尖角位置，必须在PM线之上。K为警戒线MK上的一个点。

 这里    PK=PMsinα_s,

PM= R sinα_s，

R=Zm_s ／2

所以 PK=Rsin²α_s=Zm_ssin²α_s／2…………..（3-7a）

我们取

Z_min=根切最小齿数

X=ξm_n=节线和中线的距离。

f_o=齿高系数;

m_s =端面模数;

R=分圆半径。

根切最小变位系数  图3-3显示正变位切出的实线齿形。节线和中线分开。齿条齿顶（尖角）正在根切警戒线KM上，就是处于刚刚不产生根切的位置。这时

X = f_o m_n －PK，

将（3-9a）式代入，可以得出，

X=f_o m_n －PK=f_o m_n－Z m_ssin²α_s／2

 可得变位齿轮的最小变位系数ξ_min和最小根切齿数Z_min

 

 

 

（3-7）式和（3-8）式是两个非常有用的公式，它即适用于直齿轮，也适用于斜齿轮。低档齿轮都应该效验根切问题。

另外，前面介绍的图（2-14）和（2-34）式，给出根切极限半径R_u(注：我尚未试用过，不知此式是否好用。这里只介绍给读者)为

R_u = R_bcosα_s =Rcos²α_s ………………..(2-34)

3-5，总变位量   或称变位量（代数）和。就是两个啮合齿轮的变位量代数和。

  我们有一个需要思考的问题，就是变位量的选取是否有限制？限制条件是什么？例如，两个齿轮都要增加齿厚，是否都可以任意增大？当然，我们首先想到的是，在中心距固定不变的前提下，两个齿轮的齿厚都增大了，是否会啮合不进去而卡死，或存有侧隙。应该是无隙啮合。

  总变位量的限制条件：一是中心距固定；二是两个齿轮无侧隙啮合。据此，可以建立以下的无隙啮合的条件方程式为

δ=t_p－(s_p1+s_p2)=0……….（3-9）

  图（3-6）显示两个变位齿轮的啮合状况。由于齿厚的改变，中心距必须由原来的两个分圆半径之和的A_O，增加到中心距A等于两个节圆半径之和，基圆没有变，即

R_b=Rcos_S

 

 

式中

t_p=节圆弧齿距；

s_p1=齿轮1的节圆弧齿厚；

s_p2=齿轮2的节圆弧齿厚；

δ=节圆的切向齿侧隙;

R_p1=齿轮1的节圆半径

R_p2=齿轮2的节圆半径

A=实际中心距

A_O=理论中心距

α_n=分圆法向压力角（产形齿条法向齿形角）

α_s=分圆端面压力角（产形齿条端面齿形角）

α_P=节圆压力角(啮合角)

W_P =节圆齿槽宽

首先要检验（3-9）式是否正确：这是要弄清的基本概念是，两个无隙啮合齿轮，它们的节圆弧齿距相等；它们的节圆弧齿厚等于相啮合的节圆弧齿槽宽。这是齿轮啮合的基本条件。

两个齿轮无隙啮合，它们的节圆相切。当做无滑动的纯滚动时，当节圆1转过一个弧齿距t₁时，节圆2也转过一个弧齿距t₂，这两段弧长相等。因为节圆齿距t_p为

t_p =

∴t_P1＝t_P2 =t_P = =……………（3-11）

因此，  =………………..(3-12)

还有，节圆1转过一个S_p1弧厚时，与之相啮合的节圆2，应该滚动弧齿槽宽W_p2，这两段弧长也必须相等

 即    S_P1 = W_P2      和  S_P2 = W_P1……..................（3-13a）

 因此    t₁= S_P1+ W_{P 1}=S_P1+ S_P2  ….………………（3-13b）

即      t_P=S_P1＋S_P2…………………………………（3-13）

从另外角度来讲，两个齿轮节圆弧齿厚之和必须等于节圆弧齿距。如果S_P1＋S_P2＞t_P，两个牙齿互相楔入，锁死，如果S_P1＋S_P2＜t_P，会有侧隙，不符合无隙啮合定义。

   因此，可以得出结论：（3-9）式是正确的。

3-5a，分圆齿厚所对的圆心角 我们已知分圆端面弧齿厚

 

