经典泛函分析的内容主要是研究空间结构和空间之间的映射，这里的空间一般是线性的、带某种拓扑结构的。量子物理的发现对数学提出了新要求，对非交换结构的研究也深入到泛函分析的研究里，现代泛函分析的主要对象也从经典的函数空间（及其推广）演变为带代数、拓扑等结构的非交换空间（或量子化的空间）和它们之间或内部的映射的研究。
泛函分析是20世纪初，从积分方程、变分法、物理等研究中产生的，它把分析研究的具体对象，如函数、映射、观测量等抽象到一种更加纯粹的空间、代数、几何结构的形式中来研究，从而形成了一种研究方法综合、应用范围广泛的分析学科。一般定义在自然数、有理数、实数等集合上，当某类（连续的、可微的）函数全体作为定义域时，它上面的函数，或更一般的函数集到函数集之间的映射成为研究对象时，就产生了泛函数的概念。J.傅里叶或许是最早研究函数空间之间的映射（傅里叶变换）的数学家，后来B.黎曼和H.L.勒贝格证明了傅里叶变换在适当的函数间的距离下是等距变换（或酉算子）。1887年，意大利数学家、物理学家V.沃尔泰拉给出了“泛函”的定义；1910年，J.阿达马在研究积分方程和变分法时也用到了非线性的“泛函”的概念，所以有些数学家认为泛函分析起源于变分法，是研究泛函数的数学分支。还有一些数学家认为泛函分析起源于H.哈恩和S.巴拿赫对线性赋范（或更一般的，拓扑向量）空间的研究，以泛函分析中一些经典定理，如哈恩-巴拿赫定理、开映射定理、闭图像定理、共鸣定理等的发现作为学科形成的标志。从现代泛函分析的发展来看，它的另外一个，也是最重要的源头是对积分方程的研究。
和微分方程一样，积分方程的求解问题也是起源于物理和天体问题的研究。最早的积分方程是1823年N.H.阿贝尔在研究地球引力场中的一个质点下落轨迹问题时提出的：
后人称之为阿贝尔方程，其推广形式也称为沃尔泰拉型积分方程。对积分方程的系统性研究由弗雷德霍姆在19世纪末和20世纪初开启，他考虑了两类方程，如一型方程：
以及形如
的二型方程，式中称为积分核。20世纪初，D.希尔伯特运用算子的方法，证明了积分核对称时的积分算子有自伴性，其对应的谱是实数。更进一步，希尔伯特运用函数空间的正交基理论，把积分方程的求解问题归结成无限维线性方程组的求解问题，从而一个连续的问题被离散化了。希尔伯特的学生H.外尔在他的博士论文中研究了无界区间上积分方程。如果把上述积分方程简记为（当积分核连续有界时），则对应一型方程的是紧算子（或全连续算子），二型方程给出的是一类特殊的弗雷德霍姆算子，外尔对弗雷德霍姆算子的谱也有深刻研究。这类算子在几何，特别是阿蒂亚-辛格指标理论中有重要应用。
除了外尔，希尔伯特的格丁根学派中许多杰出的数学家都对积分方程、内积空间及上面的算子理论有兴趣，其中较突出的有E.诺特、E.施密特和J.冯·诺伊曼等。诺特在数学物理和变分法中有重要的贡献；施密特发展了希尔伯特谱论，引入了（无限维复线性空间上的）内积和范数等概念，给出了正交、闭集、子空间的定义，并证明到闭线性子空间上投影的存在性，后来冯·诺伊曼把具有完备性的内积空间称作希尔伯特空间。20世纪20年代末期，冯·诺伊曼系统研究了希尔伯特空间上的有界自伴算子和正规算子的谱理论，得到了此类算子的函数演算（可看作广义的谱分解定理）。进一步地，他在1930年前后引入并研究了某类算子构成的代数结构，他称之为算子环，多年后由J.迪克斯米耶把这类代数重新命名为冯·诺伊曼代数，冯·诺伊曼代数的出现标志着算子代数这一学科的诞生。
几乎和冯·诺伊曼同时，P.A.M.狄拉克为研究量子物理，特别是量子力学的数学基础，也考虑了算子的代数结构，并建立了希尔伯特空间的基和交换算子代数之间的联系，他认为基可以由极大交换的自伴算子代数给出。
另外一类算子代数称为C*代数，由I.M.盖尔范德和M.A.奈马克于1943年以公理化的形式引入，他们的出发点是群表示，所以早期C*代数的研究主要和表示论相关。算子代数的产生不仅丰富了泛函分析的内容，它和物理及数学的众多分支建立了深刻的联系，在共形场论、量子统计物理、弦论、微分方程、几何、拓扑、优化、控制论及工程应用等领域有广泛的应用。
