01 同学们都知道, 表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,试探索:
(1)|5-(-2)| =________.
(2)同理 |x+5|+|x-2| 表示数轴上有理数x所对应的点到-5和2所对应的两点距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得 |x+5|+|x-2| =7,这样的整数是________.
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x, |x+6|+|x-3| 是否有最小值?如果有,写出最小值;如果没有,说明理由.
【解答】
解:(1)原式=|5+2|=7;
( 2 )令x+5=0或x-2=0时,则x=-5或x=2
当x<-5时,
∴-(x+5)-(x-2)=7,-x-5-x+2=7,x=-5(范围内不成立)
当-5<x<2时,
∴(x+5)-(x-2)=7,x+5-x+2=7,7=7,
∴x=-4,-3,-2,-1,0,1
当x>2时,
∴(x+5)+(x-2)=7,x+5+x-2=7,2x=4,x=2,x=2(范围内不成立)
∴综上所述,符合条件的整数x有:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2;
(3)解:当-6≤x≤3的时候, | x + 6 | + | x − 3 |=x+6-x+3=9,故最小值是9.
【总结】
(1)由于绝对值符号本身具有括号的作用,先算绝对值符号里面的减法,再根据绝对值的意义去掉绝对值符号;
(2)令x+5=0或x-2=0时,则x=-5或x=2找出界点,然后分①x<-5时,②-5<x<2时,③x>2时,④x=5时,⑤x=2,5种情况根据绝对值的意义去掉绝对值符号,判断是否符合题意,再找出这些范围内的整数即可;
(3)根据两点之间线段最短,故当数轴上表示x的点位于-6与3之间的距离的时候x到-6的点的距离,与x到3的点的距离之和就是点-6表示的点与表示3的点之间的距离,根据两点之间线段最短即可得出答案。
02 同学们,我们都知道:|5-2|表示5与2的差的绝对值,实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|表示5与-2的差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,试探索:
(1)|﹣4+6|=________;|﹣2﹣4|=________;
(2)找出所有符合条件的整数x,使|x+2|+|x-1|=3成立;
(3)若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间,求|a+4|+|a﹣6|的值;
(4)当a=________时,|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小,最小值是________;
(5)当a=________时,|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小,最小值是________.
【解答】
(1)|﹣4+6|=|2|=2,|﹣2﹣4|=|-6|=6;故答案为 2或6;
(2)解:此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3,由于1到-2 的距离就是3,,故当-2≤x≤1的时候即可满足条件,又因为x是整数,所以x的值可以为:-2,-1,0,1.
(3)解:∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间,∴a+4>0,a﹣6<0,∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;
(4)此题可以理解为数轴上一点到1,-5,4的距离的和最小,根据两点之间线段最短,故当a表示的数是1的时候,|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小,当a=1的时候,|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9;
(5)此题可以理解为数轴上一点到1,-2,3,-4…-2n,(2n+1)的距离和最小,根据两点之间线段最短,故当a=1的时候,|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小,最小值是2n+2n+1=4n+1.
【总结】
(1)由于绝对值符号具有括号的作用,先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的,再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可;
(2)此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3,由于1到-2 的距离就是3,,从而找出1到-2 的整数即可;
(3)根据有理数的加减法法则,首先判断出a+4>0,a﹣6<0,再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可;
(4)此题可以理解为数轴上一点到1,-5,4的距离的和最小,根据两点之间线段最短,故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候,即可使其值最小,然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可;
(5)根据(4)的规律,此题可以理解为数轴上一点到1,-2,3,-4…-2n,(2n+1)的距离和最小,根据两点之间线段最短,故当a=1的时候,其值最小,最小值是2n+2n+1=4n+1.
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