从图（3-7）可知，半个分圆弧齿厚所对的圆心角∠cod，等于半个齿厚与分圆半径R之比，设 ∠cod=φ_S ，则

所以

3-5b，分圆端面弦齿厚  从图（3-7）可以看出

   S_{S C}=2Rsinφ_S

 

 

 

注：这里，我要指出，李特文③给出一个非常好的图（3-7），它不但逻辑性强、表达变位前（虚线齿形）后（实线齿形）的变化清晰、直观，而且令读者产生很多的概念联想。

例如，为什么节圆半径R_P ，加上下标1，标注为R_P1？使人联想和它啮合的是齿轮2，而不是齿条。如果不标注1，就是错误的图，因为单独齿轮，是没有节圆的。和齿条啮合的齿轮，也是没有节圆，而有分圆的。

又如，节圆压力角α_p的渐开线函数invα_p为什么不标注1？因为，齿轮1和齿轮2啮合，只有一个节圆压力角。

再如，图中所示为正变位（实线）齿形，虚线为未变位前齿形。如果反过来想，虚变实，实变虚，便是负变位齿轮。

另外，图中所示虚线齿形的圆心角（=π／Z），是它的齿厚(=πm_s／2)与它的分圆半径R₁（=Zm_s）之比。正变位后的齿厚增加量ΔS_s1为

ΔS_s1=2m_sξ₁tanα_n 

  再有，图（3-7）中是直齿轮齿形，我按斜齿轮来标注名词的。原苏联将产形齿条称之为工具齿条（инструментал-ьная рейка）。产形齿条的齿形角α_n 在端面为α_s，两个齿轮用一个齿条产出的，也不能标注为α_s1 。

3-5c，节圆弧齿厚S_P   半个节圆齿厚所对的圆心角∠aob，等于半个齿厚与节圆半径R_P之比，设 ∠aob=φ_P ，则

φ_P= 

式中   d_P =2R_P=节圆直径。

另外，从图3-7可以看出,圆心角∠aob等于分圆半个齿厚的圆心角∠cod减去(invα_P –invα_S)，设∠aob=φ_P ，则

∠aob=∠cod－(invα_P–invα_S)

即     φ_P=φ_S－（inv－inv ） …….（3-15A）

 

 

即   

 

或

 

因此

 

或从（3-15D）式，可得

 

3-5d，总变位系数ζ_C  从（3-9）式可知

t_P=S_P1＋S_P2…………………………………（3-17）

 

 

因为  t_p = =S_P1+S_P2

所以

=（3-15E）+（3-15F）

展开上式，并代入(3-12)式的Z₁／R_P1=Z₂／R_P2 

可得   2π=(3-15E)＋（3-15F）……………（A）

取    Z_C=Z₁+Z₂

ξ_C=ξ₁+ξ₂=总变位系数

代入（A）式，整理后可得

ξ_C =…………………(3-18)

式中

 

 

所以

 

式中

A_o =理论中心距

A_o=R₁+R₂=Z_Cm_S／2………………（3-20）

R =Zm_S／2=Zm_n ／cosβ…………..（3-21）

R_b=Rcosα_S=R_Xcosα_X……………….（3-22）

R_P=R_b／cosα_P = Rcosα_S／cosα_P.……（3-23）

这里  R_X =任意圆的半径；

α_X=任意圆R_X处的端面压力角；

3-6，齿顶的端面弧齿厚S_a  和节圆弧齿厚的证明方法相同。取

φ_a=齿顶的半个端面弧齿厚所对的圆心角；

R_a =外圆半径；

=齿顶圆端面压力角；

β_a=齿顶圆螺旋角。

参考图（3-7）和（3-15A）式、（3-15C）式，可得

φ_a=φ_S－（invα_a－inv）……..(3-24A)

φ_a = ………………….(3-24B)

 

因此可得齿顶端面弧齿厚为

 

 

另外一种S_a 的表达公式

φ_a=S_S／d－(invα_a－invα_S)……..(3-25A)

和

 

 

3-7，齿顶端面弦齿厚S_ac   图（3-8b）中的CV线为二分之一弦齿厚，因此

S_ac=2R_asinφ_a=d_a sinφ_a

 

式中有关参数，可从以下公式求得。

cosα_a =Rcosα_S／R_a………………………（3-27）

cosα_X =Rcosα_S ／R_X………………………（3-28）

从（2-36）式，可得

tanβ_a =R_a tanβ／R…………………...(3-29)

