导读
1、作为西学东渐--海外文献推荐系列报告第八十七篇，本文推荐了Qiao X , Yan S , Deng B于2018年发表的论文《Downside Volatility-Managed Portfolios》。
2、作为资产配置中风险敞口的度量，波动率是投资者非常关注的指标，本文对下行波动率与波动率的关系进行了探索，并研究其在资产配置中的意义。
3、尽管下行波动率和波动率的整体相关性较高，但在历史最不稳定的时期这两个指标的相关性明显下降。本文研究了下行波动率管理的多空因子组合以及行业投资组合的表现，发现下行波动率相较于波动率管理的因子和投资组合有显著的正alpha；本文还研究了均值方差模型中下行波动率管理的投资组合的优点：加入下行波动率管理的投资组合可以提高切线组合的夏普比率，并将有效边界扩展到更理想的区域。
4、在此基础上，作者使用类似的方法检验了上行波动率的意义，发现上行波动率在相同背景下对投资并无裨益。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
1、引言
波动的概念在金融中至关重要，自Markowitz（1952）发表了现代投资组合理论中这一开创性工作以后，学者和从业人员都将波动作为风险衡量的关键指标。学者们记载了有关波动率的经验事实，并提出了观察波动率的模型；从业人员跟踪投资策略的波动率，并利用市场波动来衡量投资者的情绪。总而言之，波动率一直是无数学术研究和行业报告的讨论主题。
在计算波动率时，无条件均值的正偏差和负偏差被同等对待，即当波动率很高时，投资者经历较大上升趋势与较大下降趋势的可能性相同；但是投资者可能并不认为上升和下降趋势具有相同的风险：市场快速上涨10%可能值得庆祝， 但若急剧下降10%就会给投资者带来巨大的痛苦。
波动率需要计算全部收益率的标准差，与之不同的是，在计算下行波动率时使用的收益率需低于某一阈值。下行波动率是一种风险度量指标，相对于广为流传的波动率所受到的关注也相对较少。由于下行波动率和波动率并不总是呈现同步的变化，观察波动率和下行波动率的走势可以帮助投资者区分整体风险和下行风险，因此跟踪两者可以为风险管理人员提供更多的信息，从而帮助投资者做出更明智的投资决策。
我们将下行波动率定义为符合条件的收益率与平均收益率的偏差，而不是与下行观测指标条件均值的偏差。我们的构造提供了一种简单的分解方法：总方差是下行方差和上行方差的加权平均值，权重分别与下行和上行观察的次数成正比。
股票收益率分布趋于对称，因此下行波动率和波动率通常高度相关。对于8个多空因子和49个纯多头行业构成的组合，下行波动率与波动率之间的相关性约为90%。实际上，在大萧条或大金融危机之类的经济衰退期间，下行波动率和波动率的数值都是非常高的。
在极端情形下，波动率和下行波动率可能会产生较大的差别。当两者都升高时，它们的相关性就会大大降低。在历史上波动最大的12个月内，下行波动率与波动率之间的尾部相关性介于-50%至95%之间，大多数值介于20%至60%之间。混合回归结果显示，在最不稳定的月份中，波动率变化1%只会导致下行波动率增加0.4%-0.5%。极端波动时期中下行波动率和波动率有显著的区别，此时恰恰是对两者的跟踪最有价值的时候。
波动率通常用作投资组合管理的输入项。Moreira和Muir（2017）的研究表明，与原始投资组合相比，由波动率管理的投资组合能产生较大的alpha值并具有更高的夏普比率，他们通过条件波动率的倒数改进了诸如价值、动量之类的著名因子，并证明这些组合扩大了投资机会。
我们研究了下行波动率管理的投资组合表现，发现它们扩大了投资者的机会集合，下行波动率管理的因子组合和行业组合比其原始定义下的组合表现更优。基于下行波动率定义的因子和行业投资组合与原始组合的回归结果显示下行波动率管理的组合有更大的alpha值；下行波动率管理的投资组合可以引入新的多样化收益序列，而原始投资组合并不能涵盖这部分收益。
我们将下行波动率管理的资产组合与Moreira和Muir（2017）提出的波动率管理的投资组合进行比较，发现本文投资组合的收益增强大于Moreira和Muir（2017）所提出的方法。对下行波动率管理的投资组合与波动率管理的投资组合进行回归，8个因子中有6个因子有较大的alpha且具有统计显著性；49个行业投资组合中有39个组合的alpha为正，且有23个行业组合每年的alpha超过了1%。