研究线性赋范空间（巴拿赫空间、希尔伯特空间等）上线性算子结构的分支，是有限维线性空间上线性变换或其对应的矩阵理论的推广。早期的研究主要集中在特殊算子类的结构上，较完善的理论有希尔伯特空间上的有界自伴（或正规）算子的谱分解，紧算子和弗雷德霍姆算子的谱理论等。对一般有界线性算子的结构的刻画是算子理论的核心问题，其中著名的不变子空间问题是问在无限维可分希尔伯特空间（或更一般的自反巴拿赫空间）上的有界线性算子是否都有非平凡的不变子空间。空间是有限维时，答案是肯定的，这对应的是有限维矩阵的上三角化。空间是无限维时，许多特殊算子都有不变子空间，但最一般的情形还没有答案。围绕该问题的研究，产生了许多研究分支，特别是算子代数（包括非自伴算子代数）的引入，为算子理论的研究提供了更有力的工具，同时也丰富了算子理论的研究课题。此理论逐渐从单个的算子、局部性的研究，转变到整体性的、结构性的问题上来。比如圆盘代数（及其推广）、非交换哈代空间等观点的渗透，为建立算子理论和其他数学分支的深刻联系做好了准备，也为算子理论的进一步发展和应用提供了崭新的平台。
一般包含了C*代数和冯
相应地，盖尔范德和奈马克引入C*代数时也证明了两个基本定理：①有单位元的交换C*代数和紧豪斯多夫空间上的连续函数全体等距同构，从而非交换的C*代数可以类比成非交换的拓扑空间（或上面的“函数”），拓扑的方法是研究C*代数结构和分类的最重要的手段。②抽象（公理化定义）的C*代数一定等距同构于某个希尔伯特空间上的自伴的、范数拓扑闭的算子代数，此定理的意义在于，研究C*-代数时既可以把它具体作用到希尔伯特空间上，也可以脱离它在空间上的作用，这为其他算子类（如冯
算子代数同其他代数领域一样，分类和表示是它的中心问题，同时它在几何、拓扑、调和分析、概率论、 数学物理等许多领域有广泛的应用，并由此产生了众多数学分支，如非交换几何、自由概率论、子因子理论等。
主要研究拓扑线性空间的几何结构和空间之间的线性映射的分支，是泛函分析的基础。20世纪20年代，哈恩和巴拿赫独立引入了赋范线性空间的概念，他们各自发现并证明了一系列有关完备赋范线性空间上的基本定理，最著名的当属线性泛函的哈恩-巴拿赫延拓定理和不交凸集间的哈恩-巴拿赫分离定理，其他定理还包括巴拿赫的压缩映射不动点定理、开映射定理、闭图像定理和巴拿赫-斯坦豪斯共鸣定理等。1931年巴拿赫出版了《线性运算理论》（波兰语：Teoria operacji liniowych）一书，一年后出版了法语版。此书总结了之前近十年内在完备赋范线性空间的凸性、弱收敛性及空间之间的线性算子方面的结果，为线性泛函分析的发展奠定了基础，为纪念他的贡献，人们把完备赋范线性空间称为巴拿赫空间。巴拿赫空间的几何结构、特殊子空间的存在性、特殊基的存在性等一直是研究空间结构的核心问题，局部凸线性空间之间的线性映射也是线性泛函分析关心的重要对象。
起源于变分法，是研究非线性泛函或非线性算子的分支，更一般地，非线性泛函或算子还可能是定义在（没有线性结构的）度量空间或更广义的集合上的。泛函的极值问题，非线性积分方程、微分方程求解问题等是非线性泛函研究的核心问题，其方法主要有变分方法、不动点理论、单调算子、分歧理论、拓扑度理论等。陈省身指出，21世纪的数学是非线性和无限维的数学。非线性泛函是非线性和无限维的有机统一体，在理论上，这是一个有待发展和完善的方向。21世纪初，它在几何分析、动力系统、微分方程求解及解的数值逼近、图像及数据处理、医学应用等领域有重要的应用。由于现实中的诸多问题都是非线性的，因此，该领域在数学、物理、生命科学、工程应用等领域还会有更广泛的应用。
同泛函分析相关的领域有许多，经典的广义函数论、遍历理论等也常常划归到泛函分析里。一些较新的分支，如小波分析、分形理论等，都是泛函分析和调和分析等领域有机结合生成的数学分支。在计算机科学的推动下，它们在图像处理、模式识别等领域有深刻的应用。泛函分析是一个发展变化的学科，物理学、计算机、大数据、生命科学等发展的需求对泛函分析也提出了新的要求，在大数据、量子化的时代，泛函分析的身影处处可见。
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