3-8，基圆弧齿厚      图（3-9a）给出基圆弧齿厚的相关图形。

我们取

S_b =基圆弧齿厚；

φ_b=基圆的半个端面弧齿厚所对的圆心角；

d_b =基圆直径；

从图（3-9a）可得

φ_b=φ_s+∠AOP=φ_s+invα_S

因为  φ_b=S_b／d_b ， φ_s=S_S／d

可得

 

 

和

     

 

3-37a，基圆端面弦齿厚S_bc 参阅图（3-9b）中的三角形OCV，可知

S_bc=d_bsinφ_b…………………….(3-32)

3-9，任意圆弧齿厚    

d_X =任意圆直径；

α_X=任意圆d_X端面压力角；

φ_S=分圆的半个端面弧齿厚所对的圆心角。

φ_X=任意圆的半个端面弧齿厚所对的圆心角；；

φ_S=分圆的半个端面弧齿厚所对的圆心角。

从图（3-8b）可得

φ_X=φ_b－∠AOC=φ_b－invα_X

 

和     S_X=d_X(S_b／d_b－invα_X)………（3-34）

任意圆端面弦齿厚S_XC 图（3-9b）中的CV线，为二分之一弦齿厚，从三角形OCV可知

S_XC=d_Xsinφ_X…………….（3-35）

这里    cosα_X=d_b ／d_X

3-10，中心距变位系数ξa  实际中心距A和理论中心距A_O之差

ΔA称为中心距变位量，即

         ΔA=A－A_O

要注意中心距变位  ΔA≠X₁+X₂

如果，ΔA=X₁+X₂，则有齿侧隙，这和建立的无隙啮合的理论不符。为了消除这个侧隙，必须减少中心距A，这说明ΔA＜X₁+X₂。

为了证明ΔA＜X₁+X₂（=m_nξ_C），李特文给出图（3-9）③。    这又是一个值得思考的图形。他将两个正变位X₁ 和X₂的齿轮，将中心距A等于分圆半径之和加上总变位，即，A=R₁+R₂+X₁+X₂=A_O+ X₁+X₂,放到一起。这样一来，它们的展切齿条的两条中线在cc线重合。

图中

X₁ =齿轮1的变位量；

X₂ =齿轮2的变位量；

aa=齿轮分圆1的切线，或齿条节线，

p₁ =分圆1的切点，或节点；

bb线是齿轮分圆2的切线，或齿条节线；

p₂=分圆2的切点，或齿条节点。

P₂ n₁、P₂ n₂ 、P₁ m₁和P₁ m₁ 都是产形齿条齿形的垂直线。

  我介绍这个问题的目的，是想通过图（3-10）来重温以下几个基本概念：

1），一对相同基准齿形齿轮，是用同一个产形齿条展切出来的；

2），正变位的齿条向后位移X距离，即节线始终和分圆相切，保持不动，中线向后位移远离齿轮中心。图中的X₁是齿轮1的分圆切线aa远离齿条中线的距离，说明是正变位量，X₂是齿轮2的分圆切线bb远离齿条中线的距离，也是正变位量；

3），根据Willis定理，过节点与齿形垂直的线是作用线，或接触线，是两个齿形的接触点所在的线。这就是说，P₂n₁线是齿轮2和齿条的作用线（啮合线、接触线），齿轮齿形和齿条齿形应该在n₁ 点接触。n₂ 、n₃ 、n₄点都应该是接触点。图（3-3）表明了这个概念。然而图（3-8）显示的却是齿侧隙。就是因为所安排的实际中心距A的原因。按照无隙啮合原则，中心距应该是符合公式（3-36）和（3-37）的关系。

 

invα_S=invα_P +2ξ_Ctanα_S ／Z_C...........（3-37）

  如果按照图（3-8）所安排的 A-A_O=m_nξ_C，显然，A和上述的（3-36）式不同。

中心距变位ΔA(=m_nξa)和总变位(m_nξ_C)的区别，首先，它们是两个不同的概念。ξa是两个齿轮中心距的单位模数的位移距离，ξ是产形齿条的单位模数的位移距离，

ξc=ξ₁+ξ₂……………………….（3-38）

ξa = = ………..（3-39）

式中，

A=实际中心距；

A_O=理论中心距= ；

Z_C=Z₁+Z₂。

一般说来，ξa＜ξ_C 。

3-9，变位系数的选取  变位系数是一个非常重要参数，它不但影响齿轮的强度，还影响齿轮啮合噪音。在我的“汽车齿轮设计”一书⑤中有较为详细的论述，这里就简单的介绍几个公式。

