(1)众所周知三角形有3个顶点、3个边和1个区域面,四边形有4个顶点、4个边和1个区域面;那么继续推理五边形、六边形以及其他多边形呢?首先完成下表
通过该公式可以解决很多问题,例如一个平面图上有9个区域,每个顶点对应3条边,求该平面图的顶点数和边数?
首先设该平面图顶点数为x,边数为y,根据公式则有:
x + 9 - y = 1
又因为每个顶点对应3条边而每条边对应2个顶点,则有:
y = 3x / 2
结合公式可得
x + 9 - 3x / 2 = 1
解得 x=16,y=24
通过在平面上的推断过程可知,在多面体上同样存在规律;
依次可以推出所有的多面体中三者关系都是顶点数 + 区域数 - 边数 = 2;这个公式就是欧拉公式。
通过欧拉公式可以解决很多问题,例如一个足球表面有多少个正五边形和多少正六边形?
首先一个足球有32块皮子, ,一般用黑和白,黑的是正五边形,白的是正六边形;
设黑皮x块,则白皮32-x块,顶点数V, 棱数E
由欧拉公式可得:
V + 32 - V = 2
因为每一条棱两块皮共用,所以可得
[ 5x + (32-x)6 ] / 2= E
每一个顶点3块皮共用可得
[ 5x +(32-x)6 ] / 3 = V
解得x=12 所以黑皮的五边形为12块,白皮六边形为20块
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