本文还在均值-方差模型的框架中对下行波动率管理的投资组合与Moreira和Muir（2017）提出的波动率管理的投资组合进行了比较。尽管将波动率管理的投资组合与原始组合相结合可以提高后验切线组合的夏普比率，但若加入下行波动率管理的投资组合能进一步提高夏普比率。原始8因子切线组合的夏普比率为1.41；原始8因子与结合波动率管理组成新的后验组合的夏普比率为1.84；当我们在此基础上加入下行波动率管理的投资组合时，夏普比率提高到2.04。使用49个行业组合所构成切线组合的夏普比率为1.28；添加波动率管理的投资组合后夏普比率提高到2.28，进一步将下行波动率管理的投资组合添加到组合中可以将夏普比率提高到3.22。且在以上测试中，夏普比率的改善具有统计显著性，经Ledoit 和Wolf（2008）检验p值均接近0。在实际投资中，尽管投资者可能无法完全实现如此高的夏普比率，但通过比较后验有效边界的范围，本文证明了投资者可以通过纳入下行波动率管理的投资组合来扩大其机会集。
下行波动率管理的投资组合可以扩大投资机会，但上行波动率管理的投资组合不能，因为上行波动率管理的投资组合不包含波动率管理的投资组合以外的补充信息。由上行波动率管理的8个因子中有6个相对于波动率管理的因子有负的alpha值，上行波动率管理的49个行业组合中有43个相对于波动率管理的行业组合有负的alpha值。
Markowitz（1959）提出半标准差的概念来衡量下行风险，我们发现使用Markowitz（1959）定义的下行波动率管理的投资组合也能扩大投资机会集合为投资者增加价值，因为波动率管理的投资组合不能完全覆盖和解释在半标准差定义下的下行波动率管理的投资组合。
Markowitz（1959）对上行风险和下行风险进行了区分，其推荐使用半方差来代替方差，因为它是一种实际可行的风险度量。Hogan和Warren（1974），Bawa和Lindenberg（1977）以及Harlow和Rao（1989）等学者将该思想延拓到均衡资产定价的框架中。与这些研究相比，我们的工作更多侧重于投资组合管理与下行波动率的关系，而不是全面的资产定价框架。
Moreira 和Muir（2017）与我们的研究最为接近，他们证明了与原始因子相比，波动率管理的因子可以改善投资者的机会集。Moreira和Muir（2017）与我们的方法之间的主要区别是组合风险敞口的定义方式，Moreira和Muir（2017）使用了波动率，而我们认为由于投资者对上行风险和下行风险的偏好不对称，下行波动对投资组合管理有一定的用处。使用下行波动率管理的投资组合不同于使用波动率管理的投资组合，它有更具吸引力的风险收益特性，因为下行波动率和波动率并不总是高度相关，所以下行波动率相对于波动率管理的投资组合能够增加价值。
文章的结构安排如下：
第一部分：介绍下行波动率的概念，并将其与波动率进行比较；
第二部分中：我们分别使用单变量（8个多空因子和49个行业组合）对原始投资组合和由波动率管理的投资组合进行比较；
第三部分展示了由下行波动率管理的投资组合如何扩展后验有效边界；
第四部分研究了上行波动率的特征，并证明了上行波动率不能有效扩大投资机会集合；
最后一部分是全文的总结。
2、下行波动率
2.1
方差分解
2.2
数据
为了进行分析，我们使用Ken French网站上的Fama French（1992，2015）因子的日收益率和月收益率以及按照特征分类的投资组合。我们获得了Fama French（1992）因子每日和每月的收益率，以及1926年7月至2018年1月的短期和长期反转因子，以及1963年7月至2018年1月的Fama French（2015）因子。我们还使用了French网站中49个行业投资组合每日以及每月的收益率。
2.3
下行波动率VS波动率
我们沿用Moreira和Muir（2017）的方法，使用日度收益计算每月的波动率以及下行波动率。从1926年7月至2018年1月，我们使用公式1和公式2计算月度的波动率，便于进行比较，我们还用公式2计算了上行波动率的数值。本文计算了多个因子的波动率，包括市场超额收益因子（RMRF），规模因子（SMB），价值因子（HML），动量因子（MOM），盈利能力因子（RMW），投资因子（CMA），短期反转因子（STRev）和长期反转因子（LTRev），除此之外还计算了49个行业投资组合的波动率。
