思路解析:本题的解法很多,采用坐标方法进行代数推理,可以证明OA与OC的斜率相等,证明AO+OC=AC,证明OC与BF的交点A在抛物线上,证明AC的方程形如y=φ(p)x,等等,每种证明又有不同的表述形式,甚至可以用参数方程法,采用平面几何方法进行推理.
证法一:如图所示,
因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(
若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2=-p2.
因为BC∥x轴,且点C在准线x=-
故直线CO的斜率为
k=
即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.
证法二:设A(x1,y1),B(x2,y2).
因为BC∥x轴,所以C(-
因为A、B在抛物线上,
所以y12=2px1,y22=2px2.
又因为直线AB过焦点F,
所以kAF=kBF,即
所以
所以y1y2(y2-y1)=p2(y1-y2).
因为y1≠y2,所以y1y2=-p2.
因为kOC=
所以直线AC经过原点O.
证法三:因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(
所以设直线AB的方程为x=ky+
由
消去x得y2-2pky-p2=0.
所以yA·yB=-p2.
因为A(
所以直线AC的方程为
化简得y=
显然,原点O适合此方程,所以原点O在直线AC上.
证法四:设B(a,b),则C(-
所以直线BF的方程为y(a-
直线OC的方程为y=-
所以
消y得-
所以
因为B在抛物线y2=2px上,所以b2=2ap.
所以A′(
所以(-
所以A′在抛物线y2=2px上.所以A′与A重合,即直线AC经过原点O.
证法五:如下图所示,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足,则AD∥FE∥BC.
连结AC,与EF相交于点N,则
根据抛物线的性质,得|AF|=|AD|,|BF|=|BC|.
所以|EN|=
即点N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O.
证法六:如下图所示,
设准线交x轴于点E,过A点作AM⊥x轴于M.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-
由证法二知y1=
又
所以
故A、O、C三点共线,即直线AC过原点O.
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