蒯因：论现代逻辑的应用

论现代逻辑的应用
【作 者】W.V.O.蒯因
【作者简介】蒯因(Willard Van Orman Quine)(1908-2000)，哲学博士，生前为哈佛大学哲学系教授，博士生导师，20世纪美国最有影响的哲学家和逻辑学家之一
【译 者】孙伟平
【内容提要】现代逻辑的价值和意义，在于其在理论上的应用。对于纯数学的基础和结构来说，现代逻辑是一种非常有用的工具，包括哥德尔不完全性定理等，都利用了现代逻辑的技术和成果。某些现代逻辑技术已经广泛应用到了工程学之中，例如，计算机工程就基于现代逻辑的高级成果。反过来，这些应用又刺激了逻辑理论本身取得更多的进步。
【关 键 词】逻辑/现代逻辑/数学/工程学/应用

迄今为止，现代逻辑的重要性可能会被说成是——在某种程度上，用自相矛盾的术语来说——在于其理论上的应用。根据对于纯数学的基础和结构的大多数理论调查，现代逻辑作为一种工具是最为有用的，并且，这是一种相当玄妙的功用，它主要刺激了逻辑的现代发展。
因此，我们可以考虑一下哥德尔1931年提出的那个著名的定理(即哥德尔第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是无矛盾的，那么就是不完全的。或者说，包含初等数论在内的协调的或无矛盾的形式系统F中，都存在有不可判定的命题，即存在命题S，S和S的否定在F中都不能证明)。这一定理是真的本身就令人十分惊奇了，而它能够得到证明，就更加令人惊叹不已。它是一个严格的、用一种从数论的其它语句中逻辑地推出一些语句的方式表达的、关于什么能够做和什么不能够做的数学定理；为了证明它，对于什么才算作逻辑上的推出，哥德尔不得不做到数学上精确而明晰，而传统的数学家们却没有这样做。因而，正是逻辑的现代数学的形式化，为哥德尔确立其高度理论化的结论(即完全数论的不可能性)，提供了一个不可或缺的实践工具。这是许多情形之中的一种，但是，公正地说，却是最著名的一种，在提高我们对于发生在数学中的事情的理论理解力方面，现代逻辑已经给我们提供了一种实践工具。
可以用另一种风格来证明，贯穿于数学中的大多数问题都是应用逻辑的问题。例如，不妨考虑一下仍然没有解决的哥德巴赫猜想：每个偶数都是两个素数之和。现在，在不知道哥德巴赫猜想是真的、还是假的的情况下，我们能够写下一个数论的确定的复杂的真语句T，以此表明，如果哥德巴赫猜想是假的，那么，它的否定是合逻辑地从T推出的。另一方面，假如哥德巴赫猜想是真的，当然，它的否定就不是从T推出的。因此，哥德巴赫的问题等值于纯粹的逻辑问题：是否某个已经指定的语句——哥德巴赫猜想的否定——是通过逻辑、独立地从已经指定的语句T中推导出来的。
因此，一般化地，对于任何数学猜想S：如果我们产生了一个已知的真T，然后表明，也许是S的语句，或者也许是它的否定，假如T为真的话，它一定跟随T而来，那么，我们因而就将S的问题归结为一个逻辑问题。哥德巴赫的问题在被归结为逻辑问题上，并非是那么不常见的；对于许多其它问题而言，也是如此，如包括著名的弗默特( Fermat) 问题，在过去的三个世纪里，它就一直锻炼着一些最优秀的大脑。
哥德巴赫和弗默特的问题都是给人留下深刻印象的例子。但是，对于哥德巴赫和弗默特的问题，我所要说的是，在现代逻辑的技术这一部分，很明显还没有什么伟大的解决问题的工具。仅仅在问题逻辑方面，它有多么丰富是显而易见的。我要说的仅仅是，哥德巴赫问题、弗默特问题、以及其它类似的问题，都能够变换为逻辑上可以推断的问题，而不是这些问题在这种变换下，比其它问题更有可能获得解决。它是一种特意设计的考虑，与其说是颂扬数理逻辑技术的存在，不如说是促使数理逻辑技术的提高。
存在着这样一类技术，无论如何，是令人印象深刻的。如同数学中其它部分的技术一样，它们可以分成两个部分：释义的和解题的。在高校代数练习中，所显现出来的区分是如此的鲜明：首先，我们将词语表达的问题变成一种方程式，然后，我们来解这一方程式。同样地，在现代逻辑中，首先，我们将一个问题释义为一个最适应已知的推演或赋值技术的典型的记号，然后，我们用那些技术推动问题的解决。
现在，在代数中，就像我们大多数人所记得的一样，释义的预备运算除非作为一种达到方程式的求解的手段，否则将令人毫无兴趣。在逻辑中，另一方面，预备运算因其自身之故，证明有强烈的兴趣。因为，它提供了一种敏锐的概念分析，一种只要我们的语句还隐含在日常语言中，因而还未被揭示的基本结构的展示。通过将日常谈论释义为现代逻辑专门设计的惯用语所提供的深刻理解，对哲学的进程具有显著的影响。在科学锻造的20世纪哲学家中，的确，“逻辑分析”是一句口号。特别是，释义为逻辑记号的事业在数学哲学中已经带来了空前的进步——这一进步同时也是现代逻辑的一个结果、一个主要动机。