图表1的上半部分展示了波动率与下行波动率之间的相关性，下半部分展示了两者的尾部相关性。对于单个收益率序列，我们使用波动率最高的12个月来计算尾部相关性，尾部相关性展示了在最不稳定的时期内波动率和下行波动率的变化是否具有一致性。在以上8个多空因子和49个行业投资组合中，我们发现波动率和下行波动率的变化具有同步性，两个指标之间的无条件相关性为93%。平均而言，波动率较高时下行波动率的数值往往也较高。
在最动荡的月份中，波动率和下行波动率的变化不一定具有同步性。对于市场超额收益因子，波动率和下行波动率之间的无条件相关性为94%，但是在最不稳定的12个月中，它们的条件相关性仅为55%。整体而言波动率和下行波动率的变化趋于同步，但在最动荡的区间中它们可能会有所不同，全部因子和行业组合的平均尾部相关性仅为58%。
由于数据有限，尾部相关性难以估计。在本文中我们使用12个月的数据来计算尾部相关性，但同时也增加了样本量作为代价，为了解决这个问题，我们决定合并所有收益序列的尾部指标以了解尾部波动率和下行波动率之间的平均关系。对于每个收益序列，我们从波动最高的12个月中来收集波动率度量指标，然后我们将包含了8个因子和49个行业组合的所有度量指标进行结合。
图表2展示了在最不稳定月份中所有投资组合的下行波动率与波动率的散点图。合并样本后的最佳拟合直线的回归系数为0.48，R2为57%，如果波动率和下行波动率相关性极高，回归系数将接近1.0，最佳拟合线将接近45度的斜线。然而数据显示，如果最不稳定月份的波动率提高1%，则同一个月测得的下行波动率可能仅提高0.48%，图上的大多点都位于45度斜线的下方。
以上的证据表明，波动率和下行波动率不是对风险的同一度量方式。人们诟病下行波动率的收益分布趋于对称，所以不能提供其他信息；但是我们的研究结果表明，波动率并不完全包含下行波动率中的信息，同时跟踪两者可以更好地了解策略的风险状况。
3、利用下行波动率管理投资组合
Moreira和Muir（2017）指出，波动率管理的因子不能完全被原始因子所解释，他们考虑了一些与我们相同的因子，包括RMRF，SMB，HML，MOM，RMW和CMA。也许会有人质疑我们在图表4中的结果是否为Moreira和Muir（2017）结果的产物，以及下行波动率与波动率的高度相关性。
我们仍旧使用公式6和7中因子扩充检验方法(spanning test)来研究由下行波动率管理的行业组合。对于这两种回归，我们都在自变量和因变量中减去了一个月的国库券收益率，因此自变量不能解释风险溢价，但是回归截距可以解释风险溢价。我们在图表6中展示了公式6的截距及其t统计量。
与因子投资组合相同，由下行波动率管理的行业投资组合并不能被原始行业投资组合完全解释。49个投资组合中有48个具有正截距，只有1个具有较小的负截距。36个行业投资组合每年的截距超过3%，在调整了敞口之后的行业组合比与原始投资组合的表现更加出色，而且在49行业中有29个的t值具有统计显著性。
图表7展示了下行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合的测试结果。19个基于下行波动率管理的投资组合的年均截距不低于2%，相较于波动率管理的投资组合具有显著的改善效果。49个组合中有10个组合具有负截距，表明波动率管理的投资组合能完全解释这些行业的下行波动率所管理的投资组合。对所有的组合进行截距的显著性检验，有7个组合的正截距在统计上是显著的，而所有负截距在统计上均不显著。从整体来看，尽管在各个行业之间存在着差异，但基于下行波动率管理的行业投资组合相较于波动率管理的投资组合扩大了投资机会。
本节中的结果是基于上文“方差分解”部分中下行波动率定义的基础所得到的。我们研究了使用下行波动率的另一种定义时的结果变化，该定义为收益率为负的条件下收益率与均值的偏差（Markowitz 1959），本节的结果也同样成立。在下行波动率管理的投资组合与波动率管理的投资组合的回归中，8个因子中的4个因子具有较大的正截距，行业投资组合中有14个组合每年的截距均大于2%，且没有较大的负截距。
4、拓展后验有效边界
