设抛物线y2＝2px(p＞ 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛

思路解析：本题的解法很多，采用坐标方法进行代数推理，可以证明OA与OC的斜率相等，证明AO+OC=AC，证明OC与BF的交点A在抛物线上，证明AC的方程形如y=φ(p)x，等等，每种证明又有不同的表述形式，甚至可以用参数方程法，采用平面几何方法进行推理.

证法一：如图所示，

因为抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F（

，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+

，代入抛物线方程得y²-2pmy-p²=0.

若记A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则y₁,y₂是该方程的两个根，所以y₁y₂=-p².

因为BC∥x轴，且点C在准线x=-

上，所以点C的坐标为（-

，y₂）.

故直线CO的斜率为

k=

=

=

,

即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.

证法二：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).

因为BC∥x轴，所以C（-

，y₂）.

因为A、B在抛物线上，

所以y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.

又因为直线AB过焦点F，

所以k_AF=k_BF，即

=

.

所以

.

所以y₁y₂(y₂-y₁)=p²(y₁-y₂).

因为y₁≠y₂，所以y₁y₂=-p².

因为k_OC=

=

=

=

=k_OA,

所以直线AC经过原点O.

证法三：因为抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为（

,0），

所以设直线AB的方程为x=ky+

.

由

消去x得y²-2pky-p²=0.

所以y_A·y_B=-p².

因为A（

,y_A）,C(-

,y_B),即C(-

,-

)，

所以直线AC的方程为

=

.

化简得y=

x.

显然，原点O适合此方程，所以原点O在直线AC上.

证法四：设B（a，b），则C(-

,b)，F(

,0),

所以直线BF的方程为y(a-

)=b(x-

)，

直线OC的方程为y=-

x.

所以

消y得-

x(a-

)=b(x-

).

所以

所以A′(

，-

).

因为B在抛物线y²=2px上，所以b²=2ap.

所以A′(

，-

).

所以(-

)²=

=2p·

.

所以A′在抛物线y²=2px上.所以A′与A重合，即直线AC经过原点O.

证法五：如下图所示，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足，则AD∥FE∥BC.

连结AC，与EF相交于点N，则

，

.

根据抛物线的性质,得|AF|=|AD|，|BF|=|BC|.

所以|EN|=

=

=|NF|,

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.

证法六：如下图所示，

设准线交x轴于点E，过A点作AM⊥x轴于M.

设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则C（-

,y₂）,所以

=

.

由证法二知y₁=

，

又

，

所以

=

.所以△AOM∽△COE.所以∠AOM=∠COE.

故A、O、C三点共线，即直线AC过原点O.