一般是在计算出总变位系数ξ_C之后，参考最小变位系数ξ_min后，再选取主动齿轮的变位系数ξ₁，最后从ξ_C=ξ₁ +ξ₂式，确定被动齿轮的变位系数ξ₂。

我是将汽车变速箱齿轮的变位系数的选取，分为高档和低档两个区域：1、2挡和倒挡为低档区，其余为高档区。高档区的齿轮在保证强度的基础上以噪音为主；低档区以强度为主。

3-3，分圆端面弧齿厚的计算   为了确定齿轮的齿厚，我们已知齿轮的几何参数m_n ，α_n ，β, Z和ξ。这里，要着重指出，α_S和α_n是产形齿条的齿形角，只有单个齿轮和齿条啮合，才能标定这个参数；节圆压力角α_P是齿轮和齿轮啮合时才具有的！

下面给出

S_s =分圆端面弧齿厚；

S_b =基圆弧齿厚；

t_s=产形齿条端面齿距=分圆端面齿距；

t_P =节圆端面齿距；

α_s=产形齿条端面齿形角=分圆端面压力角。

我们已知，齿条在基准位置的中线和节线重合，它们的齿厚和齿槽宽相等，都等于t_s／2。图3-3显示，齿条在标准位置切齿时为虚线齿形，后移X距离（变位）切齿时为实线齿形。我们知道，齿轮分圆与齿条节线是不可分开的，分圆在节线上纯滚动，因此，齿条节线齿槽宽等于齿轮分圆弧齿厚。在图3-4中，齿条节线的槽宽w_p等于中线线的槽宽w_S加上2Xtanα_S ，而w_s=πm_S／2, 所以，

S_S =w_p=πm_S／2+2Xtanα_S ………（A）

而   tanα_S =tanα_n／cosβ

和  Xtanα_S =ξm_n tanα_S

=ξm_ntanα_n／cosβ

=ξm_Stanα_n

代入（A）式后，可得 

S_S=πm_S／2+2ξm_S tanα_n……（B）

这里

W_P =齿条节线齿槽宽

w_S =被切齿轮齿槽宽

  从（B）式可以得出，分圆端面弧齿厚S_S为

 

 另外，从图（3-6）更可以直接看得清楚，分圆半个弧齿厚pb等于产形齿条节线pa。（为何pa等于齿条半个齿距？读者思考），

而          pa=m_nξtanα_s+πm_n／(4cosβ)=S_s ／2

所以可得 （3-6）式

3-4，避免根切的最小变位系数  变位能够避免齿轮根切。在前面的2-14一节中，已经说明，为了避免产生根切，展切齿条的齿顶尖角（圆角和直线的切点）不能越过根切极限，或称根切警戒线（图2-14）中的MU线）。采用正变位，齿条后移，正好解决这个问题。根切多发生在齿数少的齿轮，而且，多是直齿轮。例如汽车变速箱一档和倒档齿轮。但这种齿轮的受力大，不能有根切。采用多么大的变位量才能避免根切呢？以下将介绍这个问题。

图3-3显示，MK线为根切警戒线，虚线齿形，为齿条在基准位置它们的齿形。这时，齿条的节线和中线重合。齿条的齿顶尖角超过了MK线，产生了根切。齿条后移到根切极限MK位置时，刚好消除了根切。图中PM线为作用线，P点为节点，C为齿顶隙（=c_om_n）。

根切最小齿数Z_min和避免根切的最小变位系数     从图3-3可以看出，为了消除根切，齿条的齿顶尖角位置，必须在PM线之上。K为警戒线MK上的一个点。

 这里    PK=PMsinα_s,

PM= R sinα_s，

R=Zm_s ／2

所以 PK=Rsin²α_s=Zm_ssin²α_s／2…………..（3-7a）

我们取

Z_min=根切最小齿数

X=ξm_n=节线和中线的距离。

f_o=齿高系数;

m_s =端面模数;

R=分圆半径。

根切最小变位系数  图3-3显示正变位切出的实线齿形。节线和中线分开。齿条齿顶（尖角）正在根切警戒线KM上，就是处于刚刚不产生根切的位置。这时

X = f_o m_n －PK，

将（3-9a）式代入，可以得出，

X=f_o m_n －PK=f_o m_n－Z m_ssin²α_s／2

 可得变位齿轮的最小变位系数ξ_min和最小根切齿数Z_min

 

