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例75 直觉的误导。

有一张8 cm 8 cm的正方形的纸片，面积是64 cm²。把这张纸片按图24-1所示剪开，把剪出的4个小块按图24-2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65 cm²。这是可能的吗？

图24-1 图24-2

[说明]这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到：对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证。

一般来说，学生应当是不会相信图24-2中纸片的面积是65 cm²，但又无法说明为什么观察的结果是错误的。进一步引导学生思考，如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：图24-2中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角。可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。

在实际教学中可以引导学生先看图、再让学生分组将图剪开，动手操作发现矛盾（64=65？）。然后，尝试找出理由并尝试证明，最后表达收获。

可以采用如下反证法证明，在证明过程中加深对相似图形的理解。

如图25，过D做AC的垂线交AC于F。假定图24-2中的图形是长方形，那么图形的右下角就应当是直角，则在图25中有∠1+∠3=90°。因为∠2+∠3=90°，则∠1=∠2。由相似三角形的判定定理，两个直角三角形△ABC与△DEF相似。由相似三角形对应边成比例，应当有： ，这是不可能的，因此图24-2中的图形不可能是长方形。

由于 ，这个差是很小的，因此会造成我们视觉的误差，把图24-2中的图形判断为长方形。

图25

教学中可以鼓励学生运用不同的方法对此问题进行解释。

例76 从年历中想到的。

观察几个年份的年历和月历，思考下面几个问题：

（1）在同一年的月历中，哪些月份的“月历表”的排列是基本一致的？

（2）有一种计算机病毒叫“黑色的星期五”，当计算机的日期是13日又是星期五时，这种病毒就发作。请找出最近的5个使“黑色的星期五”发作的年、月、日。

（3）许多人都认为，“办喜事”最好是“6月6日又是星期六”，可是有人说：“这样的日子是千载难逢”，你同意这种说法吗？你能找出几个“6月6日又是星期六”的具体年份吗？

[说明] 这是一个通过对日常生活观察、发现某些规律的开放性问题，可以根据学生的学习情况，提出不同层次的问题。每一个问题的设计，都是为了让学生学会观察、思考和质疑，提高学生学习数学的兴趣，体会模型思想。

问题（1）是让学生学会观察、学会提问题。这个问题的入手点低，每个学生都能参与，都能有所发现。并且可以培养学生“分类讨论”的意识，分平年和闰年：平年时，1，10月；2，3，11月；4，7月；9，12月的月历表基本一致；闰年时，1，4，7月；2，8月；3，11月；9，12月的月历表基本一致。引导学生在貌似杂乱无章中发现规律，利用规律感悟周期现象。

问题（2）中最近的几个“黑色的星期五”是：2009年2月13日、2009年3月13日、2009年11月13日、2010年8月13日、2011年5月13日（随着时间的推移，这个日期会发生变化）。解决问题的方式较多，可以利用对问题（1）发现的规律来思考。也可以充分利用信息工具，如从网上找一个“万年历”的小软件用于观察发现。

问题（3）中最近的几个“6月6日星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、2020年，因此“千载难逢”的说法不对。更加理性的思考是：闰年的周期大体上是“4”，星期的周期是“7”，所以年历的变化周期“大体上”不会超过4 7 =28。一旦找到了一个“6月6日星期六”的日子，如1992年，“大体上”可以猜测1992+28=2020（年）的6月6日也是星期六。也可以让学生思考：为什么是“大体上”，例外发生的条件是什么？

例77 包装盒中的数学。

（1）让学生分组收集一些商品的空包装纸盒，请大家分别计算出它们的体积和表面积。

（2）请学生将这些盒子拆开，看一看它们是怎样裁剪和粘接出来的。

（3）给一个矩形纸板（如A4纸大小），让学生根据上面的发现，裁剪、折叠出一个无盖长方体的盒子，并计算出它的体积。

（4）同组同学之间比较结果，分析谁的体积比较大？分析怎样能作一个体积更大（最大）的盒子？（只是实验、比较，不要求证明）。

（5）结合一种具体的待包装物体 (如5本书或2个茶杯) 设计一个包装盒，使这个盒子恰能包容它们，如有可能实际做出这个盒子。

[说明] 这是一个过程比较长的活动，可以引导学生体验一个比较完整的问题解决过程。让学生收集包装盒、拆开观察是一个很有益的过程，能很好地启发学生如何寻求解决后面问题的思路。问题（5）是一个实际应用，它的结果不唯一，可以交流展示学生的成果，请学生说明制作过程中的关键数据是如何得到的和裁剪方案是如何形成的。

例78 看图说故事。

如图26，设计两个不同问题情境，使情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系。结合图像，讲出这对变量的变化过程的实际意义。