根据上一节的结果，与原始投资组合或基于波动率管理的投资组合相比，基于下行波动率管理的投资组合可以扩大投资者的机会集合，以上的比较都是在收益系列之间的单变量中进行的。在实践中投资者可能投资于多个因子或多个行业组合，因此了解投资机会集合的整体变化非常重要。本节我们将研究下行波动率管理的组合可以在多大程度上拓展投资组合的后验有效边界。
考虑Fama French（1992）因子RMRF、SMB和HML，使用这三个因子形成的后验切线投资组合[1]的夏普比率为0.52；这些因子再加上波动率管理的相应变量，构成了夏普比率为0.71的切线组合[2]；在此基础上在若纳入下行波动管理的相应因子，切线组合[3]的夏普比率上升至0.87；我们使用Ledoit和Wolf（2008）的模型检验夏普比率是否相等，该方法考虑了异方差性和厚尾分布。我们拒绝了不包含下行波动率管理的投资组合[2]与下行波动率管理的投资组合[3]具有相同夏普比率相等的原假设，这表明下行波动率管理的投资组合显著提高了切线组合的夏普比率。我们同样拒绝了排除或包含波动率管理的投资组合具有相同的夏普比率的原假设（[1]和[2]）。
下行波动率管理的投资组合扩大了由原始组合以及波动率管理的投资组合形成的投资机会集合，夏普比率的改善在统计上是显著的。这种结论适用于不同的因子组合，例如Carhart（1997）四因子，反转因子，Fama French（2015）五因子以及上文中全部的8个因子。
公式8中的投资组合权重没有大于0的限制，这就自然引出了与因子空头头寸相关的成本问题。由于波动率管理的因子和下行波动率管理的因子均由原始因子衍生而来，因此它们具有相同的底层股票，只是头寸可能不同。结合了原始因子，波动率管理的因子和下行波动率管理的因子的投资组合应该比原始因子更难交易，因为标的股票的头寸可以进行净额结算。在进行股票的净头寸结算之后，某些在原始因子投资组合中持多头头寸的股票可能会变为空头头寸，反之亦然。我们推荐拥有足够资源来进行原始多空因子交易的投资者可以构建新的投资组合，同时也不会过多增加滑点。
图表8中夏普比率的提高不一定来自于因子组合中的空头头寸，空头头寸的规模通常不小于-20%，但波动率管理的FF3因子中的SMB和HML的切线组合除外（-31%和-37%）。为了了解空头的仓位对夏普比率的影响，我们将公式8中的负仓位调整为0，并对剩余权重进行标准化使得最终权重为1。与不包含这些因子的投资组合相比，包含下行波动率管理因子的投资组合仍然大幅提高了夏普比率。我们还解决了投资组合优化问题，即在非负权重的约束下如何最大化组合的夏普比率，结果类似于将公式8中的负权重简单转换为零。实际上，下行波动率管理的投资组合可以提供强大的分散化能力，使原始因子、基于波动率管理和下行波动率管理的等权投资组合比仅使用原始因子和波动率管理因子的等权投资组合具有更高的夏普比率。
图表8中夏普比率的提高不是由于增加尾部风险驱动的。Goetzmann等（2007）认为投资经理可以通过调整投资组合的尾部风险特征来优化夏普比率，从而操控业绩表现。我们调查了使用波动率管理和下行波动率管理的因子组成的切线组合，发现与使用原始因子的切线组合相比，它们的尾部风险似乎并不高。我们使用切线组合的最低日收益率，1%的在险价值（VaR）和最大跌幅等指标来衡量组合的尾部风险，经测试图表8中由下行波动率管理的投资组合[3] 的尾部风险要低于原始投资组合[1]。因此，我们的结果不是增加尾部风险带来的。
我们在图表9中比较了不同因子组合的后验有效边界。我们解决了Markowitz（1952）的投资组合问题：对于不同水平的预期收益，如何最小化投资组合的标准差。有效边界由大量独立的数据点组合而成，实线描绘了8因子投资组合的均值-方差有效边界，虚线描绘了加入波动率管理的因子后所形成的有效边界，点划线描绘了在此基础上添加8个下行波动率管理的因子后所构建的有效边界。
在预期收益与标准差的关系图中，每个点具有特定的风险-收益特征。对于资产A，其左上方区域有较高的预期收益率和较低的波动率，基于风险和收益的考虑，位于其左上方区域的资产B相较于资产A将更具吸引力，如果投资者获得了B区域的投资机会，投资集合将得到改善。将波动率管理的因子添加到八个原始因子中可以改善投资者的机会集：虚线的有效边界位于实线的左上方；添加下行波动率管理的因子进一步扩大了投资机会，点划线的边界位于虚线边界和实线边界的左上方区域。