 

 

（3-7）式和（3-8）式是两个非常有用的公式，它即适用于直齿轮，也适用于斜齿轮。低档齿轮都应该效验根切问题。

另外，前面介绍的图（2-14）和（2-34）式，给出根切极限半径R_u(注：我尚未试用过，不知此式是否好用。这里只介绍给读者)为

R_u = R_bcosα_s =Rcos²α_s ………………..(2-34)

3-5，总变位量   或称变位量（代数）和。就是两个啮合齿轮的变位量代数和。

  我们有一个需要思考的问题，就是变位量的选取是否有限制？限制条件是什么？例如，两个齿轮都要增加齿厚，是否都可以任意增大？当然，我们首先想到的是，在中心距固定不变的前提下，两个齿轮的齿厚都增大了，是否会啮合不进去而卡死，或存有侧隙。应该是无隙啮合。

  总变位量的限制条件：一是中心距固定；二是两个齿轮无侧隙啮合。据此，可以建立以下的无隙啮合的条件方程式为

δ=t_p－(s_p1+s_p2)=0……….（3-9）

  图（3-6）显示两个变位齿轮的啮合状况。由于齿厚的改变，中心距必须由原来的两个分圆半径之和的A_O，增加到中心距A等于两个节圆半径之和，基圆没有变，即

R_b=Rcos_S

 

 

式中

t_p=节圆弧齿距；

s_p1=齿轮1的节圆弧齿厚；

s_p2=齿轮2的节圆弧齿厚；

δ=节圆的切向齿侧隙;

R_p1=齿轮1的节圆半径

R_p2=齿轮2的节圆半径

A=实际中心距

A_O=理论中心距

α_n=分圆法向压力角（产形齿条法向齿形角）

α_s=分圆端面压力角（产形齿条端面齿形角）

α_P=节圆压力角(啮合角)

W_P =节圆齿槽宽

首先要检验（3-9）式是否正确：这是要弄清的基本概念是，两个无隙啮合齿轮，它们的节圆弧齿距相等；它们的节圆弧齿厚等于相啮合的节圆弧齿槽宽。这是齿轮啮合的基本条件。

两个齿轮无隙啮合，它们的节圆相切。当做无滑动的纯滚动时，当节圆1转过一个弧齿距t₁时，节圆2也转过一个弧齿距t₂，这两段弧长相等。因为节圆齿距t_p为

t_p =

∴t_P1＝t_P2 =t_P = =……………（3-11）

因此，  =………………..(3-12)

还有，节圆1转过一个S_p1弧厚时，与之相啮合的节圆2，应该滚动弧齿槽宽W_p2，这两段弧长也必须相等

 即    S_P1 = W_P2      和  S_P2 = W_P1……..................（3-13a）

 因此    t₁= S_P1+ W_{P 1}=S_P1+ S_P2  ….………………（3-13b）

即      t_P=S_P1＋S_P2…………………………………（3-13）

从另外角度来讲，两个齿轮节圆弧齿厚之和必须等于节圆弧齿距。如果S_P1＋S_P2＞t_P，两个牙齿互相楔入，锁死，如果S_P1＋S_P2＜t_P，会有侧隙，不符合无隙啮合定义。

   因此，可以得出结论：（3-9）式是正确的。

3-5a，分圆齿厚所对的圆心角 我们已知分圆端面弧齿厚

 

从图（3-7）可知，半个分圆弧齿厚所对的圆心角∠cod，等于半个齿厚与分圆半径R之比，设 ∠cod=φ_S ，则

所以

3-5b，分圆端面弦齿厚  从图（3-7）可以看出

   S_{S C}=2Rsinφ_S

 

 

注：这里，我要指出，李特文③给出一个非常好的图（3-7），它不但逻辑性强、表达变位前（虚线齿形）后（实线齿形）的变化清晰、直观，而且令读者产生很多的概念联想。

例如，为什么节圆半径R_P ，加上下标1，标注为R_P1？使人联想和它啮合的是齿轮2，而不是齿条。如果不标注1，就是错误的图，因为单独齿轮，是没有节圆的。和齿条啮合的齿轮，也是没有节圆，而有分圆的。