2

5 11 15

图26

[说明] 通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例，以加深对函数理解。

学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的s-t图”，可以说出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分，在原地休息了6分，然后以常速度500米/分，跑回出发地。

再比如：有一个容积为2升的开口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向这个瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，然后以常速度0.5升/秒，倒空瓶中水。

老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。

例79 利用树叶的特征对树木分类。

（1）收集三种不同树的树叶，每种树叶的数量相同，比如，每种树选10片树叶。

（2）分类测量每种树叶子的长和宽，列表记录所得到的数据。

（3）分别计算出树叶子的长宽比，估计每种树树叶的长宽比。

（4）验证估计的结果。

[说明] 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类，本例是利用树叶的数据特征来对树进行分类。

本活动适用本学段的各个年级，要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树叶的长与宽的比；对于新采集到的树叶，通过长与宽的比来判断这个树叶是属于哪种树。这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识，体会有许多事情，通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的，还可以自己收集；对于同一种树，叶子长与宽的比也可能是不一样的，进一步感受数据的随机性；体会只要有足够的数据，就能够分析出一些规律性的结论。

教学中可以作如下设计：

（1）建议采用小组活动的形式，学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。

（2）为了使分析的结果更加明显，最好选择树叶区别较大的三种（或者更多）树、而每种树选择的树叶的大小要接近，即区别要小一些。

（3）“估计每种树树叶的长宽比”的方法可以是多样的，比如，对于每种树的10片树叶都测量了长和宽以后，可以用10个比值的众数，也可以用10个比值的中位数；还可以把长和宽各自相加后，取和的比值，这是10个比值的平均数（教师可以思考：为什么不用通常求平均数的方法计算比值的平均数）。针对这个问题，用平均数是比较合适的。

（4）取一片新的树叶，通过这片树叶的长宽之比、参照（3）的估计结果，来判断这片树叶属于哪种树。学生会发现，即使是同一棵树，叶子长与宽的比值恰好等于估计值的可能性也很小，这表现了数据的随机性。可以进一步启发学生考虑一个合理的方案：只要比值大概等于估计值，就可以认为是同一种树，也就是说，需要构造一个以估计值为中心的数值区间，当新取的树叶的长宽比值属于这个区间时就认为属于这个树种。如何合理地构造这个数值区间是重要的，区间太短则可能拒绝同类树种，区间太长则判断的精度就要差。可以考虑下面的方法：当估计值是中位数时，区间由比中位数小两位的比值和比中位数大两位的比值构成；当估计值是平均数时，区间的长度为平均数±σ，或者平均数±2σ，其中σ是样本标准差。让学生感悟决定数值区间的道理（可以告诉学生，进一步的学习，将会从理论上计算区间的长度）。

这个问题可以举一反三。

例80 利用几何图形研究代数问题。

对于给定的两个数x和y，求使得 (x-b)2+ (y-b)2 达到最小的b，也就是说要找到一个b₀，使得对任意的b有

(x-b₀)2 + (y-b₀)2 (x-b)2 + (y-b)2。

[说明] 利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径。

图27

可以把给定的两个数看作数对，对应于二维平面的点（见图27），用A(x，y)表示。对于任意数b也可以看作数对(b，b)，用点B(b，b)表示。

回忆关于直线的学习，由图27可以看到，点B(b，b)是在通过第一象限、与横坐标倾斜45°角的直线上。我们的问题用几何语言可以表述为：在这条直线上寻找一点，使得这一点到给定点A(x，y)的距离最短。显然，这一点应当是点A(x，y)到直线的垂足，设其为B′(b₀，b₀)。因为

(x-b)2+ (y-b)2 = (x-b₀+b₀-b)2+ (y-b₀+b₀-b)2

= [(x-b₀)2+ (y-b₀)2] + 2[(x-b₀) + (y-b₀)]( b₀-b) + 2(b₀-b)2。

由图27，我们可以把上式左边看作线段AB长的平方，上式右边第一个中括号中的两项之和看作线段AB′长的平方，最后一项看作线段BB′长的平方，因为B′是A到直线的垂足，由勾股定理，上式右边第二项应当为0，即(x-b₀) + (y-b₀)=0，可以得到b₀=(x+y)/2。

从上面的计算结果可以看到，b₀正是x和y的算术平均。上面的证明方法和结果可以推广到n个数据，即对于给定的n个数 x₁，…，x_n，使得

(x₁-b)2 +…+ (x_n-b)2

达到最小的b为 (x₁+…+x_n)，这是n个数据的平均数。在“统计与概率”中，通常称上式为离差平方和，如果把n个数据看作样本，那么，样本平均使样本的离差平方和达到最小，因此在“统计与概率”中经常会用到样本平均。