中考热点——解直角三角形

一、知识解读

解直角三角形是数学中考热点之一，尤其注重考查同学们在具体生活情景下运用数学知识的能力以及运用方程思想、数形结合思想、分类思想的能力。运用解直角三角形的知识解决实际问题是历年来中考的热点。

二、考点明晰

1.了解锐角三角函数的概念；掌握直角三角形的边、角关系。

2.熟记30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，会计算含有特殊角的三角函数式的值，会由一个特殊角的三角函数值，求出它对应的角。

3.会利用直角三角形的边、角关系，根据直角三角形中的已知元素，求出未知元素。

4.了解坡度、坡角、俯角、仰角、方位角等名词与术语。

5.能综合运用直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。

三、例题分析

点评：（1）把实际问题转化为数学问题，如何构造直角三角形才最有效。

（2）解直角三角形的问题经常与三角形的相似相结合，所以出现平行线是有利于问题解决的。

（3）直接构造与所示量相关直角三角形可方便问题解决，但有时却不易和题目所给条件建立联系，所以可考虑求与其相关量达到问题解决。

例2.国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：（=1.732，=1.414）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析：设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC-BC=1200，求得x的值，用h-x即可求得最高海拔．

解答：解：设CF=x，

在Rt△ACF和Rt△BCF中，

∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，

∴BC=CF=x，

即AC=x

∵AC-BC=1200

∴x-x=1200

解得：x=600（+1）

则DF=h-x=2001-600（+1）≈362（米）．

答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．

点评：(1)利用直角三角形的边角关系来解决简单的实际问题，如测量高度、宽度等，是近几年常见的考题；

（2）解决这类问题的关键：一是把实际问题数学化；二是构造直角三角形；三是牢记直角三角形（特别是两种特殊Rt△）的边角关系；

（3）了解测量问题中常见的俯角、仰角、方位角、坡角等名词和术语的数学意义。

解直角三角形的常见类型：

解直角三角形应用题的常见概念：

(1)坡角:坡面与水平面的夹角，用字母表示.

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，用字母i表示，即。 坡度一般写成1:m的形式，如i=1:5等，如图1.

(2)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角.如图2.

解直角三角形解应用题的一般步骤：

（1）审题，弄清仰角、俯角、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；

（2）对于非直角三角形添加适当的辅助线分割成直角三角形或矩形；

（3）选择合适的边角关系计算，确定结果。

测量物体高度的常见模型：

（1）利用水平距离测量物体高度

运用解直角三角形的知识可以解决视角相关问题、方向角相关问题、坡角坡度相关问题、台风相关问题以及测量物体高度问题，需根据具体情况具体分析！