在现代逻辑中，当释义完成之后，还有相应的解决用方程式表示的代数的事情的强有力的技术：这个时候，技术被用来检验或探索逻辑公式表达的逻辑蕴涵之间的关系。但是，必须要加以说明的是，直到现在，这些新技术的实际应用，相较这一议题诱使一个人所期望的巨大的普遍性，一直还不是那么重要、那么普遍。确实，这些技术已经用来加快先前涉及到的更多的劳作和经常的摸索的步伐，但是，与数学的各种分支应用于物理学时所起的作用相比较，它们还没有发挥什么作用。
将来，无论如何，它们可能会更好一些。在罗马数字时代，与幂和不同的方程式相关的问题，不仅仅只是解决的困难的问题；因为缺乏适当的概念和记号，它们根本就没有出现。现代逻辑的概念系统，在日常语言的原始框架中，同样在完全不会出现在我们身上的问题中，是丰富的。有些这样的问题，随着自然科学逐渐形成对于现代逻辑的充分认识，会证明是与自然科学密切相关的，就如同幂和微分问题所作的一样；于是，现有的现代逻辑的解决问题的技术，会证明它们对于自然科学的价值。如果通过与数学中其它地方的事件相类比，我们就能够预知，更多的逻辑技术于是也会得到发展，以便适应自然科学的特别需要。
的确，有少量的现代逻辑技术已经被集中地应用到了工程学之中。具有讽刺意味的是，它们却是逻辑中最为基础的部分：真值函项理论。真值函项本质上就是日常语言中的“非”、“并且”和“或者”，它运用于复杂的语句中，组成一个复合句，复合句的真或假以一种明显可指明的方式、依赖于成分语句的真或假。C.香农( Claude Shannon) 发现了真值函项逻辑在电路设计中的一种有价值的应用。“并且”和“或者”与电路的关联是这样的：如果电路末端是由开关A和B串联分开的，那么，仅仅在A和B都关闭的情况下，电路才能关闭；如果它们是由开关A和B并联分开的，那么，只要在A或者B关闭的情况下，电路就会关闭。仅仅打开一个开关，“非”也进入了这一图景。这种对应的一个后承是：将简化一个复杂电路的非常实用的问题、为一个给定的工作设计一个最具简单可能性的电路的问题，归纳为简化一个真值函项公式的逻辑问题。
更具讽刺意味的是，尽管真值函项逻辑，不像大多数现代逻辑那样，在达到琐碎的程度方面是容易而简单的，但是，简化真值函项公式的一般性问题被证明是困难的。如果你依靠“非”、“并且”和“或者”将一些句子组合成一个复合句，结果确实会如你所希望的那样，其意义显而易见，其逻辑行为会很简单。但是，令人好奇的一点是，这样一种组合通过渐次简化的明显步骤，总是不能变换成一种最简单的等值式。12年前，拿我来说，我将假定反对命题作为一件理所当然的事，并自信地希望在短期之内找到适当的、很少的容易步骤集。然而，却没有发现这样的步骤集。穷尽所有可能性的缺乏想象力的方法，作为发现最简单的等值式的手段，的确是可用的、明显的、经久不衰的；但是，当有关的复合句是由很多分句构成时，这样的方法由于会达到天文数字的长度，而变得不现实了。

在一般情况下，渐次简化的直截了当的方法是不可能的。间接的方法仍然是所希望的，无论如何，它涉及更少的阻碍性的穷举过程。在这一方向，已经取得了进步，并且，为了促进这一进步，人们正在付出更多的努力。在电子工程方面的需要的压力之下，对准这一目的的相当一批理论正在发展之中。因为，计算机器的繁荣已经在为了给定的目标、发现最简单的电路方面，设立了一大笔奖金。在美国，建立了许多机构，有些是商业性的，有些是政府的，那里的研究正在根据计算机器和自动机的设计进行；并且，现在它似乎成了平常的事情，在这样的中心，有些研究机构正在从事试图设计出日益强大的简化真值函项公式的技术的工作。我知道，在某种程度上，在俄罗斯和澳大利亚也同样如此，而且毫无疑问，在其它的国家也是这样。在数学杂志、手册和计算机工程杂志上，论述简化真值函项公式问题的出版物，正在以不断增长的频率出现。问题已经达到了这一要点：涉及到的部分问题是如此地制定简化技术，以致在贯彻它们之时，能够谋取计算机器的帮助。因而，计算机正日益扮演简化计算机设计的工具的角色。
存在一种非常明确的意见，在其中，真值函项的逻辑可能会被说成不过是一个简单的、甚至是微不足道的主题。意见是这样的：在逻辑的这一部分中，逻辑蕴涵或等值的每一个专门问题都能够通过常规计算加以解决。用技术语言来说，这就是真值函项的逻辑是有效的的意思。现代逻辑的下一个更严肃的部分，即大家所知的量词逻辑或谓词逻辑，是并非有效的。在这一领域，确实仍然存在一个一般的计算程序，藉此，每一个蕴涵或等值的专门问题都能肯定地加以解决，假如正确答案恰好是肯定的的话；但是，通过任何一种可靠的程序，一般不能获得否定的答案，就如同A·丘奇( Alonzo Church) 1936年所证明的那样。这种不彻底的有效性现今有时表达为：量词逻辑是可构造的。至于数论，它确实不是可构造的；这就是一种让哥德尔定理早一些谈到的方式。
