1.3.2连续复利
在此之前关于复利期数的讨论给出了按离散时间间隔计算利息的离散复利的计算方法。如果每年复利期数变成无限多，那么这样的计息方式就被称为连续复利。如果我们想要对连续复利使用将来值公式，就需要求解式（1-3）中将来值因子在m→∞（每年复利期数无穷多）时的极限值。于是，N年以连续复利计息的一次性投资的将来值的数学表述为：
ersN这项是指超越数e≈2.7182818的rsN次方。大部分金融计算器都含有函数ex。
例1-6按连续复利计息的一次性投资的将来值
假设一笔10000美元的两年期投资将获得8%的连续复利。我们可以利用式（1-4）计算其将来值如下：
与例1-4中按季度计息的11716.59美元相比，这里虽然使用了相同的利率，但是它是以连续复利进行计息的，这一变化使得10000美元的投资在两年内增长到了11735.11美元。
表1-1列举了以8%报价年利率的一项1美元的初始投资分别按年度、半年度、季度、月度、日和连续复利计息，在1年年末产生不同数量美元的情况。（结果保留到小数点后6位）
表1-1复利频率对于将来值的影响
正如表1-1所示，所有6种情况都具有相同的8%的报价年利率，但是它们的期末美元数量却因为不同的复利频率而不同。按年度复利计息，其期末值为1.08美元。更加频繁的复利会产生更大的期末数值。按连续复利计息的期末美元数量在所有报价年利率为8%的投资中所获得的收益最大。
表1-1同样也显示了按8.16%年度复利计息的1美元投资将会在1年年末增长到与按8%半年度复利计息的1美元投资相同的将来值水平。这一结果使得我们了解到报价年利率与有效年利率（effective annual rate，EAR）之间的区别。（附息银行存款的有效年收益，在美国用的术语是年百分比收益（annual percentage yield，APY），而在英国用的是等价年利率（equivalent annual rate，EAR）。相反，年度百分比利率（annual percentage rate，APR）度量的是以年利率表示的借款成本。在美国，年百分比利率是通过期间利率乘以每年付息次数的数目得到的。因此，一些作者常使用年百分比利率作为报价年利率通常的同义词。然而，年百分比利率是一个具有法定含义的术语；它的计算遵从各国所各自规定的标准。因此，"报价年利率"是年利率（在一年中不进行复利计息的）首选的最一般的术语表述。）对于按半年度复利的8%的报价年利率来说，其有效年利率为8.16%。
1.3.3报价利率和有效利率
因为报价年利率并不直接给出将来值，所以我们需要一个反映其有效年利率(EAR)的公式。对于按半年度复利计息的8%的年利率，我们将在计息期间（每半年）中以4%的利率计息。在1年的期间中，1美元的投资将增长到＄1(1.04)2=＄1.0816，如表1-1所示。该1美元的投资所获得的利息为0.0816美元，它代表了8.16%的有效年利率。有效年利率可以按如下公式计算：
期间利率是报价年利率除以m，其中m为1年中复利期间数。利用表1-1，我们可以求得有效年利率为：（1.04）2-1=8.16%。
有效年利率的概念可以用到连续复利上。假设我们有一个8%的连续复利利率。我们可以用与上面相同的方式寻找适当的将来值因子，来求得其有效年利率。在这个例子中，一个1美元的投资将会增长到＄1e0.08(1)=＄1.0833。在这一年中所获得的利息代表有效年利率8.33%，它要比半年度复利计息的有效年利率8.16%大，因为利息的复利更加频繁了。在连续复利的情况下，我们可以求解得到如下有效年利率：
我们可以逆向使用离散复利和连续复利的有效年利率公式，来得到与给定有效年利率相对应的期间利率。假设我们想要知道给定半年度复利计息的8.16%的有效年利率所对应的确切的期间利率是多少，那么我们可以利用式（1-5）来对期间利率进行求解：
要计算与有效年利率8.33%相对应的连续复利利率（以连续复利计息的报价年利率），我们可以去寻找满足式（1-6）的利率：0.0833=ers-1
要解这个方程，我们可以在两边同时取自然对数（回忆一下，ers的自然对数是lners=rs）。因此，ln1.0833=rs，最终求得rs=8%。于是，我们了解到以连续复利计息的8%的报价年利率与8.33%的有效年利率是等价的。
1.4现金流序列的将来值
在这一节中，我们考察现金流序列，包括等额的与不等额的两种类型。我们将先介绍一组在对分布于多个时间期间的现金流进行估值计算时常用的术语。年金（annuity）是指一组有限的等额现金流序列。
·普通年金（ordinary annuity）是指首笔现金流发生在一个期间段之后（标注为时点t=1）的年金。
·预付年金（annuity due）是指首笔现金流在当前即刻（标注为时点t=0）发生的年金。
·永续年金（perpetuity）是指无限期的年金，或者一组永不终结的等额现金流序列，其首笔现金流发生在一个期间段之后。
1.4.1等额现金流序列──普通年金