图表10展示了不同行业组合的后验均值-方差有效边界，实线所示的边界基于原始的49个行业投资组合，虚线描绘了加入波动率管理的行业组合后所形成的有效边界，点划线描绘了在此基础上添加下行波动率管理的组合后所构建的有效边界。与我们的因子组合的结果相似，与49个原始投资组合相比，尽管基于波动率管理的投资组合扩大了投资机会，但加入由下行波动率管理的行业组合进一步扩展了波动较低且收益较高的区域。
与Moreira和Muir（2017）的原始投资组合和波动率管理的投资组合相比，下行波动率管理的投资组合扩大了投资者的机会，加入下行波动率管理的投资组合能够提高切线组合的夏普比率。我们在本节中的发现证实了我们先前的结果，即基于下行波动率管理的组合不能被原始投资组合或波动率管理的投资组合所覆盖和解释。无论在单变量还是多变量环境中，下行波动率管理的投资组合都通过扩大投资机会集合的方式为投资者提供了实际价值。
5、上行波动率VS下行波动率
对我们研究的一种潜在质疑在于结果可能是机械而没有逻辑的， 我们只是简单地发现了一种与波动率不完全相关的指标，自然而然的，使用该指标管理投资组合与波动率管理的投资组合不会完全相关，因此加入不完全相关的组合能提高原有组合的收益风险比。
为了解答以上的疑虑，我们利用同样与波动率不完全相关的上行波动率来管理投资组合风险。如果简单地纳入不完全相关的组合可以扩大投资机会，则上行波动率管理的资产组合效果应与下行波动率类似。
图表12展示了基于行业回归的截距及其t统计量，49个行业检验的截距中只有6个为正数，12个截距项在5%显著性水平下为负。与因子组合一样，由波动率管理的行业投资组合也可以完全涵盖和解释由上行波动率管理的行业投资组合。
我们验证了下行波动率可以显著改善投资组合的收益风险比，且这不仅仅是简单且机械的结果。尽管上行波动率、下行波动率两者与波动率的相关性几乎相同，但由上行波动率管理的风险组合并不能改善投资者的投资机会集合，波动率管理的投资组合包含上行波动率管理的投资组合中的所有可用信息。
6、结论
在本文中，我们发现下行波动率作为重要的风险度量方式，可以为投资者提供波动率无法捕捉的额外价值。尽管下行波动率和波动率整体来看平均相关性很高，但在历史最不稳定的时期这两种指标的表现有所不同：下行波动率和波动率之间的无条件相关性约为90%，而在最不稳定的12个月中，他们的相关性约为55%，混合回归的结果表明，在尾部区域若波动率增加1%，下行波动率仅增加0.4%-0.5%。高波动代表市场不确定性增加，这恰好是观察下行波动率和波动率最有利的时间。
我们研究了波动率管理的多空因子组合以及行业投资组合的表现，当下行波动率较高时我们降低风险敞口；当下行波动率较低时，我们提高风险敞口。而且下行波动率管理的投资组合不会被原始投资组合或Moreira和Muir（2017）提出的波动率管理的投资组合所覆盖或解释。我们还研究了均值方差模型中下行波动率管理的投资组合的优点：加入下行波动率管理的投资组合会提高切线组合的夏普比率，并将有效边界扩展到更理想的区域。事实证明，下行波动率在投资组合管理中很有用，而上行波动率在相同背景下对投资者并无裨益。
在本文中我们只关注了美国股票市场的情况，一个有趣的研究方向是将我们的分析扩展到其他的国家市场中，在国际市场中下行波动率和波动率有何区别？下行波动率对投资组合管理有用吗？另一个有意思的研究方向是对其他类别的资产进行研究，包括债券，货币和商品等。如果本文的结论适用于不同的国家和资产类别中，那么下行波动率可能具有共同的系统性成分，了解其共同成分可以帮助我们构建更稳健的投资策略和更卓越的风险管理系统。
参考文献
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风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成， 在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
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注：文中报告节选自兴业证券经济与金融研究院已公开发布研究报告，具体报告内容及相关风险提示等详见完整版报告。
证券研究报告：《西学东渐--海外文献推荐系列之八十七》。
对外发布时间：2020年7月30日
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