又如，节圆压力角α_p的渐开线函数invα_p为什么不标注1？因为，齿轮1和齿轮2啮合，只有一个节圆压力角。

再如，图中所示为正变位（实线）齿形，虚线为未变位前齿形。如果反过来想，虚变实，实变虚，便是负变位齿轮。

另外，图中所示虚线齿形的圆心角（=π／Z），是它的齿厚(=πm_s／2)与它的分圆半径R₁（=Zm_s）之比。正变位后的齿厚增加量ΔS_s1为

ΔS_s1=2m_sξ₁tanα_n 

  再有，图（3-7）中是直齿轮齿形，我按斜齿轮来标注名词的。原苏联将产形齿条称之为工具齿条（инструментал-ьная рейка）。产形齿条的齿形角α_n 在端面为α_s，两个齿轮用一个齿条产出的，也不能标注为α_s1 。

3-5c，节圆弧齿厚S_P   半个节圆齿厚所对的圆心角∠aob，等于半个齿厚与节圆半径R_P之比，设 ∠aob=φ_P ，则

φ_P= 

式中   d_P =2R_P=节圆直径。

另外，从图3-7可以看出,圆心角∠aob等于分圆半个齿厚的圆心角∠cod减去(invα_P –invα_S)，设∠aob=φ_P ，则

∠aob=∠cod－(invα_P–invα_S)

即     φ_P=φ_S－（inv－inv ） …….（3-15A）

 

 

即   

 

或

 

因此

 

或从（3-15D）式，可得

 

3-5d，总变位系数ζ_C  从（3-9）式可知

t_P=S_P1＋S_P2…………………………………（3-17）

 

 

因为  t_p = =S_P1+S_P2

所以

=（3-15E）+（3-15F）

展开上式，并代入(3-12)式的Z₁／R_P1=Z₂／R_P2 

可得   2π=(3-15E)＋（3-15F）……………（A）

取    Z_C=Z₁+Z₂

ξ_C=ξ₁+ξ₂=总变位系数

代入（A）式，整理后可得

ξ_C =…………………(3-18)

式中

 

 

所以

 

式中

A_o =理论中心距

A_o=R₁+R₂=Z_Cm_S／2………………（3-20）

R =Zm_S／2=Zm_n ／cosβ…………..（3-21）

R_b=Rcosα_S=R_Xcosα_X……………….（3-22）

R_P=R_b／cosα_P = Rcosα_S／cosα_P.……（3-23）

这里  R_X =任意圆的半径；

α_X=任意圆R_X处的端面压力角；

3-6，齿顶的端面弧齿厚S_a  和节圆弧齿厚的证明方法相同。取

φ_a=齿顶的半个端面弧齿厚所对的圆心角；

R_a =外圆半径；

=齿顶圆端面压力角；

β_a=齿顶圆螺旋角。

参考图（3-7）和（3-15A）式、（3-15C）式，可得

φ_a=φ_S－（invα_a－inv）……..(3-24A)

φ_a = ………………….(3-24B)

 

因此可得齿顶端面弧齿厚为

 

 

另外一种S_a 的表达公式

φ_a=S_S／d－(invα_a－invα_S)……..(3-25A)

和

 

 

3-7，齿顶端面弦齿厚S_ac   图（3-8b）中的CV线为二分之一弦齿厚，因此

S_ac=2R_asinφ_a=d_a sinφ_a

 

式中有关参数，可从以下公式求得。

cosα_a =Rcosα_S／R_a………………………（3-27）

cosα_X =Rcosα_S ／R_X………………………（3-28）

从（2-36）式，可得

tanβ_a =R_a tanβ／R…………………...(3-29)

3-8，基圆弧齿厚      图（3-9a）给出基圆弧齿厚的相关图形。

我们取

S_b =基圆弧齿厚；

φ_b=基圆的半个端面弧齿厚所对的圆心角；

d_b =基圆直径；

从图（3-9a）可得

φ_b=φ_s+∠AOP=φ_s+invα_S

因为  φ_b=S_b／d_b ， φ_s=S_S／d

可得

 

 

和

     

 

3-37a，基圆端面弦齿厚S_bc 参阅图（3-9b）中的三角形OCV，可知

S_bc=d_bsinφ_b…………………….(3-32)