考虑一个每年以5%利率支付的普通年金。假设我们先后有5笔等时间间隔（1年）发生的1000美元存款，其中首笔支付发生在t=1时刻。我们的目标是求解这组普通年金在t=5时刻（最后一笔存款发生后）的将来值。这里，考虑的时间间隔是1年，因此最后一笔支付发生在5年之后。如图1-3的时间轴上所示，我们可以利用式（1-2）［FVN=PV（1+r）N］来得到每笔1000美元存款在时点t=5上的将来值。图1-3中的箭头都是从支付时点指向t=5时点。例如，首笔在t=1时点发生的1000美元存款将在4个期间上复利。使用式（1-2），我们可以计算得到其在t=5时点的将来值为＄1000(1.05)4=＄1215.51。用类似的方法，我们可以计算得到所有其他支付的将来值。（注意，我们所要计算的是在t=5时点上的将来值，因此最后一笔支付不会获得任何利息。）现在我们得到了所有支付在t=5时点上的将来值，然后可以将这些将来值加总，从而得到该年金的将来值，其值为5525.63美元。
图1-35年期普通年金的将来值
如果我们将年金支付额记为A，支付期数记为N，每期利率记为r，那么我们就可以得到一般的年金计算公式。我们可以定义将来值为：
该公式可以简化为：
在括号中的项是将来值年金因子。这个因子给出了每期支付1美元的普通年金的将来值。将年金支付额乘以将来值年金因子就可以得到该组普通年金的将来值。对于图1-3中的普通年金来说，我们可以从式（1-7）中求得将来值年金因子为
当年金每期支付额A=＄1000，该年金的将来值为＄1000(5.525631)=＄5525.63，与我们之前的计算结果是一致的。
下面的例1-7说明了如何使用式（1-7）来计算普通年金的将来值。
例1-7年金的将来值
假设你公司的固定供款退休金计划允许你每年投资20000欧元。你计划在未来的30年，每年投资20000欧元于股票指数基金之中。从历史上来看，该基金平均每年将带来9%的收益。假设你每年确实能够获得9%的收益，那么在你最后一次付款后可获得多少财富以备退休之需呢？
解：利用式（1-7）来求解将来值：A=20000
假设基金每年能够持续地平均获益9%，那么你将在退休时拥有2726150.77欧元的财富。
1.4.2不等额现金流序列
在许多情况下，现金流序列并不是等额的，这就使我们无法简单地利用将来值年金因子来进行计算。例如，某位个人投资者可能有一个储蓄计划，该计划会根据年度中月份的不同进行不等额的现金支付或者会在计划的度假期间减少储蓄额。我们总是可以通过每次计算其中一笔现金流的将来值来求得该不等额现金流序列的将来值。假设你有如表1-2所示的5笔现金流，所标注的时点是相对于当前（t=0）时点的。
表1-2一组不等额现金流和其在5%利率水平下的将来值
所有的支付如表1-2所示是不同的。因此，求解在t=5时点将来值的最直接的方法就是计算每笔支付在t=5时刻的将来值，然后将所有单个的将来值进行加总。如表中第三列所示，在第5年年末总的将来值为19190.76美元。在本章的后面部分，你将会学到当现金流接近等额时的快捷计算方法；这些快捷的计算方法会使你将年金计算与单期现金流计算相联系。
1.5单笔现金流的现值
1.5.1求解单笔现金流的现值
正如将来值因子把今天的现值与明天的将来值相联系，现值因子使我们把将来值折现到现值。例如，如果已知5%的利率在1年后会产生105美元的收益，那么我们在当前要投资多少资金才能于1年后以5%利率获得105美元?这个答案是100美元；因此，100美元就是1年后获得的105美元以5%利率进行折现所获得的现值。
给定N期后所获得的未来现金流和单个期间的利率r，我们可以利用将来值公式直接求解其现值如下：
我们可以看到，式（1-8）中的现值因子1/(1+r)N就是将来值因子［(1+r)N］的倒数。
例1-8一次性投资的现值
一家保险公司发行了一个担保投资合同（Guaranteed Investment Contract，GIC），该合同承诺在6年后以8%的回报率支付100000美元。那么，投保者现在必须投资多少资金才能以8%的利率在6年后获得该承诺的支付？
解：我们利用下列数据和式（1-8）来求解其现值：
我们可以认为今天投资的63016.96美元，在8%的利率水平下，等价于在6年后收到的100000美元。当对于货币时间价值进行考虑时，未来的100000美元经过贴现将与今天的63016.96美元等价。如图1-4中的时间轴所示，100000美元被折现到6个完整期间之前的0时点。
图1-4在时点t=6收到的一次性支付的现值
例1-9更远未来的一次性投资的投影现值
（此处投影现值（projected present value）指的是将10年后的100000美元折算为4年后的价值，而非折算为当前的价值。——译者注）
假设你拥有一份流动性的金融资产，它将在10年之后支付给你100000美元。由于你的女儿计划在4年后上大学，因此，你想知道该资产在那个时候的现值是多少。给定8%的贴现率，该份资产在4年后的价值是多少？
解：这份资产的价值是其承诺支付额的现值。在t=4时点上，其现金支付将在6年后收到。有了这些信息，你可以利用式（1-8）求解4年后的资产价值：
图1-5中的时间轴上标出了在t=10时刻收到的未来支付100000美元。时间轴上同样也标出了其在t=4时刻和t=0时刻的价值。相对于t=10时刻的支付，在t=4时刻的金额是一个投影现值，而t=0时刻的值是现值（即今天的价值）。
图1-5现值与将来值之间的关系
现值问题需要利用现值因子(1+r)-N对现金流进行估值计算。现值与贴现率和期数之间的关系表现为如下几个方面：
·对于一个给定的贴现率，未来金额收到的时间越晚，该金额的现值就越小。
·给定时间长度不变，贴现率越大，将来金额的现值就越小。