在如下一点上，存在着一些令人惊奇的理由：真值函项的逻辑，似乎是微不足道的、但实际上却达到了有效性的程度，应已证明了它处于计算机工程的如此中心的地位；而在如下一点上，存在着更多令人惊奇的理由：相关的问题应该证明是如此地难于处理。
但是，现代逻辑的更高的部分，不那么令人惊奇的、但却是以更深刻的方式，也与计算机工程相关。随着机械头脑逐渐适应了越来越远地超越纯粹的算术计算的目的，程序设计的事情被赋予了日益增长的重要性；这一事情，说得更精确些，就是如此分析和解释一个问题，以至于将它本身组织进一台机器制造出来能够承担的步骤，从而促成它的解决。程序设计又类似于学校代数学的那些旧事，即将用言辞表达的短语问题变成经得起代数处理的机械学检验的方程式。因而，它也类似于现代逻辑中将日常语言翻译成逻辑符号的事情。在上述两种情况下，有人可能会争辩说，这只不过是类比：将用言辞表达的给定的问题变成代数方程式或逻辑公式，本身就是某种与机器计算类似的程序设计。按照确定的运算规则，为公式的系统操作准备其自身的方式。
在为真正的机器的问题进行编程之时，一定会有大范围的、我早先区分过的两种逻辑技术的应用：既会有将问题释义成有效的可操作的公式的技术，又会有巧妙地处理结果的技术。在逻辑技术与编程相关的限度内，它们也一定会与机器设计相关；因为，编程与设计是相互作用的一种事业，倾向于任一方，都将会使另一方受益。
逻辑理论的如此应用可能是人们所期望的，而且，它也刺激了逻辑理论本身取得更多的进步。在任何理论的应用过程之中，这都是一种合理的期望，但是，在目前情况下，它特别的强烈。因为编程的需要突出了概念分析中的清晰性和形式化；此外，它使概念上的经济学兴盛了起来；而且，它还以一种从未有过的、向后盯着传统的思想形式的方式，回报了分析的新颖路径。一个十分引人注目的事实是，编程为迄今一直由理论逻辑学家为了纯粹哲学或美学原因而耕耘的、众多的那种严密、想象力、以及概念的经济学，提供了一种绝对的金钱上的动机。在这里，抽象理论和实际应用之两极，看起来像是聚合在一起了，与它们在原子裂变技术中所做的差不多。
在逻辑理论和机器计算之间，还存在着一种比这些最近的考虑所建议的更为基础的联系。让我们回想一下最近简单涉及的有效性、构造性这些概念。通过含糊地暗示我所称的计算程序，我解释了这些概念。而什么才算作一个计算程序呢？计算程序的一般概念是在1936年和1937年、由四位数学家——丘奇( Church) 、克林( Kleene) 、图灵( Turing) 、波斯特( Post) ——的很大程度上的独立工作而弄精确的；而它的系统阐述的结果，就是在同一时间、构成一个具有任何可能的计算机器的基本理论特性的公式。
在这篇文章的前面，在证明理论之时，我曾经引用了哥德尔定理，以举例说明现代逻辑中研究的一种动机、一次胜利。现代逻辑研究的一个主要动机，一直是考察数学证明的性质、可能性、以及局限性。现在我们明白了，证明理论的基本概念与机器计算理论的基本概念结合在一起了。如此一来，就拿哥德尔定理来说，它可以重新阐述为——我后来评论过的——陈述数论是非构造性的。在这里，“构造性的”意指，正如我所提示的，为形成证明而存在的一个一般性的计算程序。最后，计算程序的概念又转过来在构成机器计算的基础性概念这一点上，取得了格外清晰的系统阐述。数学证明的绝对纯粹的理论和机器计算的完全技术化的理论，因而在本质上是同一个理论，其中任何一个的基本洞见，从此以后都是另一个的洞见。
孙伟平，哲学博士，中国社会科学院哲学研究所副研究员，韩国成均馆大学客座教授。（北京　100732）
【参考文献】
[1]Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic[M].New York: Norton, 1940.
[2]Willard Van Orman Quine, Methods of Logic[M].New York: Holt, 1950.
[3]Willard Van Orman Quine, From a Logical Point of View [M].Cambridge: Harvard, 1953.
[4]willard Van Orman Quine, The Ways of Paradox(“悖论的方式”), in The Ways of Paradox and Other Essays[M].New York: Random House, 1966.