3-9，任意圆弧齿厚    

d_X =任意圆直径；

α_X=任意圆d_X端面压力角；

φ_S=分圆的半个端面弧齿厚所对的圆心角。

φ_X=任意圆的半个端面弧齿厚所对的圆心角；；

φ_S=分圆的半个端面弧齿厚所对的圆心角。

从图（3-8b）可得

φ_X=φ_b－∠AOC=φ_b－invα_X

 

和     S_X=d_X(S_b／d_b－invα_X)………（3-34）

任意圆端面弦齿厚S_XC 图（3-9b）中的CV线，为二分之一弦齿厚，从三角形OCV可知

S_XC=d_Xsinφ_X…………….（3-35）

这里    cosα_X=d_b ／d_X

3-10，中心距变位系数ξa  实际中心距A和理论中心距A_O之差

ΔA称为中心距变位量，即

         ΔA=A－A_O

要注意中心距变位  ΔA≠X₁+X₂

如果，ΔA=X₁+X₂，则有齿侧隙，这和建立的无隙啮合的理论不符。为了消除这个侧隙，必须减少中心距A，这说明ΔA＜X₁+X₂。

为了证明ΔA＜X₁+X₂（=m_nξ_C），李特文给出图（3-9）③。    这又是一个值得思考的图形。他将两个正变位X₁ 和X₂的齿轮，将中心距A等于分圆半径之和加上总变位，即，A=R₁+R₂+X₁+X₂=A_O+ X₁+X₂,放到一起。这样一来，它们的展切齿条的两条中线在cc线重合。

图中

X₁ =齿轮1的变位量；

X₂ =齿轮2的变位量；

aa=齿轮分圆1的切线，或齿条节线，

p₁ =分圆1的切点，或节点；

bb线是齿轮分圆2的切线，或齿条节线；

p₂=分圆2的切点，或齿条节点。

P₂ n₁、P₂ n₂ 、P₁ m₁和P₁ m₁ 都是产形齿条齿形的垂直线。

  我介绍这个问题的目的，是想通过图（3-10）来重温以下几个基本概念：

1），一对相同基准齿形齿轮，是用同一个产形齿条展切出来的；

2），正变位的齿条向后位移X距离，即节线始终和分圆相切，保持不动，中线向后位移远离齿轮中心。图中的X₁是齿轮1的分圆切线aa远离齿条中线的距离，说明是正变位量，X₂是齿轮2的分圆切线bb远离齿条中线的距离，也是正变位量；

3），根据Willis定理，过节点与齿形垂直的线是作用线，或接触线，是两个齿形的接触点所在的线。这就是说，P₂n₁线是齿轮2和齿条的作用线（啮合线、接触线），齿轮齿形和齿条齿形应该在n₁ 点接触。n₂ 、n₃ 、n₄点都应该是接触点。图（3-3）表明了这个概念。然而图（3-8）显示的却是齿侧隙。就是因为所安排的实际中心距A的原因。按照无隙啮合原则，中心距应该是符合公式（3-36）和（3-37）的关系。

 

invα_S=invα_P +2ξ_Ctanα_S ／Z_C...........（3-37）

  如果按照图（3-8）所安排的 A-A_O=m_nξ_C，显然，A和上述的（3-36）式不同。

中心距变位ΔA(=m_nξa)和总变位(m_nξ_C)的区别，首先，它们是两个不同的概念。ξa是两个齿轮中心距的单位模数的位移距离，ξ是产形齿条的单位模数的位移距离，

ξc=ξ₁+ξ₂……………………….（3-38）

ξa = = ………..（3-39）

式中，

A=实际中心距；

A_O=理论中心距= ；

Z_C=Z₁+Z₂。

一般说来，ξa＜ξ_C 。

3-9，变位系数的选取  变位系数是一个非常重要参数，它不但影响齿轮的强度，还影响齿轮啮合噪音。在我的“汽车齿轮设计”一书⑤中有较为详细的论述，这里就简单的介绍几个公式。

一般是在计算出总变位系数ξ_C之后，参考最小变位系数ξ_min后，再选取主动齿轮的变位系数ξ₁，最后从ξ_C=ξ₁ +ξ₂式，确定被动齿轮的变位系数ξ₂。

我是将汽车变速箱齿轮的变位系数的选取，分为高档和低档两个区域：1、2挡和倒挡为低档区，其余为高档区。高档区的齿轮在保证强度的基础上以噪音为主；低档区以强度为主。

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